AVERTISSEMENT
Dans le Discours placé en tête du premier vohime de ce Traité, on a Ëiit contiaitre les principales améliorations que l'auteur avait appor* téed à la théorie des fonctions elliptiques , publiée précédemment dans ses Exercices de Calcul intégral. L^une des plus considérables est la découverte d'une seconde échelle de modules , différente de celle qui était seule connue à cette époque; l'auteur Ta développée dans le chap. XXXI du tome I, el Ton doit observer que cette découverte date du commencement de 1896^ puisque le tome I, qui la contient, a été présenté à TAcadémie des Sciences dans sa séatice du la septembre de la même année. La seconde échelle dont il s'agit complétait, à beaucoup d'égards, les travaux de l'auteur dans cette théorie; elle ofiirait une route &cile pour parvenir à plusieurs beaux résultats d^Analyse, qu^il n'avait pu démontrer jusque là que par des intégrations très laborieuses; la nouvelle échelle des modules pouvait se déduire d'un module donné, par de simples extractions de racines quarrées et cubiques , ce qui fournissait des approximations beaucoup plus rapides que ceUes qu'on obtient pat l'ancienne échelle; enfin, par la combinaison des deux échelles , ou pouvait multiplier d'une manière prodigieuse les transformations des fonctions de la première espèce, ce que l'auteur avait rendu sensible en construisant une sorte de damier, infini dans ses deux dimensions , dont toutes les cases pouvaient être remplies par les diverses transformations dont est susceptible une seule et même fonction. Il n'était donc guère probable qu'on pût aller plus loin dans cette partie de la théorie [des fonctions elliptiques.
Cependant un jeune géomètre, M. Jacohi de Kœnigsberg, qui n'avait pu avoir connaissance du Traité des Fonctions elliptiques , dont la publication ne date que de janvier 1827, était parvenu^ par ses propres recherches , à découvrir Aon - Seulement la seconde échelle dont nous tenons de parler, qui se rapporte au nombre 3, mais une troisième qui se rapporte au nombre 5, et il avait acquis déjà la certitude quHl doit en exister une semblable pour tout nombre impair proposé.
vj AVERTISSEMENT.
L'annonce de cette belle découverte analytique parut dans le n^ laS du Journal astronomique de M. Schumacher, où Ton trouve deux théorèmes particuliers concernant la formation des échelles affectées aux nombres 3 et '5, et de plus, un théorème général pour former Féchelle applicable à un nombre impair quelconque.
La démonstration de ce théorème général parut peu de temps après, dans le n"" 127 du même Journal; elle mit dans tout son jour la grande sagacité de Fauteur et la fécondité des méthodes par lesquelles il avait su vaincre les diiRcultés de son sujet. Ce théorème étant établi pour tout nombre impair , il fut aisé d'en conclure que , pour chaque nombre entier ou sçulement rationnel, on peut former une échelle particulière de modules qui donnera lieu à une infinité de transformations d'une même fonction de première espèce, lesquelles seront toutes déterminâmes algébriquement.
On ne mentionne ici ^ue les premiers pas faits par M. Jacobi dans la carrière qu'il s'est ouverte ; les espérances que ses premiers succès avaient fait concevoir ont été justifiées depuis, par les nouvelles publications qu'il a insérées dans le Journal de M. Schumacher, et dans celui de M. Crelle de Berlin; elles le seront encore plus complètement par l'ouvrage qu'il se propose de publier bientôt, sous le titre de Fundamenta novœ iheoriœ functionum ellipticarum.
Il nous reste à parler des belles recherches sur la même matière , que M. Ahel de Christiania^ digne émule de M. Jacobi, a fait paraître presque en même temps, dans le Journal de M. Crelle et dans celui de M. Schumacher. Le premier Mémoire de M. Abel, imprimé sous le n"* 13, dans le tome II du Journal de M. Crelle, forme déjà une théorie presque complète des fonctions elliptiques , considérées sous le point de vue le plus général. On y trouve , i •. les propriétés fondamentales de ces fonctions et de leurs inverses , établies sur l'idée heureuse et entièrement neuve de l'introduction des imaginaires dans ces fonctions ; a"", des méthodes pour construire , de la manière la plus simple , les formules qui servent à Ja multiplication et à la division des fonctions ; S"", des développemens très étendus sur la réduction au moindre degré possible , et la résolution des équa^ons algébriques qui servent à diviser toute fonction proposée, ou seulement la fonction, complète ; 4"*. des formules nombreuses pour développer les fonctions en séries et produits infinis.
Un secon^ Mémoire de M. Abel, imprimé sous le n"" 11, dans le
AVERTISSEMENT. vij
tome III du Journal de M. Crelle, oflre des résultats très remarquables , i"". sur la division de la fonction particulière dont le module est sin45% laquelle représente des arcs de lemniscate; a^. sur la transformation générale des fonctions de la première espèce, ce qui donne lieu à Fauteur de démontrer, d'une manière très simple et très directe, les deux théorèmes généraux précédemment publiés ou annoncés par M. Jacobi.
Nous n'entrerons pas dans d'autres détails sur les travaux de ces deux jeunes géomètres, dont les talèns se sont* annoncés avec tant d'éclat dans le monde savant ; on conçoit maintenant que l'auteur de ce Traité a dû applaudir vivement à des découvertes qui perfectionnaient beaucoup la branche d'Analyse dont il est en quelque sorte le créateur. Il a formé dès lors le projet d'enrichir son ouvrage d'une partie de ces nouvelles découvertes , en les présentant sous le point de vue le plus simple et le mieux coordonné à ses propres idées. Tel est l'objet des deux Supplémens qui suivent, et de ceux que l'auteur pourra peut-être y joindre, par la suite, pour en former le tome III de son Traité.
TABLE DES MATIÈRES
ou PREMIER SUPPJLÉMENT,
§ V^. Démonstration du théorème 1'^ de M. Jacobi, pag. 3
§ II. Démonatratîcm do théorèma 11 de M. Jaeobi« 17 i( UI. Eéc9pîiulaiipii des formalei qui êe mpporimt %uji iMj, thémkmm de
If. Jacobi y 3i ^ IV. Bjernarques sur l'ancienne échelle de modules, 36 5 V. Usa^e des deux théorimes pour les trunsformatioos ^une même fonction, 39 5 Yl. Usage des théorèmes I et II dans la nwiKtpli— ti on <t la diyisioA des
fonetioBS de preoûève e^ce » 4^
5 VII- Usages de l'équation transcendante 77 = P û? 1 4^
5 VUI. On prouY^ que le nombre d^ échelles et celui de« tansformalions qui résultent des propositions précédentes , peuvent encore être multipliés à l'infini, 53
§ IX. De la transformation des fonctions elliptiques de la seconde espèce, 69
§ X. De l'équation différentielle qui a lieu entre deux termes consécutifs d'une
même échelle de modules, 63
§ XI. Application des deux théorèmes généraux au cas de p a: 3, 67
§ XII. Application des mêmes théorèmes au casdep=s5> 7 3
riN Dr LA TABLE 1)17 PHEMIER SUPPLEMENT.
Après m'étre occupé pendant un grand nombre d'années de la théorie des fonctions elliptiques , dont l'immortel Euler avait posé les fondemens , j'ai cru devoir rassembler les résultats de ce long travail dans un Traité qui a été rendu public au mois de janvier 18^7. Jusque là les géomètre» n'avaient pris presque aucune part à ce genre de recherches; mais à peine mon ouvrage avait-il vu le jour, à peine son titre pouvait-il être connu des savans étrangers, que j'appris, avec autant d'étonnement que de satisfaction, que deux jeunes géomètres, MM. Jacobi (C.-G.-J.) de Kœnigsberg et jibel de Christiania, avaient réussi , par leurs travaux particuliers , à perfectionner considérablement la théorie des fonctions elliptiques dans ses points les plus élevés.
Bientôt les n^ i ^3 et i n^ du Journal astronomique de M. le professeur Schumacher, et une lettre particulière de l'auteur, me firent connaître d'une manière positive en quoi consistaient les découvertes de M. Jacobi. Je reçus presque en même temps un cahier du Journal de M. Crelle de Berlin , où se trouve un Mémoire de M. Abel, contenant des découvertes très remarquables dans une autre partie de la théorie, qui a cependant beaucoiip d'analogie avec celle dont s'est occupé M. Jacobi, puisque, par un second Mémoire imprimé dans le même Journal , on voit que M. Abel a pu déduire de ses formules l'un des deux théorèmes généraux de M. Jacobi.
Une connaissance approfondie des plus belles méthodes de l'analyse et l'heureux emploi de plusieurs idées fort ingénieuses se font remarquer dans les productions de ces deux jeunes géomètres. La science a pris dans leurs mains un tel essor, qu'il est à croire que les résultats qu'ils ont déjà obtenus seront suivis d'un grand nombre d'autres non moins intéressans.
Dans cet état de choses , j'ai pensé que mon ouvrage deviendrait bientôt incomplet , si je ne me hâtais d'y ajouter de nouveaux supplémens, dans lesquels j'exposerais les découvertes récentes avec tous les développement dont elles sont susceptibles.
Le premier supplément, que je publie aujourd'hui dans cette vue, a pour objet principal les deux théorèmes généraux découverts par M. Jacobi. Le premier sera démontré par la méthode même de l'auteur , publiée dans le n® 1^7 du Journal de M. Schumacher; le second sera d'abord déduit du théorème T', et ensuite démontré d'une manière particulière et directe.
Au moyen de ces deux théorèmes, j'ai pu traiter d'une manière complète tout ce qui concerne l'existence des différentes échelles de modules , exprimées en quantités réelles (*) , et par suite tout ce qui concerne les transformations réelles, infiniment multipliées, dont est susceptible toute fonction elliptique donnée de première espèce.
Lorsque deux fonctions de cette nature peuvent être exprimées l'une par l'autre , on peut supposer qu'elles appartiennent à la même échelle , et alors il existe entre leurs modules une équation très simple, quoique sous forme transcendante , laquelle tient lieu d'une équation algébrique , qui est en général d'une recherche très difficile. Cette équation transcendante peut être regardée comme l'un des théorèmes les plus beaux et les plus féconds de cette branche d'analyse. J'en ai fait voir l'usage pour trouver avec beaucoup de facilité les différens termes, même les plus éloignés, d'une échelle de modules correspondante à un nombre donné.
Après avoir épubé tout ce qui a rapport à la transformation des fonction» elliptiques de la prenûère espèce , il était naturel de s'occuper des fonctions de la seconde espèce. Je démontrerai que ces fonctions sont susceptibles de transformations analogues à ceUes de la première espèce , et en même nombre. Les formules sont plus compliquées, k raison de la quantité algébrique qu'elle3 contiennent ; mais elles se simplifient beaucoup dans le cas des fonctions complètes , où la quantité algébrique disparaît.
Je n'entrerai point dans d'autres détails sur les recherches assez nombreuses qui composent ce premier supplément ; il sera terminé par Papplication des deux théorèmes de ML Jacobi aux cas de /? = 3 et;7 = 5, qui donnent naissance à la première et à la seconde des nouvelles échelles.
Dans le second supplément et les suivans, s'il y a lieu, je continuerai d'exposer ce que les découvertes nouvelles offrent de plus remarquable , en y joignant mes propres observations et les développemens convenables.
Paris, le la août 1828.
(^) Le mot riellea est placé ici parce qu'il exista «aalytiquemeiit des transibrmatîoD» imaginaires dont nous n'arons pas fait mention , et qui sont en bjen plus grand nombre que les transformations réelles.
§ I*'. Démonstration du théorème 1" de M. Jacohi.
I . Soit p un nombre impair pris à volonté , F (A: , ^) une fonction elliptique de première espèce, dont le module donné est k^ et dont l'amplitude (p peut avoir une valeur quelconque depuis zéro jusqu'à l'infini. Appelons a. la valeur particulière de (p qui , pour un nombre entier quelconque th.,
donne F (A , et.) =5 — F'Ar. Au moyen de l'amplitude variable (p et des
angles constans a^j 0^3 , ^5 v • ^-t ? déterminons une seconde amplitude 4 par la formule trigonométrique
(i) tang(45--i4) — iang^40'q=,(p;. . . . . , r^— «rtaM ir^^-t a^ tams-îr^. .-r-^^
tang i (rt,+f ) • tang i («j— (p)' tai^ ^ («5+ ^) taogi (<p-.HhÇ>) '
où l'on prendra le signe supérieur si /i == 4* + i > et l'inférieur si
La loi d'accroissement des variables ^ et «4/ sera développée ci- après ; ^ suffit , pour le présent , de remarquer que la valeur de (p étant comprise , comme on peut toujours le supposer, entre €t^^^ et ^vt-^iy celle de 4 sera
comprise entre {^n— i) - et (2?» 4~ i) ~* Cela posé, voici en quoi ccmsiste
le théorème général que nous voulons démontrer :
c( D'après la relation entre les amplitudes ^ et 4 donnée par l'équa- » tion (i), toute fonction donnée F (A:, (p) peut être transformée en une » autre F (A , 4) 9 ^e sorte qu'on aura
» le module h et le régulateur fju étant des constantes qu'on pourra D toujours déterminer et^ fonctions da module donné k et du nombre D donné p. »
On aura , par exemple, pour cette détermination, les formules
A =5 akfJi (sln a» — sin Aj -f- sin «(5, . . . =p: sin a^. rfc 7).
Et, parce qu'on a. en même temps ç = ï'7ret4=/^-ï''^) l'équation (2) donnera dans ce cas F' A: = puP^hy ou K s= pfiSi^ en désignant , comme nous le ferons ci-après, par K et H les fonctions complètes* ¥*k et F'à»
dx
1/(1 -*^)-n' -*■**)' [>lei- dcx^o. Et parce que ;r est le sinus de l'amie désignerons ainsi: x = sin. nmp. ^, ou AÇ. Si l'on a une seconde Ibnction F^'ou §' qui ou Ç, en sorte qu'on ait Fip + Fç'=F'A=K, la i est le sinus de l'amplitude de la fonction ^, et que iexpression x = sinAÇ, sera en même temps le siu<> Tamplitude de la fonction 0^ ce que nous désigne- -iimpl, Ç', ou plus simplement, x = sin CA.^. ^=jK, on aura à la fois x=siuA.|K=:sinCA.jKj 1. , on aura à la fois
1 A (= k) = sin CA («^^k)
US abrégées, qui servent à exprimer les sinus des ampliiictious, sont utiles pour donner une nouvelle extension à ;iire qui exprime les fonctions par les amplitudes. i'.iit sin ^ = X , si l'on fait de même sin ^ = ^ , l'équation - f^F {h, 4) ^'^'''^ "•^^^ exprimée
r '^ ^=:ll r '^-y
J ^/c, :.'). v/ci-Z'V) f^J 1/(1-^3. 1/(1- AV')'
aurons occasion de remarquer qu'il y a des avantages particuliers -i à cette forme.
ntenant, il s'agit de démontrer que l'équation (3) est généralement
■ ile par l'cqualion (1) , en déterminant convenablement les constantes
/i, au moyen du module donné k et du nombre impair donné />. Pour
.., nous ferons un lé^er changement à la question, en supposant qu'il
^il de démontrer l'équalion suivante, où les signes ambigus se dé-
-rmineut en prenant le signe supérieur lorsque ^=s4'+it ^t l'inférieur
jrsque p = 4* — ' '■
Ij) (-^J-f)' (-.J.f )'
-ftVam'CA.— i— AVsin'CA.-
ce produit devant avoir pour dernier facteur
2. Pour parvenir à la démonstralion de cette formule générale de transformation qui s'applique à tout nombre impair donné p^ il est nécessaire d'établir quelques dénominations nouvelles et quelques lemmes employés par M. Jacobi dans le nouveau genre d'analyse que nous avons à exposer.
Soient en général F^ et F^ deux fonctions dont le module commun est k^ et telles qu'on ait
F(p4-F4=F(r et F(p — 'V^ = F9 ,
on aura par les formules connues (n"" i8 et 19, tome I)
^^^^ sin ^ cos 'J' V/(i — k* sin* 4) + «în ^l' cos f l/(i— it* sîn' ^) SUi V sss 1 , . * • • f 9
I — k' sm" f svar v^
A ^ sin y cos-j^ t/(i — k* 8În*'j/) — sin^^ co8^t/(i— fe* sin* f) ^ *"" I — ft' sin' ç sin' 4^ '
d'où résulte
I • A 2 sîn ^ cos ^1/(1 —^* sin' 4.) ' I — it' 8in' ^ sin' 4 '
. A sîn* ^ — sîn* 4
I — it* sin*9sm* 4 donc
/ • \/ • A\ I— ifr*sin*^8În*4+«în*f — sin*4''"-3SÎn^cos4t/(i — fe*sîn*4) \ J\ y I — i* sm* p sm* 4
Désignons par F4 et F^^ deux fonctions dont la somme soit ^le à la fonction complète F'it, et soit kf le complément du module kj en sorte qu'on ait k^ + kf*s=:jy on aura (n» 18; tome I) les équations
I cos4' f A' sîn 4'
** tang 4 tang 4' = » > *'•=(! — Af sm»4) (i— Ar^àn* 40- Au moyen de ces formules, la valeur du produit précédent devient
(i-8m<r)(x-8mfl)=i 2i^___w j
et il en résulte l'équation suivante
A sin y Y
^^^ \ sîn 4 / «^ (i — sîn y) (i — sîn é)
W I— it*sin*fsin*4"" cos* 4
3. Appelons la fonction F (A , ^) ou l'intégrale JT/TZ^^^T^ P"^
à compter de ^ = o. Si l'on fait sin ^ = jc , il sera utile de considérer la fonction ^ sous cette forme
où l'intégrale est prise à compter de j:=o. Et parce que a: est le sinus de l'amplitude de la fonction ^, nous le désignerons ainsi: a: = sin. amp. ^, ou plus simplement, x = sin A^. Si Ton a une seconde fonction Fç' ou 0' qui soit le complément de Fç ou 0, en sorte qu'on ait Fç + F^'=F'A:=R, la même variable x^ qui est le sinus de l'amplitude de la fonction ^ , et que nous désignerons par l'expression a:=^sin A^, sera en même temps le sinus du complément de l'amplitude de la fonction ^ ^ ce que nous désignerons ainsi : a:=:sin co-ampl. 0', ou plus simplement, x = sin CA . ^.
Par exemple, soit 0=fK, on aura à la fois j:=sinA.fK=sinCA.|Kj
de même, si ^ = — R, on aura à la fois
or = sin A (^ K) = sin CA (^=^ k)
Ces dénominations abrégées, qui servent à exprimer les sinus des ampli-^ tudes par les fonctions, sont utiles pour donner une nouvelle extension à l'analyse ordinaire qui exprime les fonctions par les amplitudes.
4- Ayant fait sin ^ = or ^ si l'on fait de même sin 4 = J^ > l'équation F (A , ^) = ftF (A , «4/) sera ainsi exprimée
/' dx ^ p dy
et nous aurons occasion de remarquer qu'il y a des avantages particuliers attachés à cette forme.
Maintenant, il s'agit de démontrer que l'équation (s) est généralement satisfaite par l'équation (i), en déterminant convenablement les constantes fjuethy au moyen du module donné A: et du nombre impair donné p. Pour cela, nous ferons un léger changement à la question, en supposant qu'il s'agit de démontrer l'équation suivante, où les signes ambigus se déterminent en prenant le signe supérieur lorsque p^sz^i'^i^ et l'inférieur lorsque ^ = 4^—1 :
V sin A,— / \ sînA. — ) V siuA. — /
(4) ,-^(.=px).-\ ^.> ^-Lr^ ^
,— ftVsin'CA.- I— AVsin'CA.— i— i^•«»8inCA.— P P P
ce produit devant avoir pour dernier &cteur
FONCTIONS ELLIPnQDES,
•ta^
P En effet , si dans cette équation on change à la fois le signe de a: et celui de y , on aura une seconde équation , et la division de l'une par l'autre donnera
p if p
Or, on a
^^^::tang»(45o-H), r^ = tang- (45« =fc i ^).
Cette dernière équation revient donc à Péquation (i) , qui sera ainsi démontrée si l'on démontre l'équation (4).
5. Dans cette vue, faisons l'application du lemme contenu dans l'ëquation (3), où nous supposerons 8in^=:x, 4>'=A. — , -«l/siCA.r— )
. ^ r g . "* K) j ce qui donne
F<r = Fç + F4 = ?+«=i?K, Ffl=F^-F4 = ?-£=2ÎK, sino-sssinA.r^-h'^ZZ^K.X 8in0=: sin A.^f — ^ "^ RV
On aura donc , en vertu de ce lemme , la formule suivante , qui s'ap* plique à toute valeur du nombre entier m :
i-if*»8in«CA.— co.»CA.Î^
Au moyen de cette formule, dans laquelle on fera successivement m=:i, 3^ 5. .••/? — 2 , l'équation (4) se réduira à la forme
I— 7 = (i=f:siQA^).Q, où P désignera le produit des p— i facteurs suivans :
sin A(?+|k), I rfcsin a(?-^K),
sin A(Ç-|-|k), 1 zpsin A(e-|R),
ain A(0 + |r), I dbsin a(^ -|^)'
;-8in A(e+^-=iK), i - sin A (? - -^=1 r) , et où Q aura la valeur
= co5*CA.— .co8*CA. — .co8*CA. — .. . cos'CA.^^^ R , ^ P P P P
qu'on peut écrire ainsi ^ d'après la valeui' générale de a^ ^
Q ES cos* tf . cos* «4 Cos* «a . . . . cos* a^— j.
Si l'on examine ultétieuretnent les p^^i factettfs qui composent la valeur de P) on trouvera qu'en leur appliquant les formules
sinA.Ç = — sinA(f — aR) = — sinA(Ç + 3K)=sinA(f + 4R),
qui ont le même fondement que les simples formules trigonométriques ,
sinfŒ— sin(Ç — a.0i= — sin(c + 3-i) = 8iû(fH-4.^),
ces ^ — I fecteurs , joints au fiicteur isolé i qp sin A^ y forment la suite continue
iqpsinA.f, izpsin A ^f 4-^) , i =psin A^Ç-f-— ),
sinA(f+'^),...i=FsmA(e+<^K).
Et leur produit sera le numérateur de la valeur de i -— "T" ? de sorte qu'on aura
(iq:8inAa[^iq:sinA({+^)]Q2F«inA({+?^^ Q:psiiiÀ(|+^£=^)]
"^ 008*«flCOS*«4COS*«6**-*COS*«p^
6. Il faut maintenant remarquer que cette formulé reste la même lôYsque
^ augmente de — ; car alors chaque facteur prend la place du facteur sui-
vant , et le dernier, qui devient i q= sin A (^ +4^^) ; se réduit au premier
/ "ir
sin A . ^, On peut donc mettre , en général , ^ + ^ à la pL
I £f;= siu .^.ç. yjw peui uonu meii^re, eu geuerai, ç -f- -= a la place
de ^ , m étant un entier quelconque , sans rien changer à la valeur de
IXous remarquerons encore qu'en faisant ^ = o , le second membre de l'équation (6) se réduit à i ; de sorte qu'on a en même temps ^ = o> C'est ce qu^on verra aisément en faisant ^ = o dans le développement (n'^ 5) des facteurs de P; car, dans ce cas, le produit de tous ces facteurs donne
P = cos*A.-K.cos'A.^K.cos'A.-R cos*A.f^^^K:
ce qui est la valeur de Q.
U résulte donc aussi de l'équation (6), qu'en faisant ^ = — R, m étant
un entier pris dans la suite i,:i,3...^— -i,le second membre se réduit encore à l'unité. En effet , puisque, sans changer le numérateur de cette formule, on peut mettre ^ +« ^ — à la place de Ç , il s'ensuit que la supposi-
tion ^ s= -^— - donnera le même résultat que la supposition ^ =â o , et
qu'ainsi on aura J^ = o.
On voit donc que j^ doit s'évanouir pour les p valeurs
j:=o, smA.-ï— , sinA. — , smA. — •••• smA.-^^- — ^Iv, ' P^ P ^ P P
ou , ce qui revient au même , pour les p valeurs
;r = o. smA. — , sinA.-^, smA. — .... sinA.^- R,
A aK A oR A oK « p "* I TT -^smA. — , — sm A.-^— , — sm A.-^. .. . — -smA.^^ R;
ce qui se déduit immédiatement des fiicteurs de P donnés n^ 5.
