CHAPITRE IX

Réduction de la formule gui exprime la fonction Ë^ y dans la

méthode des modules croissans.

760. L4 A valeur de E^ que nous avons donnée dans l'exemple précédent , d'après les formules de l'article 89 , n'étant pas assez simple pour être employée dans les calculs courans de la seconde des fonctions elliptiques, nous avons cherché une autre formule par laquelle ces calculs fussent réduits au plus grand degré de simplicité dont ils sont susceptibles , et Dous y sommes parvenus de la manière suivante :

Après avoir formé la série des modules croissans c, c\ c". . • et celle de leurs complémens B , &', y. . . il faut calculer la suite des amplitudes décroissantes (p , ^', ^"•. • jusqu'à une limite qui est déterminée, ainsi que celle des modules, par le degré d'exactitude qu'on veut obtenir. Ces amplitudes se calculent directement par les formules sin (2^' — ^) = c sin ^ , sin(2^''— -^^)=:c'sin^^, etc.; mais, quand on est parvenu à celle où le module correspondant c est trop peu différent de l'unité, il convient de remplacer cette formule par l'équation correspondante de la suite tang(f— ^^)=:^' tang ^',

io4 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

tang (^' — ç") = V lang ^", etc. , d*où Ton tirera un résultat beaucoup plus exact.

Connaissant ainsi la limite 4> de la suite ^, ^\ ^'', etc. , que nous supposerons, par exemple, se confondre sensiblement avec le quatrième terme ^'^, on aura la valeur de F^ par l'équation F^= Klogtang (45**+î *), dans laquelle le Ic^arithme est hyperbolique ; prenant donc dans les tables le logarithme vulgaire l tang (45° + 7 4>) = H, on aura F^=KMH ; quant à

la valeur de K, elle est, comme on sait, R= v/ f- • cW"\

761. Cela posé, la valeur de E^ pourra être ainsi représentée

E^=L'Fç -+• Pc sin <p ,

et il s'agit de calculer les deux termes dont elle est composée.

Le premier se trouve facilement par la valeur déjà connue de la fonction F^ et par le coefficient Lf que nous avons déjà réduit à la forme la plus simple dans le calcul des fonctions complètes (art. 6^2)'^ tout se réduit donc à chercher la valeur du second terme Pc sin ç. C'est ce que nous obtiendrons par la première forme de la valeur de 4/ (ft) donnée dans l'art. 89; ainsi nous aurons à réduire la formule

Pour cet effiît , soit ^ — ^'= o)', ^' — ^"=â>", ^" — ^"'^a'", etc., on aura les équations tang û)'=A' tang ^', tang «"= A" tang^'', etc. ; la première donne

c' sin ^ = sin (^'+ o)') =; (i + V) sin <p' cos a' = -j- sin ^' cos cù\ et on en

déduit successivement

sin^'''=^ . i^ , i^ , r-^^5 «9 etc.

c c c cos • cos •> cos « '

Substituant ces valeurs dans celle de Psin 9, et faisant, pour abréger, c' cos cù'zzz /, c" cos û>" = t'', etc. , on aura

Cette formule peut donner tel degré d'approximation qu'on voudra , mais il convient d'examiner successivement les différens cas qui peuvent se rencontrer dans les applications.