CHAPITRE IX. io

76a. Supposons qu'à cause de la diminution très rapide des angles m\ et'y «'", etc., la différence i — cos »'" soit n^ligeable, on aiua en même temps avec une exactitude suffisante c'^'= i, cos id'"z=z i , ce qui donnera

Dans la même hypothèse, on doit regarder comme négligeable la quantité

(i -^ /')% de sorte qu'on pourra faire î -^ 2/'+ /'• = o , ou 4 — i = -^ i la valeur de P à deui termes seulement , savoir :

Supposons log r'/^'* = — ty t sera presque toujours une quantité fort petite; cette quantité étant donnée, on en tirera //'se"" , ensuite

p a^Mr— . l ss: e^M« [j (i — •e-»*')'] ; donc

et en développant jusqu'aux t^ seulement,

log P = ai — Mt^+ W(?.

Cette formule sera très conmiode pour calculer le second terme Pc sin f de la valeur de E^ , si toutefois les quantités de l'ordre ^ peuvent être néfigées.

«jôS. Si l'on veut pousser l'approximation plus loin, et qu'on r^rde seulement comme négligeable la quantité i— -cos â^*% ainsi que i-^c'% la valeur de P deviendra

et parce que dans le même cas on peut r^arder comme nulle la quantité ( 1 — /■"')•, ce qui donne pi — i = -35; , on aura plus simplement

Pour faciliter le calcul de celte formule , on pourra profiter de la ré« duclion indiquée dans l'article précédent , en l'appliquant à la quantité

F = -Âgg — 1 ; on aura ainsi

io6 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

alors le terme Pc sin ^ se réduit ^ ^^^^ — csin Ç; et parce que /s= cfcMCâ^ss^^^^^y on aura simplement Pcrin^ssav/cFain^'— csin^,

ce qui dispensera de calculer cos â^'. De plus, comme c sin^sssinflsin^ s=:|co8(9— i^) — icos(Q+^)j on voit que dans beaucoup de cas, cette quantité pourra se trouver immédiatement par la Table des sinus

naturels*

Nous observerons, enfin, que la valeur de P peut aussi s'exprimer par

cette série convergente :

P= , +î<lr:i3+4i>^+S!^ + eic.,

au moyen de laquelle l'approximation peut être poussée aussi loin qu'on

voudra. Les deux premiers termes se réduisent à -j?- — i ; quant aux: sui-

vans qui décroissent rapidement , ils sont faciles & calculer par les formules logr = — ^ log Ci — r) =log (MO — î^ + îtM^^

Pour l'usage de ces nouvelles formules, il faut pouvoir calculer avec un degré suffisant de précision les log-cosinus des angles cù y eo' ^ ùJ'y etc«, qui décroissent très rapidement. Or on a pour cet objet les formules

logcos Ci s=s — N.a>' — N,«* — N|«* — ^^(»^ — etc. ,

logsinâ»= log^ — lN.^'— ^N.a»^ — ^Njû»* — ^N4âi» — etc.,

où les diviseurs 3, i5, 63, a55, etc., représentent 2' — i , 2^ — i , a* — ^ i, a* — I , etc.

Lorsque l'arc oà ne surpasse pas 5* , si on n'a pas besoin de plus de quatorze décimales, on aura avec une exactitude suffisante les valeurs logarithmiques des coefficiens , comme il suit :

764. Exemple I. Supposons qu'on veuille calculer avec toute l'exactitude que comportent des Tables à quatorze décimales , les fonctions F^ , £^, pour le module c =s sin 81^ et l'amplitude ^ = 75^.

11 faut d'abord tirer de la Table VI l'échelle des modules et log K , comme il suit :

: CHAPITRE IX. fo^

«^•••-9'99999 16689 5933 V.... 7.79196 83oM 3974

<•'•. 9-99999 99^ Sapa V... 4.98188 4944i 6219

,K.. •• o«ooa63 58709 3716 £'••• 9.3617a 98969 9640.

Qd procédera ensuite au calcul de 9' par Péqt^ition sin (2^' — ^) =s c sin4^ , et pw: les formules ordinaires pour IHisage des Tables. ,

c« •«..,••. . 9,99461 99270 65o8 angle chercbé. . 2^' — ^ = A ,

rin^ 9,98494 37781 0267 angle approché. «==. 7^*56^

an (2^: — ip ) 9,97956 3705 1 6775 . 2a= 145.12,

sin a • • 9,97956 26352 3206

r = 10699 35Q9 Zsin A == Zsina-|-*^,

A =a+;?sm»fl(^iH-;^ + p'. ^ ^J|,

iM 0,06118 56930 4 (2) 61 6186

séc*a 1,04660 65o3o 3 (3) 16

sin 2a 9J75728 93793 8 9 = 75.

f — f cos %a 0,2742 1 200 (3) 7,20107 36.

La valeur de ^' réduite pour les Tables à dix décimales , savoir :

ç' = 73® 46' 48'', 8088, servira i calculer par l'équation sin (2^" — ^) ss </ sin ^% une première valeur approchée de 9^^ j cette valeur. ••*... ^'^ = 73^ 46^ 4^^ 00876, étant substituée dans le second membre de l'éqoation tang (9'— * ^'0 =^ ^'^ ^°g ^'S ^^ ^° déduira &cilement une valeur beaucoup plus approchée de ^' -— ^" ; faisant pour cet effet V tang çf'sspj

on aura ç' — ^" = R7? (i — ^ j en voici le calcul :

io8 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

V 4,98188 49441 5 (i) = o*,ooi88 88989 5538

tang(p".. o,536ao 11498 3 (2) — 68

la différence 9" — • 9'" a ëtë calculée aernblablement par Téquation 9" — ^"' = R" V" taiig 9'". Il n'est pas nécessaire d'aller plus loin , et on peut prendre ^"' pour la limite O, ce qui donnera

Soit a = 81**, 89, or =s o*,ooo83 21 186 i535, on calculera la valeur de H SB / tang (d — 3c) par les formules

P'^tàhi' /taiig(fl — a:) = /langfl — r,

/ , , ^ a + a oos*aa\

r = :imp [i^p coa aa-f.^,— 1 y^

on aura ensuite F^ = RMH; voici ce calcul :

R'ar 6,92018 5a377

R® i,758iA a63!24 a=: 8i%89 (i). o>oooo4 5i6ii 6o334

X 5,i6ao6 a6o53 3^=163,78 (a). — aa 54633

slnaa 9,44^^1 i82o5 (3). + i56

2m 9,93881 43070 tang a 0,84618 773i4 7040

co£faâ 9,98a36 00014

5,65476 5i M. . . o,36aai 56886 9946

^+fco>'aa 0,10765 70 Iog<{> ='o,2923( S1061 9945.