Maintenant, si nous mettons l'équation (4) sous la forme
I — y = V' ^^^ résulte y s= — y— , la fonction V — Z, qui est une
fonction de x , rationnelle , entière et du degré p , devra s'évanouir , ainsi que jr , pour toutes les valeurs or = qp sin A ^ , ou or = =p sin a^^ ,
am ayant successivement toutes les valeurs o, a^ 4 9 6.*.. p *^\ ; donc cette fonction V-— Z aura pour facteurs
Xn I
' sm'tfft ^ sm"«C4^ sin^tf^ sm*«p^i
Mais puisque ces facteurs forment par leur produit un polynôme du de^ gré;?, le même que celui de la fonction V-— Z, il suffira, pour reproduire la fonction Y — -Z, de joindre à ces facteurs variables un facteur constant ;
ce facteur constant ne peut être que - , puisqu'en supposant (p infiniment petit dans Féquation F (A, (p) = f*F(Aj >P)> on en lire ^}/ = -^, ou
yz=z "X. Donc si Ton prend les fonctions U et V d'après les valeurs
(i7) J \ sm*«a/\ sin*ii4/\ sin'^e/ \ sin*iip i/
lV=(i — A'a:'sin*aJ(i — k^x^sm^cL^{i — A:»x»sin*fli5)...(i-A:'x'sin'«^,),
on aura
Pour déterminer la valeur de ^&, il faut observer, d'après Péquation (4) , que I —y a pour facteur i — *x lorsque /? = 4*'4" ^> ^t i + or lorsque ^=s 4^*— • I. Ainsi la valeur^ = i a lieu dans le premier cas lorsque a:=i, et dans le second lorsque a: = — • i .
D'ailleurs, suivant les formules des fonctions complémentaires (art. 2),
on a
1 — ifsiii*A{ sin^At'
Donc on aura dans les deux cas
^jvv ^^^ sîn* #1 sin* #3 sin* ms . -sm* «p
^ ^ ^ """ sin* «p«i sin* «^«3 sin* «^«5 . . . sin* «ig
8. Ayant trouvé la valeur de^ en fonction de ^, il resterait à substituer cette valeur dans l'équation différentielle
dv dy
1/(1— *»).v/(i— ifrv) "~ '^VC»— j'O-i/o— ^y)'
et à prouver que les deux membres deviennent identiques, en déterminant convenablement le module A, qui reste encore inconnu. Mais le calcul qu'exige cette substitution ne sçrait praticable que pour des valeurs assez
lo FONCTIONS ELLIPTIQUES.
petites du nombre p^ telles que pz=s:S^ S , 7 ,'et il cesserait absolument de l'être en laissant la formule dans l'état de généralité qui s'applique à toute valeur du nombre impair p.
La difficulté qui se présente ici est d'une telle nature , qu'il ne resterait guère d'espoir de parvenir à la démonstrati(fti générale , si M. Jacobi n'eût trouvé un moyen aussi simple qu'ingénieux d'éviter la substitution à faàre dans l'équation différentielle, et d'y suppléer pjar une propriété particulière de cette équation , qui doit être commune aux int^rales qui la représentent.
9. Cette propriété consiste dans la remarque faite par l'auteur y que si l'on
substitue à la fois r- à la place de x , et r- à la place de jr y l'équation
dififérentielle , quoique affectée dans chaque membre du facteur |/^^ i y
n'en sera pas moins satisfaite par la suppression de ce facteur. Tout
se réduit donc à faire cette double substitution dans l'intégrale*. •• • . .
Or, en substituant 7- à la place de x dans le facteur général,
^ = - • s? , et à examiner si elle est satisfaite.
uni zsz ,^ ., ■ « ■ '
qui sert à composer la valeur de y , ce facteur devient
Donc la double substitution dont il s'agit donnera pour résultat
On voit maintenant que pour que cetteéquation s'accorde avec l'équation proposée j^ == - • =t , il suffit de déternùner le module h par la formule
h = f«t'Af sin* a^ sin* a^ àin* it^.... sin* tf^, , ou , en substituant la valeur de ^ tirée de l'équation (8) , fp) A = A' sin* a, sin* «3 sin^ a^ sin* a,
Par ce procédé très simple, il est constaté que l'équation ^=- • *? satisfait, pour toute valeur du nombre impair py à l'équation difFérentielle dont
PREMIER SUPPLÉMENT, w
l'intégrale est F(A:, ^)=sjb6F(A, 4)^ ^^ donnant aux constantes /t et h les valeurs que nous avons déterminées, et qu'ainsi le théorème de M. Jacobi est démontré dans toute sa généralité.
10. La valeur de i— / a éjé mise ci-dessus (p? 6) sous une foriiie dobt le dénominateur est constant : on peut mettre sous une semblable forme la valeur dej^; car, en vertu de l'équation donnée art. a, savoir
la quantité que nous avons nommée Tlm (art. 9) peut se mettre sous la forme
Tlm
sin' A
Donnant à 171 toutes les' valeurs Si, ^j 6. ••. p'-^ i , ei faisant le produit de tous les facteurs, on aui^a
sm
i„AÇ -nJ.(i+^fynA(l + ^^) inA(g4-^'K)
sin* A. — sin'A. -— . . . • sin" A. K
ou, en substituant la valeur de fc donnée par l'équation (8) ,
nnA?sinA({ + — )sinA('ç4-^Y...sinA(| + ?2JIliK)
^ sin* «1 sin* «3 sin^ «5 . • . . sin^ «p.»
II. Telle est en substance la démonstration donnée par M. Jacobi, dans le n^ 127 du Journal de. M. Schumacher, de la formule générale au moyen de laquelle on peut transformer toute fonction eUiptique donnée de première espèce F(A:, ^), d'abord en une autre F(Â , «^z) , dont le module est moindre que k, puis celle-ci en une troisième, et ainsi à l'infini, suivant une échelle de modules correspondante au nombre impair donné p.
Ce théorème, réuni à un autre dont nous avons déjà parlé, ajoute un grand degré de perfection à la nouvelle branche d'analyse connue maintenant sous le nom de théorie des fonctions elliptiques; mais son impertance même semble faire désirer que la démonstration, quoique établie sur un principe incontestable et très ingénieux , soit soumise à un autre genre de vérification qui la mette , s'il est possible , dans un plus grand
lOUr» * * ••": ■fHiii
Toici , pour cet objet, un moyen fondé sur la substitution immédiate de
1 3 FONCTIONS ELUPTIQUES ,
la valeur j^ = - . ^ dans l'ëqualion difierentielle , mais dont le succès tient
encore au principe de la double substitution , principe sans lequel on ne pourrait avoir la valeur de i — - A/, exprimée par le produit de plusieurs Ëicteurs, en la déduisant des valeurs semblablement exprimées de i — j^ et de j.
13. Nous mettrons d'abord l'éqaation différentielle sous la forme
ensuite faisant
V^(i — ^) (i — hy*) = (i — jf) (i ^Â:*x*)TS
et déterminant T par cette équation, il restera à satisfaire à l'équation
Les polynômes U et Y étant, ainsi que T, des fonctions paires de x, il conviendra de faire o:^ = ^ , et l'on aura Féquation
/ T \ 2 dU^ rfV
où il faudra démontrer que les deux membres peuvent être rendus identiques.
i3. On a d'abord, par les équations (4) et (5),
(,o) v-(i-r)=(i-^)0-iiÏ7j('-nl:;;y---0-n?t.y'
ensuite, si dans l'équation (4), qu'on peut écrire ainsi
on substitue à la fois r- à la place de ^, et r- à la place de ^ , on aura
un résultat qui, étant combiné avec la valeur jrszL- .^, s'exprime comme
il suit :
(il) (i^^hf)y:=={izpkx)(i-^kxsina^y{i+fcxsina^y...{idckxsina^^^^
Changeant à la fois le signe de^ et celui de a:, puis multipliant ensemble les deux formules , on aura
PREMIER SUPPLÉMENT. x3
De cette équation et de l'équation (lo) on déduit la valeur de T*, et de là celle de T exprimée par une double suite de facteurs, savoir
( (l — A:*a:*sin*rt,)(i — A'x^sin'aj) (i — A* j:r* sin* «p., )
l \ """ sin* «1/ \ sin* «3/ \ sin' «p» /
14. Maintenant il faut développer les deux membres de 1 équation
r ^\ T— UV rfU dV
^^ ^ 2 CUV ^VdZ~ \d^'
en fractions partielles qui aient pour dénominateurs les différens facteurs des polynômes U et V. Dans ce développement , il n'y a pas lieu de tenir compte du facteur Ç, parce que T— x étant divisible par a:* ou Ç, ainsi que Uy — I , leur diflférence T— UV sera également divisible par Ç.
Considérons un facteur quelconque de U, désigné par 1 — -— — ,
m étant l'un des nombres 2.4)6.... r>— 'i.et soit U = f i — -—- — "^ U';
le second membre de notre équation contiendra dans son développement le terme général
sin» •» — Ç'
Le terme semblable contenu dans le premier membre se trouvera en Élisant
(T — UV) sin*«ni T
i^=i sin^a. dans la fonction ^ «-rj/y , ou simplement dans -TjTy-
T Soit H ce que devient par cette substitution -rpv' ^^Icp^'^'ûîcr membre con-
tiendra le terme -r-j ZT?* L'identité des deux membres exigera donc
que pour toute valeur deiTi, on ait Hsi=-— i. Soit pour abréger
Q \3in*tf| y \.8in*<t3 / ysm'iip^» /
^ "^ (1 — ^* sin* «h» sin» «p^,) (i — k"" sin* «« sin*«p 3) • . . (i — /t* sin*«« sin» «») '
/ sin» dm \ / s in» u^ \ / sin»#n, ^
Qf ^^ \ sin» u^ )\ sin» «4 / V sin» #m-.» /
^ (i-i-ir»8in» «msin» «p.) (i — it»8in» «m sin» tfp 4) . . . (i — *» sin» «m sin» «tj,^m^i) '
Qf \ Sm» #m4-a/ \ Sin» iJHHV > ^"^ ^p-i/
i4 FONCTIONS ELUPTIQUES ,
et l'équation H = •— i qu'il faut vérifier sera
Q ( I — A* sin* a« siii* a^^.) = 2 Q'Q';
i5. Pour réduire celte équation, il faut d'abord poser le lemme suivant , qu'il est facile de déduire de l'équation (3),
sin* ««
(14) ^ . ^ — ^W-pr— s=zfc T — j : .
le signe ambigu du second membre ne sert qu'à rendre les deux membres de même signe.
Au moyen de ce lemme, la quantité désignée par Q s'exprimera par des produits de cosinus dont on pourra négliger les signes , sachant que le résultat doit être positif; ce produit est
COS mm^p^i COS «94.^.^ COS ctai^^.^. ..•••- COS
C05<Cm-y-hl <^Q^ *m^p^ C0« <bt~M^ COS
COS* itp.| COS^tfp.^ COS* ctp.5 COS*«a
Si, pour plus de simplicité, on écrit seulement les indices de a , on aura k considérer l'expression symbolique
iî» + /) — I, /»-{*/'~3> m+/i — 5 77» -{- 2
lî»— p-^ I, m — /> + 3, 7?i— /) + 5 wi — 2
Dans ces expressions où l'indice n^ est mis & la place de cos o^, les termes représentant des facteurs qui doivent être multipliés entre eux, tant au numérateur qu'au dénominateur, il faut observer que -^ n peut être remplacé par •^fiy et que p^n peut l'être par /? — n, par la raison que. . • cos («^ = cos (— €t») = cosa^, et que les amplitudes «t^.^, a,^^ étant
telles qu'on a F («p..)+F (fiW«>=0>-/ï) - +(/?+» )-= aK, il en ré-
suite a^»-|-ûî^4.»= x8o* = 'TT, et par conséquent cos Op^^ss —cos ot^J..; or, on est convenu de n'avoir pas égard aux signes des cosinus, puisqu'on sait que le résultat total doit être positif. Ainsi, l'indice p^^n désignera le même facteur que p^^^n. Cela posé , l'expression précédente peut être écrite ainsi : '
II»— -2, m— 4> • • • • O, "~"3> ""* 4* • • • w»— jd ^» I
Le terme o dans le numérateur peut être omis, parce qu'il indique le facteur cos Oo ou cos o ou I ; les facteurs négatifs peuvent être diangés de
PREMIER SUPPLÉMENT. i5
signe; alors l'expression devient, en ajoutant m de part et d'autre,
Par la suppression des facteurs communs aux deux termes, la fraction devient
et comme, suivant la remarque que nous avons faite, /^-^n équivaut à ;? — il, l'expression entière se réduit à — . Donc en général Q =s ^^ ^ . On aura semblablement, en vertu du lemme (14)9 l'expression
îii-f-p— 2, m+p— 4«*»* P"l"^ ^/ TJi— pHhi^? jyi— p* |"4* « • * 2771— p— 2^
et parce que la ligne supérieure ;9+2,;9+4- • •• /'+''*'^2, équivaut à l'inférieure /?— 2, /?— 4* • • Z'— ^^-2 , on aura simplement
Le nombre des termes est dans chaque ligne ^m-— i; mais l'expression ne se réduit pas; on peut seulement, en changeant les signes des termes du numérateur, la mettre sous cette forme,
On aura enfin par les mêmes opérations
pk» p— 771. p— 77l-f-2.,..p — 2
de là Q' Q" = •^=^ sa ^^ , ou plutôt, parce que Q'Q'' doit être positif, Q'Q'5=:f2i5î=«. ^ .
16. Au moyen de toutes ces réductions l'équation à vérifier devient a cos a» cos «p^» = ( i ~ A:* sin* a« sin' «p-») cos a^.„.
Mais suivant les formules de l'art. 19, tom. P*", si l'on fait ^ = ap„, 4=s*«, F(p — F4c=:F;*, ce qui donne F(p =3 ^Hlï K, F^ss - K,
i6 FONCTIONS ELUPTIQUES ,
TfJL=S' 1^9l^=^V— MB) on aura cosft ou
d'ailleurs y Ta^ et Tct^^^ étant deux fonctions complémentaires , on a Aa^ A tfyw«i = ï/(i — A:*) s= A:', et A' tang «^ tang aj = i ; donc enfin
2 COS fiCm COS «p.m
COS a. — ^^^ —
I — ib* sin* «m sin* «p. m'
Ainsi l'équation que nous voulions vérifier a lieu pour toute valeur de m prise dans la suite :î,4>^***/'"^ïî c'est-à-dire pour tous les facteurs de U,
17. U ne reste plus qu'à vérifier l'équation par rapport à tout facteur du polynôme V.
Cefsicteurpeut être représenté par i — Ar'Ç' sin' a., quêtant encore un terme quelconque de la suite 3 , 4 > 6. ...;?— i. Soit V = (i — AfÇ sin* am)V',
le second membre de l'équation (i3) contiendra, dans sa partie — .^^^ le
terme ,,» .*^ — • Pour avoir le terme semblable dans le premier membre ,
I , X uv
il faudra substituer la valeur t = ,^ . , dans la fonction — ôFFîrT- , ou seu-
^ it*8in*«m . 2<UV '
T . * . T • lement dans sa partie -TO^,, Soit H' ce que devient -rj^ par cette substitution , et ^ o . f " sera le terme qui résulte du premier membre ; donc ,
pour qu'il y ait identité avec le second membre, il faudra qu'on ait H'=i pour toute valeur de m prise dans la suite 3,49 6..../7-^i.
Or, en calculant là valeur de H' comme il vient d'être dit, l'équation H' s= I conduit encore à l'équation que nous avons vérifiée sous la forme
Q ( I if sin* tf „ sin* tf^^) = sQ'Q'.
Il est donc constaté, d'une manière générale, que l'équation (i3) de-r vient identique, en substituant dans les deux membres les valeurs trouvées pour les fonctions T , U , Y , et qu'ainsi il ne reste rien à désirer pour la confirmation pleine et entière du beau théorème de M. Jacobi.
18. L'usage de ce théorème suppose la détermination préalable des quantités ft^^ qui satisfont à l'équation F (A, ««) = — F'A:= — .
Ces auxiliaires étant connues, on connaîtra les constantes ^ et fi qui entrent dans, la formule de transformation F (A:, ^)s=:ftF(A, %[/), et l'ampli-*
tude ^[r pourra être calculée par la formule trigonométrique (i) ou par des formules équivalentes. ,
Ayant passé ainsi du module donné k au module plus petit h^ ou passera , par des formules semblables, du module A à un module plus petit h^^ et ainsi à l'infini ; ce qui formera l'échelle des modules dans l'ordre décrois» sant ky hy hij h^y.. jusqu'à la limite zéro. Cette suite peut être continuée à l'infini dans l'ordre inverse, au moyen de l'équation algébrique qui existe entre les deux modules A et /(, et qui permet de déterminer le module k par le moyen du module plus petit h y on déterminera donc semblablement le module h^ par le module plus petit A:, de même, k^ par A:,, et ainsi de suite ) ce qui produira pour tout nombre impair donné p , une échelle de modules infinie dans les deux sens, ainsi représentée
lim. i)«* . . ^3, kt,y kgy kj h y ht y h^y h^'y . . (Lim. o
et la fonction donnée F (A:, (p) pourra, en vertu du théorème général, être transformée en une infinité d'autres qui auront pour modules les difierens termes de cette échelle. Tout se réduit à la résolution d'un certain nombre d'équations algébriques f mais nous reviendrons sur cet objet après avoir démontré le second théorème général de M. Jacobi , qui sert de complément au premier, et qui offre un second moyen de transformation, appliqué k la même échelle pour le nombre p.
§ n. Démonstration du théorème II de M. Jacobi.
19. D'après la démonstration que nous avons donnée du théorème I*', il est constant qu'on satisfait à l'équation F (A:, ^) = ftF(A, 4)> ^u^i l>ien qu'à sa différentielle
dx dy^
qui suppose sin ^ = ^ et sin «vf. =^, au moyen des formules qui donnent l'expression de^ en fonction de a:, et qui déterminent les constantes heX, p» en fonctions du module donné A: et du nombre impair donné p.
Et puisque, par la substitution de j^ en fonction de oc y les deux membres de l'équation différentielle deviennent identiques , ce résultat , considéré analytiquement, doit avoir Heu pour toutes valeurs de x et de^, pluS''pe* tites ou plus grandes que l'unité, réelles ou imaginaires, pourvu qu'elles satisfassent à l'équation de l'art. 7 , et que les constantes kyhyp, restent les mêmes*
Cela posé, soit or = / tango* et^ssf'tangr, i désignant pour abréger t/— I , l'équation diflerentieile deviendra
dr ^___ dr
et son intégrale sera (.5) F (A:', (7) = ^F (ii', T).
On obtient ainsi une nouvelle formule de transformation qui s'applique aux modules k! et h'j complémens des modules k et h de la première formule ; mais il faut voir comment les nouvelles amplitudes 0* et r se déduiront l'une de l'autre.
Pour cela , nous reprendrons les formules du théorème I*' , qui servent à exprimer sin «v)/ et cos «^ en fonctions de sin <p et cos <p. Ces formules sont
sin* sin* A sin*
cosr
Binr
! — . ^*°^ sin'ita sin* #4 si n* ity^i
* fi I— ifr*sin"^8m*«t I — iP^ sm*^ sm* «4 i — ifr* sin* f sin*«p^i '
sin* ^ sin* ^ sin* ^
4 8in*«i sin* «s sin'itp^»
!= COSy> ' i« » > . ^ • 1. « . — T-r— . . • • • . , . - — S-T — .
^ X— it*8m*f8in*«p i I — A:*sin*9sin*«p 5 i — ir sin* ^ sm* m»
11 faut y substituer les valeurs sin ^=si tango*, cos^= — , sin *>{. ^i tang r , COS 'nL = , et l'on en déduira
T ATM •• '
^^ sin r i-f"00t*4»a sin* a- I + oot* ^4 sin* y i-Hx>t*iip isinV "" ^ ' i-f-cot*«pu ft8inV'i+cot'V;,4sin*a-*'*i+oot'«i8in*r'
co8*«» . , cos* «4 . , cos*««, . ^ .
I— -r-T Sin*r I r-; — ^smV 1— — r- / 8m*r
V ^/ ^ I -|- col*<ip, sinV I +cot*«ip 4 8in*a- i -f- cot* «1 sm* r '
cos* «Il sin* «• cos* «3 . . cos***^» . .
1 r-T I :-; smV I r-T^=-SinV
1/(1— A •sin*r)=l/(l — it ■sin*a-) . ; ^r-^ • \ ^ • • • — ï 1 : •
^^ /— Kv j , ^ cot* «i sin* 0- 1 4- cot' «3 sin* <r i-hcot*iip^sm*r*
Ces équations contiennent la loi suivant laquelle l'amplitude r se déduira de l'amplitude donnée c pour satisfaire à l'équation (i5) ; il en résulte que r et 0* croissent simultanément, quoique d'une manière inégale, et parviennent toutes deux de zéro à 90^. En général, ces amplitudes sont égales toutes les fois que l'une d'elles est mi multiple de go*.
20. Les formules (i5) et (16), qui se déduisent, comme on voit, très simplement des formules du théorème I*% établissent une analogie très remarquable entre les deux échelles construites, pour le même nombre impair p^
l'une d'après le module A:, l'autre d'après son complément k. La première étant formée , il suffit de prendre les complémens des différens termes pour former une seconde échelle qui marche en sens contraire de la première , comme on le Toit ici :
i^ • • • • A j j A j^ j A| j A j tt ^ hi ^ h^ ^ h^» 9 • • (0
Oj • • • • A 3 y iCf^ y K ly K y fi y il ^y il ^y il $, • • m ^ï
Dans l'ordre naturel de la première échelle, on passe du module k au module plus petit h y au moyen de l'équation F (A:, ç) =iuF (^, 4)> ^^ ^° ®°^" ployant la formule qui exprime sin >[/ en fonction de sin ^.
Une opération semblahle se fait dans la seconde échelle , pour passer du module A/ au module plus grand A', au moyen de l'équation. •••• •••
F (A:', or) =s)ttF(A', t) et de la formule qui détermine sin r par sin a. Dans les deux cas , le régulateur /jl est le même , et les mêmes auxiliaires a^ servent à former les équations des amplitudes.
La première échelle sert aussi à passer du module A: au module plus grand k^ , de celui-ci au module plus grand k^ , ainsi de suite ; mais alors l'opération est plus compliquée, parce que chaque amplitude ne peut se déduire de la précédente que par la résolution d'une équation du degré p. Une pareille difficulté se rencontre dans l'échelle des complémens, quand il s'agît de passer du module kf au module plus petit A^,, de celuici au module plus petit k^^y etc.
2 1 . Puisqu'on a en même temps c ssz \^ et r z=s ^'TTy la formule
F (A/, ^) = ftF(A', t) donne, dans ce cas, F*A:'= fîE'h'y ou u= E,
en désignant par K' et H' les fonctions complètes F*A' et F* A'. Mais, par la formule du théorème r% nous avons déjà trouvé 'K.zzspfjiH'y donc on a, en général,
Cette équation entre deux modules consécutif A: et A, qui appartiennent à l'échelle construite pour le nombre impair /? , est un théorème fort remarquable, dont nous ferons connaître ci -après les nombreux usages. Nous observerons seulement ici que ce théorème s'accorde avec les propriétés déjà démontrées dans les n*' 76 et 190 du tome 1*', relativement à l'échelle ancienne des modules et à celle qui répond au nombre 3.
22. Le théorème II de M. Jacobi, auquel nous voulons parvenir, est déjà écrit dans les équations (i5) et (16); il ne s'agit plus que d'y changer quel-
ao FONCTIONS ELLIPTIQUES 5
ques dénominations , aGu de coordonner ce théorème avec le théorème I^, dont il est le complément.
Dans l'équation (i5) on peut changer k! en h-, alors h' deviendra ky etk se changera en h* -y et puisque cr est une amplitude à volonté, on peut faire 0' = '4/ et l'amplitude correspondante rs=ico. Par tous ces changemens, le coeflicient ft deviendra f/f, et l'équalion des fonctions sera
U faudra ensuite, dans les équations (16), remplacer les quantités e^ par des quantités analogues €^ qui satisfont à l'équation F {h\ ^„) = — H'. Faisant alors sin >[/ =zjr et sin cûz=zz, les équations des amplitudes se déduiront des équations (16) comme il suit :
j^ i + j^'cofC ^ i+^oot'C4 1 + J^ cQt' Cy,, /'i + j'^cot^Cp^/i + j'*cofCp 4 •••• i+y^cot^, > y* cos°g> j ^cos^g^ ^*co8*Cp,,
j^*cos^ Cl y'cos* C3 J^*COS*gp^
Telles sont les formules principales dans lesquelles consiste le théorème II de M. Jacohi, que nous nous proposions de démontrer; il ne nous reste plus qu'à y joindre les formules qui serviraient à déterminer les constantes k! et fi' par le moyen du module donné h; ces formules, qui se déduisent aisément des formules analogues pour le théorème I*', seront développées dans le paragraphe suivant.
23. On a déjà remarqué, dans les équations (16), que les deux amplitudes parviennent en même temps de zéro à go°; il en est de même desdeux amplitudes >[/ et cù. Faisant donc à la fois ^ s=z ^tt et cù =2 ^^, on aura F'A = )t/F'A:, ou H = ft'K. Mais on a déjà trouvé, par les formules du théorème I*', K=/'uH; donc on a, entre les régulateurs fjc etfJt/p l'équation générale
(20) pi^fi' = I :
Maintenant, si l'on combine ensemble les deux formules. . • •
F{ky(p) = fjîP{hy 4)> F(*j 4) = A^'''^(*> ^)y fournies par les deux théorèmes, on aura F (A, ^) = /ifJt/ F (A:, a>), ou
(ai) F(k,^)=p¥{k,<p).
PREMIER SUPPLÉMENT. ai
C'est la formule qui contient la loi de la multiplication des fonctions, et par conséquent celle de leur division par un nombre impair p\ et c'est parce que les deux théorèmes concourent également à produire ce résultat que nous les regardons comme étant complémens l'un de l'autre. INous donnerons bientôt le développement des nombreuses propriétés qui résultent de ces deux théorèmes; mais avant tout, il ne sera pas inutile de faire connaître une autre manière de parvenir directement à la démonstration du théorème II.
ni^. Soit, comme ci-dessus, ^g, l'amplitude qui, pour le module h!j satis-
fait à l'équation F {h!^ 6^) = — H'; soient 4i> 4i> 45* •• 4?— •> ^^* ^^^ gles qui se déduisent de l'amplitude ^[/ , au moyen des formules
tan64.= ^^tang4, tang4,=^-çj tang4... tang4p.= ^— tang4.
Si l'on fait
le signe supérieur ayant lieu si ^ = 4*+ i > et l'inférieur si ^ = 4*"" i j je dis qu'on aura la formule de transformation
pourvu qu'on détermine convenablement les constantes k et fi' en fonctions de h ou de son complément h'. f
a5. Pour procéder à la démonstration de cette proposition, nous chercherons d'abord la valeur de sin û>, exprimée en fonction de sin 4- Or, on sait en général que, si a, i, c, dj etc. , sont les tangentes de plusieurs arcs,
la tangente de la somme de ces arcs sera exprimée par ' '^I^^T^^ ^ -^^
s^ jetant la somme des tangentes a^b^c^d^ etc., s^ la somme de leurs pro*duits deux à deux , s^ celle de leurs produits trois à trois , etc. Soit donc tang 4 = ^ 9 si l'on fait
\ sin C,/ \ ^^ sin C3/ \ sin C5/ • • • • • ^ gj^ ^^«*/
= 1— A,« + A.«*~A,«» + etc zfcA^ J^^'^
on aura en général tang (^ a qp ^ 4) = êT ' ^^ faisant pour abréger
N = A, — A,f + A^t^ — etc. , Ds=i — A,<* + A4£* — etc.
De la on tire tang ^ a = p.— #^ta *nL ^ ^^^ ^
2tangi# . , aND ±: (D* — ^N*)
I + tang* i » ^ D* + ^N* '
I— tang*i# D» — /*N* qp 2^ND
1 + tang* {êê ^ D* + ^JN*
26. Dans ces deux dernières formules , on peut mettre le dénominateur D* + it'N* sous la forme d'un produit de plusieurs facteurs connus. Pour cela, soit en général ^(t) la fonction de t égale au produit
\ sin C|/ \ ^^sin C3/ \ sîn C5/ \ sin €p^^ '
on aura aussi
*(0=i— A,£ + A,f — A,«» dbA., ,r^""'\
De là résulte
Substituant dans le second membre de cette dernière formule les valeurs de * (t j/— i) et 4 (— ■ t \/— i) exprimées en facteurs, on aura
»•+'•»•=(■ +d^) O+s^rJO+s^r^ {'+s^y,
ensuite si Ton fait sin •vfrssj^, ou ^ = "^"3> chaque facteur i -|- -7-7%
deviendra ^"3 — > ^® sorte qu'en faisant encore sinûi = z et z^=sy»ç.y
on aura
Q = (i H-j^ cof ^0 (i +j^ cof ^,) • . • . (1 +jr^ cof e^..)-
Quant au numérateur P , il résulte de la quantité aND zfc (D* — /•N') ,
ou db[(D =bN)' — (i +/')N*], en y substituant la valeur ^= 7:^^,
puis négligeant le dénominateur commun (i — J'')''""*, comme on l'a négligé dans l'expression de D* 4" ^*N'.
P . . , Maintenant, s'il est vrai que l'expression z^sjr.^ satisfait à l'équation
F(A, «4/) =ft'F(A;, a>), ou, ce qui revient au même, à l'équation difierentielle
PREMIER SUPPLÉMENT. a3
on pourra dans cette expression substituer à la fois t- à la place à&y^ et
r- à la place de z, ce qui fera connaître a priori la valeur de P déduite de la valeur connue de Q : on trouvera ainsi
P = c (i H- hy^^ tang» ^0 (ï + ^!r' tang* ^3) • • • ( i + A*/* lang* ff,^.)» c étant une constante dont la valeur = -;•
La supposition que nous ferions en ce cas sera changée en certitude si nous faisons voir qu'un facteur quelconque de la quantité précédente, savoir i + Ay*tang*ff^«Mi, ou simplement i+/*cot*fft»> est en même temps facteur de fD =fc «)• — (i + V) N\
37. Soit donc ^* =r — tang* ff,„, ou simplement j* = — tang* 6, ce
qui donne ^ - ou <• = — sin*6, si l'on substitue cette valeur dans les
formules de l'art. 25, on aura
N = A, + Aj sin*ff + As sin^S •+• etc., D = I + A, sin* ff + A4 sin* & + etc. ,
ou en exprimant ces quantités au moyen de la fonction ^,
N = -4-;; *( — sinff) ^5 *(sinff),
D= a*(sinff) + \ *(sin^).
Cela posé, l'équation (DdbN)' — (i +i*)N* = o, qu'il s'agit de vérifier, deviendra
elle se réduit à
et l'on en tire (*)
(^) Dans la formule suivante, i désigne le facteur db 1 introduit par l'extraction de la racine carrée ; cette sorte d'ambiguité ne devant pas être confondue arec celle qui dépend de la forme du nombre impair p.
a4 FONCTIOHS ELUPTIQUES ,
'-8(45-±SQ=.-^tS™0..
Substituant les valeurs développées en facteurs , de * (sinf) et *(— sinff), et remettant €^ k la place de 6 y on aura enfin cette équation de condition qui devra être vérifiée par toutes les valeurs de 2m :
tang(4^®ZEi6t»)=*«-r— TîT-: — . a • . ^à ' . ^ • . ■ /> , ■ . m »- -r-Ts — ,. . i* '
i ^^^ ' 8inb,-(-SinbMi SlDb3 SlIlbMi 8mb5-f-SlIl0Mi Sin b^.^ qi 8111 bj^i
tanffri5o-*-it V-» taiigKg.-g»m) tangK^»!») tangKCp.»±g^)
Mais si dans l'équation (i), nous faisons ^ = a^, il résulte de la valeur de U donnée dans les équations (7) et de la loi suivant laquelle croissent simultanément les amplitudes '^et <p relatives au théorème P', qu'on aura en
général 4 ^^nm^ et par conséquent tang (45>**— ï4)^==(""0""î ^^^^ ^^ ^^^^ change aeaQ^ce qui revient à substituer le module h! au module A:, l'équa* tion (i) sera identiquement la même que la précédente en prenant
à8. U est démontré maintenant que de l'équation (aa) on déduit un résultat tout-à-fait semblable à l'équation (19), savoir :
//rx __p„ (I +^ cot' g.) (1 +y cot' C<) (I +J^ cot'C,^.)
^ ' ^^'•(i+y'oofC^) (i+y«cot»ff,^ (i+^oot'ff,)'
Quant au coefficient C, il doit être égal à ->, comme on le trouve, en fai-
sant 4 infiniment petit dans l'équation (19) , et la même supposition faite dans l'équation (aâ) donnera
/« SlQb, smbji smb5 ^^sinbp.^
Maintenant il reste à prouver que la valeur précédente de z satisfait à l'équation F(A,4) = ^' F(*,û>) ou à sa différentielle ^/(i-y)!^^(i-Aaj^) = ix'.--7 TT-rr? 7r-n«Mais au lieu de substituer réellement dans le
second membre la valeur de z en fonction de^, on peut faire usage du principe de la double substitution, et l'on trouvera que l'équation dont il s'agit est satisfaite au moyen d'une condition qui servira a déterminer le module k en fonction de h : cette condition est
^ ^ ^ taDg* Cp., * tang* ffp^ tang'ff» '
PREMIER SUPPLÉMENT. aS
On a ainsi une seconde démonstration du théorème 11, plus directe que la première, mais qui dépend encore en partie de la démonstration du théorème I*', puisque l'équation (24) a été déduite de Féquation (i) du théorème P', en supposant , d'après une autre formule du même théorème, qu'on peut faire à la fois ç = a^ et -sp = ni'pr.
Cependant si l'on réfléchit que l'équation dont il s'agit exprime une propriété des amplitudes u qui servent à diviser la fonction complète F'A en p parties ^ales, propriété que les formules du théorème P' aident à démontrer, mais qui doit être tout-à-fait indépendante de ces formules, on se convaincra aisément que l'équation (24) doit pouvoir se démontrer par les seuls principes de la division des fonctions. C'est aussi ce que nous avons mis hors de doute, dans la démonstration directe que nous donnerons ciaprès , et par ce moyen , la seconde (démonstration du théorème II devient tout-à-fait indépendante de celle du théorème P'.
29. Si nous avions voulu simplement démontrer l'équation (as) , comme présentant un moyen facile de calculer l'amplitude co au moyen de l'amplitude donnée >[/, nous y serions parvenu facilement en intégrant la va-
I 1 ? • » 1 !>/ .• j û?>L 1/(1 — /?• sin* ^)
leur de acù tirée de l équation dcû :=: —r - rr? ,,.>,( , savoir :
sin* «A cos'ff, sin* 4^ cos* ff» siu* ^ cos* ffp«»
, ^4 . sin^p-i sin''ff^3 sin*Ca
(A 1+ sin* 4 cot* ff, * I + sin* 4 oot' i% i + sin' 4 cot* Cp,'
En effet, cette différentielle, traitée par les métliodes connues, conduit à la formule
où les angles 4n 4^' etc,^ sont déterminés par les mêmes formules que dans l'art. ^4*
30. Pour donner vm exemple de ces calculs qui nous conduira à une for^ mule nouvelle, nous nous proposerons de déterminer l'amplitude >[/ en fonction de ^ par les formules du théorème P'; il faudra pour cet effet inté^ grer la formule .
,. d^ 1 — ft*sin*ysin*» i 1 r— /t*sin*^sin'tf3 1 — /t*sin*ç> sin^^p,,
^Y= — • i-it*8in*^8in*«p~ • I — it*8in^(psin*iip s i — ifsin*(psîn*#a "
Par le développement du second membre, on aura d'abord le terme ûf^ sin* (t. sin* #3 8in*^p^ ^^ simplement d<pi ensuite les autres termes au-
/• sin*«»sin*«4 . , . . • sm**p^i ^ *
rontpour expression générale ' — ir^sin'asin'n ' ^ ayant successivement
toutes lefe valeurs 2, ^^6. ..p — i. Ol*, on trouve par lé* méthodes connues
( sm'gCj N / 8În*flC3 \ / sin* «sN / sin* gp-«\
"^/ sin'tf A / sin*tfA / sin*tfnt-A / siri*tfw4-» \ / sin>pZA *
V' sin»a J V sin-^m/ V sîtt*«m y V 8iii»-„ y/ V siti«^«« /
Cette quantité est composée de facteurs qui se trouvent dans les valeurs de
O 2 Of 0\ O" (art. i4)î et comme on a r^^ = ir'-r-z r-z , on tirera
aisément de là comparaison de ces quantités
• *" I — ir*8m*cfc„8În*fltj ' I — Psin^flCmsin^fies ' ' * ' * i — it*8in*cfc„8iii*ctp»'
Cette valeur est celle de Y/t ~t^^^^^V\ développée en facteurs , lorsqu'on
suppose ^ =2 a„; mais alors 4 = 7?i . - ; donc, puisque m est toujours pair , on aura M = a \/(i — A:*sin*flt«).
Cela posé «la fraction ; , . T^ — r-r- peut être mise sous la forme
2V/(i — ir' sin'tf,n) . d^ C08*^ + (i — ir'8in* *„) sin' ^'
et son intégrale est 2^„ en disant tang(p,,= (i — A*sin*ûe„)»tang^
C08Ct„
tang (p. Donc on aura en général ,
sm etp„
(27) 4 =z= (p + 2(p.+ 2(p4 + 2(P6 + 2(Pp«,.
Cette nouvelle équation entre les amplitudes 4 et ^ pourra tenir lieu de
la formule algébrique sin 4 = sin ^ • ^ dans les applications du théorème l""'.
3i. Nous remarquerons encore que la formule (27) peut servir à en trouver une semblable qui s'appliquera au théorème IL En effet, soit, comme à Part. 19, sin ^ = / tang tr et sin 4 = / tang t ; on aura tang 4 = * sin r ,
COSae,n
tang^sf'sina*, tang^„= /y^^sinr, en faisant pour abréger 7/»=-: = V/(i — A:*sin*a„). De là résulte
'^ 2 V/ — I ^^ \i — V -— ï tangrj// ai ^8 V^, + sinr/^ • 2t ^V^, ^sintr/'
^" 21 ° \i +yaSin«-/ '
• etc.
Donc l'équation (27) deviendra
• /i — sînrV /i-^sino-N* i — Vasîn»- 1 — y^sîno-
\i +sinT/ "^\i + sînr/ * 1 rf-yasin»' * i + y^sinr
1 — yp^iim o-
Faisons maintenant dans cette équation le^ mêmes cjiangemens quie d^P^ Fart. 22 y afin d'adapter cette équation aux dénominations du théorème II j alors il faudra mettre >[/ à la place de (7, a> à la place de r , et remplacer a
par 6 y c'est-à-dire faire 7,,= - g "* ? ^^ l'on aura la formule suivante qui
devra être ajoutée aux formules du théorème II, et qui pourra tenir lieu de l'équation des amplitp4es ,
(.8) Ung(45-»=t„g(46W4), 1^ . ^^. . . i=^..
Enfin, si l'on détermine les angl^ 4^, ^4 '^p-riy ^^ manière qu'on ait
en général sin>[/g|= ^„sin4 ==? . ^ "r siijfJ^, 1^ £b|rm^le précédente pourra être mise sous cette forme très ample :
(29) tang(45<»-i.,)=tang(45«-i4)tang-(45<»-i^OtaDg«(45<»-i^4). . . .tang^/iS^—^^,).
32. Nous terminerons ce paragraphe en donnant la démonstration de la formule dont nous avons fait ci-dessus une application importante. Les quantités «« étant des amplitudes qui, pour toutes lies valeurs de n, satisfont à l'équation F (A, «,) = - F'A: , il s's^ de prouver qu'on a
l'équation
( ... t«ng(^5'±i«^)
\^^) S /• \„, sJD»! — sinoam sin ^3.+ sin 1»,^ sin^s — sin^sm ain ^^^^ j^î" ^>i»
f ^ -^ sin «,+ sin «»„' sin «3 — sin «»«' sin «5+ sin ««„ * ' * * sin «p—aqr sin m^m '
où les signes amhigus se déterminent en prenant le signe supérieur si ^ =: 4^ *+ I ? et l'inférieur si pz=i ^i — i .
Pour démontrer cette propriété générale des quantités a nées de la division de la fonction complète F'A: 09 p partiea égales, nous avons besoin du lemme contenu dans cette formule :
a8 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
^ ^^ sia«^^,— sin«^, tang«,A(-p'
OÙ A(aJ et A(a^) représentent {/{i — k'sia'a) et \/(i — A'sin**^).
Cette formule est une conséquence très simple de celles des art. i8 et 19, tome !"■, en observant qu'on a
F(a .) = Fa+Fa et F(a ) = Fa— F*.
Faisant l'application de ce leoime à la formule que nous voulons démon-
trer, et désignant, pour abréger, chaque facteur -^ — y- par le symbole
abrégé (/i), observant de plus qu'on peut n'avoir aucun égard aux signes des différens facteurs du second membre, parce que le produit de tous doit être positif, l'équation à démontrer deviendra
g V4 * •»/ (i-f-2m)(3 — 2/7i) (5 + 2/n) (7 — 2/1»). . . .(/> — 2rp2/7j)'
et il faudra combiner les deux cas ;7 = 4* + i , ;^ = 4* — " ' > ^vec les deux 771 =s 2/^ , 771 = 2/* + I j ce qui fera quatre cas à considérer.
33. Soit d'abord /? = 4* + ^ ^^ 771 = a/r; la formule sera, dans ce cas,
f^na^/^o . «^ x (i-4^) (3+4/0 (g-W (7+4/0-»>(4^3^4/0(4/-i+ 4A)
cang^43 -i-ï»-; — (,^^,j^3^/,j C5+4A)(7—4A). ...(4*— 3+4/0 (4^—1— 4^)"
Les nombres qu'on voit dans le numérateur se divisent en deux séries distinctes, savoir :
La série A se divise ultérieurement en deux autres, l'une des nombres négatifs I — 4^j 5 -— 4^' • • • — 3, l'autre des nombres positifs i , 5, 9..., 4*—* 3—- 4^* ^^ première, en changeant tous les signes, devient 3,7, II,... 4^—1, et elle se lie avec la série B, de manière a îie former qu'une seule série 3, 7, 11 . . • . 4^ + 4* — ^' Ainsi les séries A et B peuvent être remplacées par les deux suivantes :
3, 7, II, i5...- 4^ + 4^ — '•
Le dénominateur de notre formule se divise aussi en deux séries , savoir :
La première C se sous-divise en deux autres, Tune comprenant les termes négatifs 3 — 4^> 7 — 4^- • • • "^ ^ j l'autre comprenant les termes positifs 3 , 7, II... 4* — éji^^i. Changeant les signes des termes négatifs , on a la suite 1,5,9... 4^ — 3, qui s'ajuste avec la série D, de manière à ne composer qu'une seule suite i, 5, 9... 4* + 4^*^35 de là on voit que les suites C et D peuvent être remplacées par ces deux autres :
