__ — s î dans laquelle fx et ^x
sont des fonctions entières de x ^ c'est-à-dire des polynômes en x d'un degré quelconque. Cette intégrale aura une origine constante, déterminée dans chaque cas particulier, de sorte qu'elle ne. dépendra que de la variable Xf qui est sa seconde limite.
11 est inutile d'examiner ce que devient cette intégrale lorsque le polynôme (px ne passe pas le second degré; car on sait que, dans ce cas, elle peut toujours s'exprimer en partie algébriquement, en partie par arcs de cercle ou par logarithmes. Elle s'exprime par des fonctions elliptiques lorsque le polynôme ^x est du troisième ou du quatrième degré; mais, passé le quatrième degré, elle désigne des transcendantes d'un ordre de plus en plus élevé. Toutes ces transcendantes jouissent d'une propriété générale, analogue à celle que nous avons trouvée pour les fonctions elliptiques dans les chap. IX et XVI du tome I*'; et c'est dans cette propriété que consiste le théorème dont les formules suivantes sont l'expression.
212. Supposons d'abord que la fonction ^x soit décomposée en deux facteurs réels (p^x et (p^x^ en sorte qu'on ait çx = (p^x.(p^x. Désignons ensuite par Gx et âi^ deux polynômes complets en «r, ainsi exprimés •
( ftr = a -}- a^x + a^^ -f* fl^",
V ^xX ■ ■ C "T^ C ^X I C^pC • • • • • " I" CjgX ,
et supposons que ces polygones satisfassent, pour toute valeur de x^ à réquation
(2) (flxj'ç ^x — (Ô,x)*^^ = (jc — x^) {x — x^ {x — x^ :..{x — Xfi) i
il faudra donc que le premier membre, développé suivant les puissances de Xf donne identiquement le même polynôme en x que produit le développement du second membre.
De là résulteront des équations, au nombre de /x + 1, entre les coefficiens a, c, a^^ ,c^^ etc., et les quantité^ ^,, x^y Xs....Xfjt, considérées comme des valeurs particulières de la variable x. Ces équations seront toujours en nombre suffisant, non-seulement pour déterminer les divers coefficîens a, c, a,, c,, etc., en fonctions des quantités a?,, jr,, x^.... Xu9 mais encore pour établir, entre ces dernières seules, des équations qui permettront d'en déterminer un certain nombre par le moyen de toutes les autres, restées entièrement arbitraires.
21 3. Puisque , en vertu des équations dont nous venons de parler, les coeffîciens des fonctions &r, 0|X sont fonctions des quantités restées arbitraires dans la série a:,, x. .... o:^, on peut les faire varier, par rapport à une quantité jr liée d'une manière quelconque avec ces arbitraires. Cette variabilité, au reste, n'est pas partagée par les coefficiens contenus dans les fonctions /ôr, ^.o:, (p^x, lesquels doivent être considérés' comme constans, ainsi que la quantité a comprise dans le dénominateur x — a. C'est sur ces principes qu'on a obtenu , dans le § XII du deuxième supplément , l'équation générale
c étant=une constante, et II (X) désignant le coefficient de ~i dans le développement fait suivant les puissances descendantes de or , de la fonction
Quant aux'coeflSciens c, , ^«.••. ^^ , ils ne peuvent être que H- i ou — t, suivant les- difiërens termes 4*^iy ^x..... 4*^/^ auxquels ils sont tfffectës. Le premier membre de Féquation (3) peut être désigné par S^^» en entendant par ce. symbole la somme des fonctions 4^i « 4^«* • • * 4'^f> f prises avec les signes convenables, suivant .les cas particuliers; le second membre est composé, en général, de trois parties, dont une ou deux peuvent disparaître , suivant la nature de la fonction fx. Nous devons maintenant entrer dans quelques détails sur les diverses transcendantes contenues dans l'eirpression générale de 4*^*
m 4-' Ces transcendantes peuvent être classées convenablement, diaprés )e'-plti9 (haut exposant de x contenu dans le polynôme ^x.
On regardera comme première classe , ' ou classe n® i , celle -où OlMf.'^
posant le plus grand de x dans (^x est 3 ou 4* Cette classe comprend généralement les trois espèces de fonctions elliptiques.
La seconde classe, ou la clas^ n° 2 , sera celle où le plus haut exposant de X dans (px est 5 ou 6.
La troisième celle où cet exposant est 7 ou 8; et ainsi de suite.
D'après cette énumération, le polynôme ^x peut être indifféremment du degré pair 31 ou du degré impair inférieur 2t — i , et la fonction A^x appailiendra toujours à la même classe, dont le numéro est { — i. En effet, on peut toujours ramener le cas du degré 2/— i à celui du
degré ii\ il suffit pour cela de faire x = —^ — , y étant une constante à
volonté 9 et la transformée de fzr^fïT^ contiendra un radical ^(^j)^ dans lequel <bj' sera un polynôme du degré 2/.
21 5. La division indiquée est d'autant plus admissible, que chaque classe est distinguée de toutes les autres par une propriété particulière, qui rend impossible la réduction d'une classe quelconque à une classe in*férieure, sauf quelques cas particuliers.
Dans toutes les classes on peut, à partir d'un certain minimum^ ^ug* menter à volonté le nombre des fonctions comprises dans le premier membre de l'équation (5), c'est-à-dire que le nombre des valeurs particulières de x^ avec lesquelles on forme un pareil nombre de fonctions, peut, à partir d'un minimum déterminé, être aussi grand qu'on voudra; mais parmi toutes ces quantités, dont le nombre est désigné par ft, il n'y en a qu'un certain nombre qui puissent être prises arbitrairement, et celles-ci serviront à déterminer toutes les autres. Or, dans les différentes classes, le plus petit nombre possible des non-arbitraires est déterminé, pour chacune, comme il suit :
Dans la première classe ce nombre est i, dans la seconde il est 2, dans la troisième 3 , et ainsi à l'infini.
En effet, prenant à volonté le nombre n qui détermine le degré du polynôme ftr, que l'on suppose complet, si l'on appelle A le degré du polynôme <px, X, et \ ceux des polynômes <p^x et (p^x, on pourra toujours prendre le nombre m qui détermine le degré du second polynôme complet 6,^,. de manière que les deux nombres 2/1 + ^19 2m 4-;^., qui expriment les degrés des produits (fl^)*<p^ et {^^xy<p^ soient égaux, ou ne diffèrent au plus que d'une unité, le second étant le plus petit ,des deux. On aura donc en général /x = 2/1 -j- A^ et eu ; particulier
i84 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
yx = m + 71 4- - si A est pair, et /t = /n + n H si A est * impair*
Or, le nombre des conditions fournies par l'équation (2) est en général ffc+ I, sur quoi il faut prendre /n + n-f^a équations, pour déterminer
les différens coefficiens ^, a, c,, a. , etc. ; il restera donc i équations
si A est pair , et i si A est impair., au moyen desquelles od
pourra réduire d'autant le nombre des quantités x,, ^., x^» . •• oc^. Il y
aura donc parmi ces quantités un nombre i ou ——' — i d'auxiliaires, qui se détermineront par le moyen de toutes les autres, restées entièrement arbitraires. Ces combinaisons offrent le moindre noml>re d'auxiliaires que la nature de la question comporte, comme on peut s'en assurer en donnant à 771 des valeui^ qui rendent la différence. •• • , (37* + A,) — (afTi -4- 'h^ plus grande que l'unité.
Il suit de là qu'il n'y aura qu'une auxiliaire si Ton a A = 5 ou A = 4f ce qui est le cas des fonctions elliptiques, c'est-à-dire de la première classe de nos transcendantes; que le nombre le plus petit d'auxiliaires sera 2 si l'on aA = 5ouA = 6, qu'il sera 5 si l'on a A =;: 7 ou A = 8, t\ ainsi de suite.
Dans la première classe, qui est celle des fonctions elliptiques, la moindre valeur de fc est 3. En effet, si parmi les transcendantes dé cette
classe on considère la plus simple, \—. — r , désignée autrement par F^),
on sait qu'on peut toujours satisfaire, par une équation olgébrique, k l'équation transcendante F^j + Ffl). — F^3 = o; c'est-à-dire qu'étant données les deux amplitudes ^, et (p^y on en trouvera algébriquement une troisième 4)3, telle que Téquation Fç, + Fç, = F^3 soit satisfaite. En changeant simplement le signe de ^^ , on satisfera également à l'équation F^i — Ffl). = F^3. Dès lors, on voit qu'étant donné un nombre quelconque de fonctions elliptiques de la première espèce , on pourra trouver algébriquement une seule fonction égale à la somme des fonctions données, affectées d'ailleurs de tels signes qu'on voudra. Ainsi , dans le cas de la
— — r , OÙ le polynôme ^x est -du 5 ou du 4* degré ,
tous les termes du premier membre de l'équation (5) pourront être pris , avec des signes quelconques, hors un seul , dont l'amplitude x^, sera dé^ terminée par celles de toutes les autres, de manière que la somme de tons sera égale à zéro.
TROISIÈME SUPPLÉMElNT. i85
ai G. Dans une classe quelconque dont le numéro est N, la moindre valeur de ft est N -f- 1 ; c'est-à-dire que le nombre des variables x^ , ar....a:^, comprises dans le premier membre de Téquation (3), ne peut être moindre que ]V -|. I ^ afin qu'il y en ait au moins une d'arbitraire^ les autres étant déterminées par le moyen de celle qui peut varier à volonté (*). Cette loi ne s'applique cependant pas à la première classe, puisqu'on a vu que, dans ce cas j le nombre des termes compris dans le premier membre de l'équation (3) ne peut être moindre que 3.
Il y a une infinité d'hypothèses sur les valeurs des fonctions ^x^ ^x^j qui peuvent réduire à N + i le nombre des termes du premier membre de l'équation (3); car il n'est pas nécessaire pour cela que le second membre de la même équation se réduise à la forme
ce qui supposerait jtt = N •+- i ; il suffît que ce second membre puisse se réduire à la forme
ce \pc — Xx) \X — x^ • • • • [X — X , j >
car alors /t sera d'une grandeur quelconque , et toutes les variables désignées par X > •^N4.3 •• • • "^z* ^*^"* nulles, le premier membre de l'équation (3) ne contiendra que les fonctions 4^i> 4''^« • • • • ^^^ % dont le nombre est N -|- i , et parmi les quantités a:, , x, .... a: , il
n*y en aura qu'une d'arbitraire, qui servira à déterminer les autres, dont le nombre est N.
^217. L'examen approfondi de ces sortes de transcendantes fournit encore un résultat très remarquable.
Si Ton prend pour 4o^ ^^ P^^ simple des transcendantes AfX^ c'està-dire celle dans laquelle fx -=1 x — a, et qui se réduit à l'intégrale
Ç ^ , ^x étant un polynôme en x du degré A , le premier membre
de l'équation (3), dans lequel on déterminera convenablement les signes des différens termes, se réduira toujours à une constante, quel que soit le nombre ju des termes de ce premier membre ; car on voit aisément
(^) Oq pourrait, à la rigueur^ réduire ce nombre à N, en supposant que la quantité ar* bitraîre or, est infiniment pelite^ quoique yariable; car alors 4^, disparailrait dans le premier membre de Téquation (3)^ et la comparaison ne s'établirait par celte éqoaliou qu'entre N fonctions.
Tous III. 24
i86 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
que, dans ce cas, la quantité désignée par FI (X) s'évanouit, ainsi que la quantité logarithmique que cette formule contient. Mais ce qui mérile surtout de fixer l'attention, c'est que l'équation Z4o*^ = ^ éUnï trouvée pour la fonction simple 4e^^ on pourra toujours en déduire facilement l'équatiou semblable qui a lieu pour toute autre fonction 4^ comprise ^
dans la formule J/JC = fy ^-77 — r.
Il suffira, pour cet effet, que chaque ternie -^^t de la somme S^o^» devenu 4^ dâaa la somme 24^^ conserve le même signe si le facteur
— — est positif, et change de signe si ce facteur est négatif. Avec cette
seule modification, la nouvelle somme 24^ sera, sans aucune indéter-* mination, égale au second membre de l'équation (3), lequel est composé d'une partie constante, d'une partie algébrique et d'une partie logarithmique, réunies toutes les trois ou réduites à un moindre nombre, suivant les différens cas.
218. La propriété dont on vient de parler semble établir une' différence essentielle entre les fonctions de la classe N en général et celles de la première classe, qui sont des fonctions elliptiques. Dans celles-ci, on peut former à volonté le premier membre de l'équation (5), en faî-sant varier de toutes les manières possibles les signes des différens termes^ excepté un seul, dont la variable o:^ ou sin ^^ peut être déterminée par toutes les autres, de manière que le second membre soit non-seulement * constant, mais nul.
Cette équation, une fois formée pour les fonctions F, s'appliquera, sans aucun changement de signe , aux fonctions E de la seconde espèce et aux fonctions n de la troisième.
Dans les fonctions de la classe N , en général , les variables étant prises de manière que sur le nombre total /u il y en ait fc — fi arbitraires et N non arbitraires ou auxiliaires / lorsqu'on aura une fois déterminé les signes des différens termes, pour que, dans le cas de la simple fonction
, la somme de toutes soit égale h une constante connue.
od voit que ces signes détermineront ceux des fonctions composées , dont la somme, désignée par 24^, sera égale au second membre de ^ réqualion (5).
De là il parait s'ensuivre que la somme 24^ "^ serait connue et déterminable que pour une certaine combinaison de signes, indiquée par la
somme semblable appliquée, pour les mêmes valeurs particulières de Xy à la fonction simple ^^x.
Mais il faut observer que le problrà»e qui détermioe les ooefliciens des fonctions %x et 6,^, par le moyen des fjL — N valeurs particulières de or, aura toujours, en quantités réelles, autaot de solutions qu'il est nécessaire pour que les fonctions composant la somme ^'\^ s'y trouvent dans toutes les combinaisons possibles des signes. Ainsi, la somme désignée par ^4^ s^exprimera, dans toute combinaison des signes du premier membre, par des quantités algébriques et logarithmiques. Il arrivera seulement que les auxiliaires seront différentes dans les différentes combinaisons, et que quelques-unes d'entre elles pourront être imaginaires; ce qui donnera toujours une solution analytique, mais plus diflicile à vérifier. Ces propriétés, au reste, ne peuvent être indiquées ici que très succinctement; nous leur donnerons ci-après de plus grands développemens.
219. Il nous reste enfin à faire observer que les transcendantes dont nous nous occupons jouissent, dans chaque classe, de la propriété de se diviser en trois espèces, comme les fonctions elliptiques.
Les fonctions de la première et de la seconde espèce résultent de la sup* position jx == x' (;r -*- a) ; elles sont donc comprises dans la formule générale 4'^= \~7r~\y ^* ^^ ^^^ facile de voir que cette formule est susceptible de réduction lorsque l'exposant e est égal à A — i ou plus grand que A — I .
En effet, soit Z un polynôme complet en x du degré r; soit, pour abré-
ger, Z' = ^ et (p'or = ^ , on aura
dlZs/jJpx)-] Z'çx + i Z(p'x
dx "*" Vi^^)
Les coefBciens du polynôme Z étant au nombre de r-^^ i^ on pourra £iire en sorte que la quantité Z*(px + jZ^'x se réduise aux seuls termes
X' — B x*^""*— B ^x^^ .•. .— B^x — Bo.
Pour cela, il faudra foire rsssc—X^-Tj «* 1^ ^•f" * coeflSciens du polynôme Z fourniront autant d'équations qu'il est nécessaire pour que la nsdoction dont il s'agit ait lieu; on connaîtra ainsi tant la valeur du polynôme Z que celle des nouveaux coefHciens B^ ,B^....Bo. Gela fait,
— ^— rr-, OD aura
i88 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
T, = Z v/(<px) + B.T. + B.T. + B.T. . . . . H- B^ T^ ^.
— ; — r- les seuls
cas où l'exposant e ne passe pas A— 2. Ce résultat est général ^ et il s'applique aux transcendantes de loutes les classes, à compter de la seconde.
htlO. Pour distinguer maintenant les valeurs de e qui appartiennent à la première espèce et celles qui appartiennent à la seconde, il faut examiner la manière dont se forme la quantité n(X)9 d'après l'énoncé du théorème général; et si l'on se rappelle qu'entre les nombres n, m, X^ A,, A., qui désignent les degrés des polj' nomes Ô*r, 0,a:, ^x, ^^oc, ç^x, on
a trouvé ci-dessus l'équation A, + /i — m = - ou , selon que A
est pair ou impair, on parviendra aisément à la conclusion suivante :
Si l'exposant e, non plus grand que A — 2, est plus petit que 1 ou
que , l'intégrale / — — r- se rapportera aux fonctions de la première
espèce ; si cet exposant est égal à i , ou plus grand que 1, lorsque A est pair, et s il est égal à "^ , ou plus grand que ~ ' , lors-
que A est impair , Tintégrale se rapportera aux fonctions de la seconde espèce.
il est facile de voir en effet que, dans le premier cas, la quantité X, développée suivant les puissances croissantes de - = u, ne donnera aucun
terme de la forme Au, et qu'ainsi le terme désigné par n(X) = o; au contraire, dans le second cas, le terme Au fera partie de ce développement, ce qui donnera fl (X) = A.
On peut donc, au premier coup d'œil, distinguer parmi les intégrales Ax = /— 7 "Y ^®^'®s ^"^ ^ rapportent à la première espèce et celles qui
se rapportent à la seconde. Dans le premier cas, on aura Z4*^=^> ^ étant une constante qui aura un certain nombre de valeurs déterminées, suivant les diflërcntes valeurs arbitraires de ^, qui servent à composer la somme désignée par 24*^ J ^^^^ ^^ second cas, on aura 2^*^ = C + H (X) ^ n (X) étant une partie algébrique déterminée par un terme du développement de la fonction X. Dans les deux cas, la partie logarith-
niique du second membre de l'équation (5) disparaît ^ puisqu'ajant fait fx^=-x'{x — a), onayi = o.
22 !• Venons maintenant aux fonctions de la, troisième espèce. La forme la plus simple dont elles sont susceptibles résulte de la supposition^ =1, et alore on a la formule tj'pe de ces fonctions^ qui est
; r—7 ; — : f ^ étant une constante réelle ou îma£[inaire. Dans
le cas où cette constante est imaginaire, si on la représente par
ct=,r (cos € +[/ — I sin 6) , l'intégrale précédente devra être jointe à une
j———, — - — r, dans laquelle a'=r(cosÇ — y/isin^),
et la somme des deux sera une quantité réelle.
Si l'on considère plus généralement l'intégrale '^00 = f ^^ — , on
devra la partager en deux parties, l'une qui se rapporte à la première et à la deuxième espèce, l'autre qui se rapporte à la troisième. En effet, quelle
que soit la fonction entière ^r, la quantité * ^ ^ sera aussi une fonction
entière de x, dont le degré sera moindre d'une unité que celui de la fonction Jhc. Soit J\a: cette fonction , et l'on aura
Ç dxf.x ç n dx
où Ton remarque les deux parties mentionnées.
222. Le théorème général dont nous nous sommes jusqu'ici occupés
(x — a)\/((tfx) * ^^^^ lesquelles fx est une fonction entière de x; mais on peut faire rentrer dans la même théorie l'intégrale beaucoup plus générale '^x = /— — r, dans laquelle
Yx désigne une fonction rationnelle quelconque de x. En effet, par les principes connus de la décomposition des fractions rationnelles, on sait que la fonction F^ peut toujours être partagée en une fonction entière fxy jointe à une suite de fractions partielles, telles que
JT — «t X — C X ^— y
etc. ;
la première ligne étant due aux facteui^ simples qui divisent le déno-
minatear de For, la seconde aux facteurs doubles, et ainsi de suite. Ainsi rintégrale désignée par 'i'a: contiendra ,
\ L'intégrale l—-^'^, qui s'exprimera par des fonctions de la première et de la seconde espèce , dans la classe déterminée par le plus hauf exposant de x dans ^x;
:2*, Une suite de fonctions de la troisième espèce, représentées par
3"*. Un ou plusieurs termes de la forme
Et ainsi des autres lignes, jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les facteurs multiples qui peuvent diviser le dénominateur de la fonction Fx.
Tout se réduit donc à ramener chaque intégrale de la forme
' —- — r à une intégrale semblable , dans laquelle n = i , et qui
sera ainsi une fonction de la troisième espèce. Cette réduction peut sn faire de plusieui^ manières.
On peut d'abord 9 en laissant cl indéterminé, déduire de la première în-r tégrale Z. == f.^—±^-^ h secoade 2*=^ fç^^^^^^^y «* sucoesâ-
vemcnt toutes les autres, au moyen des formules Z. = j-* , Z3 = T.-j-v^f Z4 = âf3*j-T» ^*^* ^^^ autre solution peut s'obtenir par le procède
connu, qui consiste à différentier la quantité \^^^^^^ , puis à revenir de la différentielle à son intégrale* Soit , pour abréger , - ^ ^ c= f^x et ^x — y<t ^ ^^ ^^ trouvera de cette manière la formule
(/i— 0(pûtZ.— ^^ ^^.+y (^ ,)»-. • ^7(^y
La fraction ^ .^ 7^-1 étant développée donnera , en général , une
fonction entière de a:, plus une suite de fractions qui auront pour dénominateurs les puissances successives x — et, (x — a)*.... (x — et)"""*. Donc la transcendante Z. s'exprimera par les transcendantes d'un ordre moindre
Z|, Zg. • • . Z.^i , auxquelles se joindra une partie algébrique^ et une autre partie qui ne contient que des fonctions de la première et de la seconde espèce*
Une équation semblable exprimera la transcendante Z«^, par les transcendantes d'ordres inférieurs, jointes aux mêmes parties accessoires. Ainsi Ton voit qu'en définitive la transcendante Z« et toutes les transcendantes d'un ordre moindre s'exprimeront par les mêmes fonctions auxquelles s'applique directement le théorème général. Ce théorème acquiert ainsi toute l'extension que nous voulions lui procurer.
!223. Par les principes élémentaires du calcul intégral , on sait que l'intégrale f^dx peut être déterminée en partie algébriquement , en partie par arcs de cercle et par logarithmes, toutes les fois que T est une fonction rationnelle de x. Par la théorie dont nous venons d'établir les fondemens , on pourra exprimer semblablement la somme d'un certain nombre d'intégrales particulières, représentées par jTdx, toutes les fois que le quarré de T sera une fonction rationnelle de x.
Les plus simples de ces transcendantes sont celles qui ont reçu le nom ôe Jonctions elliptiques; toutes les autres, auxquelles on pourrait donner le nom de fonctions ultra ^ elliptiques, se divisent en une infinité de classes portant les numéros successifs 2, 3, 4> ^^^' * ^^ ^^"^ chaque classe on distingue trois espèces entièrement analogues à celles que la nature des choses a introduites dans la théorie des fonctions elh'ptiques. La troisième espèce peut même être sous -divisée en deux autres, à rinstar de la sous-division qui a lieu dans les fonctions elliptiques, selon que le paramètre est circulaire ou logarithmique.
Par les travaux successifs de différens géomètres, la théorie des fonctions elliptiques est devenue une branche importante de l'analyse. Par le théorème de M. Abel, une carrière beaucoup plus vaste est ouverte aux recherches des géomètres, puisqu'elle embrasse de nouvelles classes de transcendantes en nombre infini, dont les propriétés ne sont pas moins remarquables que celles des fonctions elliptiques , avec lesquelles elles ont beaucoup d'analogie, et qui étaient restées jusqu'à présent entièrement inconnues.
Nous nous proposons de donner ici , au moins dans quelques exemples, une idée de ces propriétés nouvelles^ dont nous avions en quelque sorte provoqué l'investigation dans la première phrase de l'introduction au tome P'. Pour avancer plus sûrement dans cette nouvelle carrière , nous avons appuyé nos résultats sur des calculs numériques faits avec
iga FONCTIONS ELLIPTIQUES,
une grande précision, et nous n'avons pas craint de donner parfois beaucoup d'étendue aux détails de ces calculs fastidieux, qui n'intéresseront guère le lecteur, mais qui serviront au moins de pièces justificatives aux conséquences nombreuses que nous en avons tirées. Ces détails sont d'ailleurs justifiés par le but général de cet ouvrage, qui n'est pas simplement théorique , mais qui est destiné à offrir les moyens de faciliter le calcul numérique de toutes les transcendantes dont nous nous sommes occupés.
S IV. ^application du théorème général aux fonctions
elliptiques.
!X'iA. Au lieu de considérer ^x comme un polynôme complet du quatrième degré, nous supposerons simplement
(4) (px = (i — x") (i — k^x^) ;
car on sait que c'est à cette forme , où A; est < i , qu'on peut toujours réduire la quantité comprise sous le radical qui entre dans l'expression différentielle primitive de la fonction elliptique proposée. Le polynôme (px devant être partagé en deux facteurs (p^x et ^^x, nous supposerons
ensuite nous prendrons
(6) ftr = fl + a,Xf fl.o: = c -|- c,x,
et il faudra satisfaire à l'équation
dans laquelle les coefficiens a, c, a^, c,, qui sont indépendans de x, doivent être des fonctions de a:, , ^. , x^ et x^.
L'identité des deux polynômes compris dans les deux membres fournit cinq équations de condition, dont quatre sont nécessaires pour déterminer les quatre coefficiens a, a,, c, C|; la cinquième sera donc une équation de condition entre les quatre quantités or,, x^, X3, x^, de sorte que l'une d'elles sera une fonction déterminée des trois autres, qu'on pourra prendre à volonté
On obtient , sous une forme assez simple, quatre des cinq équations dont nous venons de parler, en faisant successivement X'.=ii, x^^^i^
xz=:j, or = — T. Voici ces équations, dans lesquelles on a mis A^* 9L^
TROISIÈME SUPPLÉMENT. igS
lieu de I — h^ :
{a + a,Yk* = (i — j:^ ) (i — x.) (i — je,) (i — x^) , (a — a.)*^* = (i + J:.) (i + Jr.) (i + j:,) (i + ^Ô > . (cA:+ c,)*A:'* = (i —kx,) (i — A:x,) (i — kxj) (i — kx^), (ck— c.yk'* = (i + W) (i H-A^r.) (i 4-Aa:3) (i +kx^).
Uoe cinquième est donnée par les coefTiciens de x^, savoir ; Enfin, on en aurait une sixième en faisant xz=o, laquelle serait
mais celle-ci est' nécessairement comprise dans les cinq antres.
225. Observons maintenant que, dans les fonctions elliptiques^ x dé**signe toujours le sinus d'un arc; et comme les quantités a:,, x^, x^, x^, sont considérées comme des valeurs particulières de ar, nous pourrons faire
x^ = sin ^, , a-, = sin ^, , x^ =i sin ^3 , Xj^ z=z sin ^^ ;
et alors il «st aisé de voir qu'on aura les quatre équations suivantes, où A^ est mis à la place de \/(i — A:* sin* ^) :
(a* — a\) k'* =f zh cos ^, cos ^^ cos ^^3 cos ^^ ,
(c\ — c*A:*) A:" = A<p *A<p. AÇ>3 A(P4 ,
a* . — c* = sin ^, sin ^^ sin ^3 sin ^^ ,
De là on tire une équation de condition entre les amplitudes ^i,^^, (p^, cp^, savoir :
A^,A^«A^3A^4 d= A:* cos 4), cos ^« cos ^3 cos ^4
I zx9,a(p.a<p3n<P4 = A- cos V, cos (p. cos
^ -^ [=/:'» + l^k'^ sin ^, sin ^, sin ^^3 sin ^4.
Remarquez qu'on a dû prendre positivement le premier terme A^iA^t^A^sà^j^f car si on lui donnait le signe — , le premier meiùbre serait toujours une quantité négative , puisqu'en général A^ ou ^/(cos* ^ + A:'* sin* ^) est > cos ^, tandis que le second membre est une quantité toujours positive.
L'équation que nous venons de trouver donne la relation qni doit exister entre les quatre amplitudes ^i,.^., ^3» ^^, pour qne l'intégrale
-vj/or s= jj^ j;^.^. . , appliquée aux valeurs particulières x = sin ^, ,
TOHK III.. 25
194 FONCTiONS ELLIPTIQUES,
j;: := sin ^«, 07 = sio ^3, a: = sin ^^ , jouisse de cette propriété , que 1a somme des quatre fonctions 4^1 > 4^>» 4?s> 4^4 > prises avec des signes convenables^ soit égale au second membre de l'équation (3), dans lequel se trouvent réunies ou diyisées; suivant les différens cas, une partie tonstante, une partie algébrique et une partie logarithmique. On exprime ainsi la somme de quatre transcendantes par une quantité beaucoup plus simple que chacune d'elles dans Tordre analytique ; et il est remarquable que cette conséquence a lieu pour toutes les transcendantes désignées par la caractéristique 4> quelle que soit d'ailleurs la fonction entière de jc désignée par Jx.
Supposant donc les signes du polynôme 4^t^ 4^» ^ 44^3 ^ 4^4» fixés relativement à la plus simple des fonctions 4*^ V^^ représente
* dx
—. — r , ces mêmes signes auront lieu relativement à toute autre valeur de la fonction 4^?, qui représente j Z*^. — c , fo^ étant une fonction
fx
entière de x autre que x — > ot. On suppose seulement que — — reste po^
sitive dans toute l'étendue de l'intégrale. ^
226. Il faut faire voir maintenant que l'équation (5) s'accorde avec les formules connues des fonctions elliptiqu€;3. Pour cela, considérons les deux équations transcendantes
F/tA = F« — Fff,
Ff* = F(p 4. F4,
A: étant le module commun de ces fonctions ; on aura les équations algébriques correspondantes
CO8 ^ cos 4 "-" »'P y gin 4 A^ A>t> C08 et cQg S --^ iin CL gin Ca * aC
^ __ a ^a4 — ** sin ^ sin 4 cos » 00s 4 ActAC + k* sin ce sin C cos g cos C
^ I — k* «in» ç sin» 4 "^ i -<- k^ sin* « sin* ( *
Par la combinaison de ces équations , on obtient les suivantes :
HetàÇ = A/t — A:* COS /t sin a sin Ç,
A^A4 = Aju 4- ^* cosr/i sin ^ sin 4>
cos et cos € = cos fji -"- A/t sin a sin €,
cos (p cos 4 == cos fc + A/x sin Ç sin 4#
. AaA^A^A4 = ^*f^ + .A:*cos/xAyet(sin^8in4 *-*- sin^sin^)
-^ k* cos* /t sin a sin f sin ^ sin 4"» '
• cos a cos C CO8 9 cos «4/ = co%*fz + cos /uA/u (sin ^ sio >[/ — sinasinC)
— ' à*fi sin Cl sin ^ sin ^ sln 4*
EnRn, de ces deux deraières, on tire une équation indépeocUote àe /a, savoir ,
AaAf A^A>[/— A^cosA cosf co§^cos4 ^^ k'^-^'k^k'^ ainci ôq^ sia^) sin 4 ; c'est l'équation algébrique qui répond à l'équation transcendante
F* — Fff = F^ H- .F4.
Appliquant ce résultat aux deux équations algébi^iques compd^s dans l'équation (8)^ on voit d'abord que l'équation
A^, A^.A^3 A^4 — A:*cos ^, cos ^«cos ^3 C06^4= A:^*+ f^k'^sin ^,sin ^. sin ^jsi n ^4,
correspondra à l'équation transcendante
et comme on peut, dans l'équation algébrique, faire une permutation quelconque entre les lettres ^, , ^. , ^3 , ^4 , cette permutation , introduite également dans l'équation transcendante , fait voir que l'équation algébrique sera satisfaite, pourvu qu'une des quatre fonctions F^,, F^.» F^3y F^4 soit égale à la somme des trois autres. D'ailleurs, comme les quantités algébriques sin p, cos^, A^, relatives à l'amplitude ^, restent les mêmes pour toute amplitude f + ^tTr, tandis que F^ devient F^ -{- ^fF'A:, il est visible qu'on peut ajouter à l'un ou l'autre membre de l'équation transcendante la quantité 4^'k, i étant un entier quelconque , sans que cette équation cesse xle correspondre à l'équation algébrique.
Substituant successivement, dans les équations précédantes, ir*«^ ^, à ^, , et TT — ^9 à ^3 , on trouvera que la seconde équation algébrique comprise dans l'équation (8) ^ savoir
A^,Af,A^3Af^4^îos^,cos^,coaÇ30oef^c=B*'«4-Ar*Ar''sin^,«in^,sin^38În^^,
correspond également aux deux équations transcendantes
F(p. + F^. + F(pj + F<p4 = aF'A.
La première en représente six par la permutation des lettres» et d'ailloura on peut ajouter à l'un des membres de ces deux équatkiDS la ^piantité 4iF'A: , / étant un entier quelconque poaitif ou négatif.
327. Au reste, il est inutile d'insister sur ces formes diverses de Féqua— tion transcendante qui satisfait à l'une des deux formes de l'ëquatioa (8) ^ et l'on peut se borner à considérer la plus simple de ces équations, celle d'où toutes les autres peuvent être déduites. Pour cela, soit ^^ = 0, on aura l'équation algébrique
(9) Aç.Aç.A^s — A:* cos (pi cos f « cos ^3 = A:'', qui correspond à l'équation transcendante
et qui correspondrait également à l'une des équations
¥9, = F(p. + F(ps, F(p. = F4>. + Fcp, ; •
en sorte qu'elle exprime , en général , que l'une des trois fonctions est égale à la somme des deux autres. Le résultat précédent se confirme immédiatement par les formules connues des fonctions elliptiques. En effet, on sait qu'à partir de l'équation transcendante
on a les deux équations algébriques (^)
A^,A^a = A^s + k^ cos ^3 sin 9, sin-^., cos ^, cos ^. = cos ^3 + A^3 sin ^. sin (p^.
Multipliant la première par A^3 , la seconde par — k* cos ^3 , et ajoutant les produits, on aura
A^,A^.A^3 — k^ cos ^, cos ^, cos ^3 = A*Ç3 — k* cos* (pf = A:'',
ce qui est l'équation à démontrer.
D'après cette équation, on pourrait chercher les valeurs de cos ^3 et A^3 exprimées en fonctions de sin^., siu ^«, cos ^^ , cos^», A^i, A^«; ce qui serait une dernière vérification d^ ngs formules. Et d'abord faisant disparaître les irrationnelles A^. , A^« , A^3 , on aura une équation entièrement rationnelle entre cos ^1 , cos ^.'^ cos ^3 , d'où Ion déduira
(^ Ces deux équations algébriques n'ea font , k projprement parler, qu'une seule , qni exprime algébriquement la relation entre les amplitudes ^, , f «, f 3 , nécessaire pour que l'équation transcendante ait lieu. C'est de la même source que se tire la yaleur de sinfst exprimée en fonction de sin f ( , sin f » y cos f^ , cos f » , Af , , Af «•
cos^i cos ^fl zh sin ^, sin ^«A^iA^a ^^ ^' = , - k^ 8in^ ^, si^î^ •
Le double signe doit son origine à ce que l'équation algébrique d où nous sommes partis satisfait également aux deux équations F^s = F^, + Fç, , FÇs=F^, — F^.; si l'on veut qu'elle s'applique à la première, il'faudra prendre le signe inférieur, parce que la supposition A: = o donnerait ^3 = ^, + ^a , et par conséquent cos jfs = cos ç, cos ^. — sin ^, sin ^.. Donc, en général, si l'équation est F^s= F^, + F^,, on aura
cos Pt cos p% — sin ^, sin p^^pJ^p^ cos ®3 = L^ * ^ — "^~7T •
Cette valeur, substituée dans l'équation AÇ»AÇaA4)3=A:'*+**cos^,cosç,cos^s, donnera
A^iA^fl — L* sin ^1 sin ^^ cos ^, cos 0^ ^* *"" I — Â' sin* ^, sîq" ^ft
Enfin , par l'une ou l'autre de ces Valeurs on trouverait
^ sin o, cos ^ftA^ft -f~ sin ^a cos ^|AA,
^ 1 «^ ^* Sin* ^, sm* f fl
Ainsi, nous avons déduit du théorème général les propriétés fondamen-. taies de la fonction de première espèce F^ , lesquelles découlent de Téquation algébrique qui correspond à l'équation transcendante F^3 = F^,-1-Fç..
Propriétés des fonctions de la seconde espèce.
228. Pour que la fonction désignée généralement par ^^ devienne E^, il faut, en supposant toujours a: = sin^, faire ya:= (or — a)(i — J^a:^); car alors on aura
La fonction de première espèce F^ étant supposée satisfaire à l'équation
nous allons rechercher quelle sera la valeur d'une quantité semblablement formée des fonctions de la seconde espèce ; cette valeur sera , conformément à la formule générale, C -4- n(X), C étant une constante et
n(X) désignant le coefficient de - dans le développement suivant les
puissances descendantes de x , de la fonction
,98 FONCTIONS ELUPTIQUES,
soi. . = i^., .= g^(t^) = |.+ £^(^^) • „ .^
X ss \/( ■ jj ' t ') 1^8 '-^<<^« Négligeant les m* dans le dévelofi
de X suivant les puissances croissantes de u, et observant que la sapposition ^4 = 0, faite ci-dessus; donne a* — c*=o, ce qui permet
de prendre a = c,. on aura z = jç^:jr^^'= jfj C ' + M«) » «»» <»»sant, pour abréger, M = — = ; donc
De là on voit que le coefficient de u appelé n(X) dans le théorème général , aura dans cet eMmple la valeur
n(X) = fc.M(jj^ + i^),
OU en réduisant
Mais dans le cas de j?^ =» o , qui est celui dont nous nous occupons , si Ton égale entre eux les coefficiens de x dans les deux membres de réquation (7) , on aura 3aa, — ncc^ =:S — x^x^^ , ou
2ç (C| 7- a,) = sinç', sio fitsiafl), ; ^uc n(Xj := it*sia ^.^fa sîa ^s»
donc oa airni pour les fonctions Eç y appliquées aux valeurs particiK» lières ^, , ^^ , ^s ^ Téquation •
E^i + E^» -^ E^3 = C -|- i* sin ^, sin ^^ sin f^:
Mais le cas de ^,=0, donne 4)3=^», d'après l'équation F^^+Fç» — F^|^=o; donc on a aussi dans le même cas £^5 = E^«, et par conséquent Cs=o; donc on a simplement
• E(^i -f- Ef, — E^3 BSE A^stn^iSm^.sîn ^3.
Ce beau résultat , connu par la théorie des fonctions elliptiques 1 se dé* duit donc des formules du théorème général.
On va voir que du même théorème peuvent être tirées ^al cwottt ' toutes les formules relatives à la comparaison di8^ Ibnctiow flUptiyw
de la troisième espèce, dans les différens cas dont elles sont stcsceptibles.
Propriétés des fonctions çUiptiques de la troisième espèce.
2129. Pour parvenir plus aisément à un résultat qui soit conforme aux formules connues, considérons la formule suivante, formée de deux fonctions qui se déduisent de la formule générale , en faisant Jx = i •
La formule générale étant appliquée aux trois valeurs particulières de x^ donnera
^ ô(-«)^/(^,*)-.ô^— «)v/(^.ct)'
formule où Ton remarquera que la partie C -^ Il (X),. qui était dans la formule primitive, a disparu dans la différence des deux équations formées en donnant à a des signes différens, ce qui ne change rien à cette partie.
Le second membre de notre équation , dans laquelle nous ferons
a' = i et N = \/( 7 ^^ ; ) , sera
î log (^^^+ ^')t/(^' - ^) + (^^; + ^«)i^^' - ni
^ {en- + fl.) \/{k^ — n) — (en* + c J v/(i — n)
. N j (c/i^— g,) V/(^' — n) + (c/ii— c, ) t/(i — /i) î* (en* — a,)v/(** — «)— (c/iï —c,)|/(i — n)'
Cest cette quantité qui, étant réduite convenablement, donnera la Valeur de la somme
formée avec les fonctions de troisième espèce, comme Font été les sommes formées avec les fonctions de première et de seconde espèces ,
car on voit que dans ce cas l'intégrale ^x = ^ ^^^ ■ ^ représentée par la fonction de troisième espèce •
aoo FONCTIONS ELLIPTIQUES,
Soit, pour abréger,
A = (cn^ — a,)\/(k* — ») + (cJ — c. )v/(i — ») , B = (cn^ — a^\/{l^ — 7») — (en' — c.) v/(i — n), A' = {en* + /i.) /(*•— n) — (c/i' + c. ) ^/(i — n) , B' = (c«* + a.) v/(A:* — «) + W + <?.) »^(i — »)•
Le second membre de notre équation sera exprimé par ''^St>H — ^^"B»
ou par - log -g-^ , et 1 on aura
AA' = (m?*— a\) (^ — /i) + (c\— ne») (i — ti)
Substituant les valeurs *c»,=a\A:»+ i, 2c(a, — c,) = — sln^,sin ^«sin^,, (a\ — c*) A^* =^ cos^,cos^,ços^3, on aura
AA'=i — 7i+7ïCOs^,cos^.cos^3 — 71* (i — w)*(A* — 72)^sin^iSiQ^«8in^,.
On trouveriait de même
BB'=i — /i + /icos^, cos(p,cos^3-|-n*(i — n)»(A:* — 7i)*sin^,sin^,8iQ^3,
Ainsi , pour les fonctions elliptiques de la troisième espèce , on aura cette formule générale de comparaison^ qui suppose toujours que les fonctions de première espèce satisfont à l'équation F^^ -|- F^« — - ¥^s =^ o^
n» 1 1 — /i-f ncos^,co s^^c os^3 — n*(i — n )*(k^ — nJMin^iSÎn^infi
2 (i — n)*(Ar» — n)» i — n-^ncos^iCOSÇtCoa^s + n^Çi — n)*{k^ — 7i)^siDf ,stDfaiiiif9
Voici maintenant différentes applications de cette formule. 23o. Soit I*. n = A:*sin*^, le second membre se réduit à
tang C I à*C + ^* sin* C cos ^, cos ^, cos ^3 — ^* gl n C cos C A C sin^isîa^sip^
Pour comparer ce résultat avec celui qu'on trouve art. 5g , tome Ij il faudra remplacer les lettres ^ , 4 » A^ ^^ ^^^ article par ^if ^^f Pif ainsi que c et 8 par A: et ^. Aloi*s en supposant qu'on détermine Icf amplitudes // et jj!', qui satisfont aux équations
TROISIÈME SUPPLÉMENT. aoi
F)x' = Fff— F<p3, • Ffc''=F€ + F?>3,
la quantité précédente s'accordera parfaitement avec celle de l'art. 59 ^ présentée sous la forme
tang 6 ^ I + c* sin d sin 1* sin ^ sin 4 2AÔ ° I + <?' sin ô sin ^" sin ^ sin 4'
Ce premier cas est celui des fonctions de troisième espèce à paramètre logarithmique; les deux autres se rapportent aux fonctions à paramètre circulaire^ pour lesquelles la quantité logarithmique se change en arc de cercle.
Soit donc^ 2®. n=: — cot* ^, le second membre de notre équation de-
viendra ^ — log (^ , ^zj^J , en supposant
rj ^__^ cot C^Csin ^1 sin ^ft sin ^3
I COS' • COS ^, COS^ft COS ^3 '
mais on a log ( ',~z^Z! ) =/--T+^^ = — ^V/— • arc tang Z.
1^ 1 .*. / t fjx ,, sin Ccos C ^ cot CaC sin ^1 sin ^» sin ^3
Donc la quantité précédente = ^ — arc tang 71=--^-^ — ^;
* * A» ^5 1 — COS* b COS ^, COS ^a COS ^3
donc pour l'intégrale n^ = / , — ; ,^^ . , - — , on aura la formule
*^ ° y (i -f- col* b sin*^) A^ '
r-f^ • r^.^ r¥^ sin C COS C . cot CaC sin ^, sin ^a sîn ^3
n^, + n^a — n^3 = ;; — arc tang r^s — — — ^ ;
^' * ^* ^* aC ^ I — COS'CcOS^iCOS^aCOS^s'
ce qui s'accorde avec la formule (/i'), tome P% page 76.
Un résultat semblable s'obtiendrait dans le troisième cas^ où Ton a /t =z= I — A:'* sin* f , et qui appartient également aux fonctions de troisième espèce à paramètre circulaire ; mais comme ce cas se ramène facilement au cas précédent^ nous croyons inutile de nous en occuper.
Autre manière de parvenir à la propriété fondamentale des fonctions
elliptiques.
^5i • Nous avons partagé la fonction ^x en deux facteurs ^,ar=i — I^x^y ^^x= I — ^*; C6 qui nous a conduits à une équation du quatrième degré, d'où nous avons déduit les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques.
On peut parvenir plus simplement aux mêmes résultats en faisant usage d'une autre décomposition de la fonction (px.
En effet, soit ^,jc= i + x^ ^^ = (i — x) {i — hx^). Si l'on fait ToiiE IIL 26
en même temps &r = a -f- ^i^ et 8,ar z= e , il faudra satisfaire à Féquation
(a + a,xy (i + x) — c* (i — a:) (i — k*x'') = (x — sin ^0 (x — sin ^O (x — sin ^).
En y faisant successivement ar=T, i^ = — -t^ on a les deux équations de condition
(a, 4- a*)* (i + A) = (i — k sin^,) (i — k sin ç.) (i — A: sin/t)^ (a, — oÂ:)* (i — A:) = (i + A: sin^,) {i + k sin^J (i + A: sia/i);
d'où l'on déduit
Par les coefBciens de ^r' et x*, on a encore les deux équations de conditioii
a* — c* = — sin ^, sin ^. sin /i.
De ces deux dernières on tire
a*, — A:*û* =1= I -|- A:* sin ^, sin ^, sin fc. Donc on a sans anibiguité
A^,A^.A|tt = A;' + A/A:*sin ^, sin ^. sin ft Désignons par F^s le complément de Y^/jt, en sorte qu'on ait FfcH-E?9=F')t. On pourra substituer dans cette équation les valeurs connues sin /i =: ^î^^
A/A = — , ce qui donnera
A^,A^. =: A^s 4" ^ sii^ ?i sin ^^ cos ^3.
On obtient ainsi directement l'équation algébrique qui correspond à TéqnAtîon transcendante F^3 = F^, -4- F^.
TROISIÈME SUPPLÉMENT. ao5
§ V. Des calculs nécessaires pour déterminer les coefficiens des polynômes ^x et -^.Xj ainsi que les N auxiliaires gui ont lieu dans la classe dont le rang est N.
2 52. Nous ayons vu qu'eu appelant A le degré du polynôme ^x , A, et A, ceux de ses deux facteurs ^,x et ^^x, si Ton prend à volonté le nombre n, qui détermine le degré du polynôme complet 6x, on peut toujours prendre le nombre m, degré du polynôme ^^x , de manièi^e que le nombre 2/12 + A, , qui exprime le degré du produit (&t.xy^^x, soit égal à 2n-f-^i> degré du produit (â^)*^i«r, ou soit seulement moindre d'une unité; le premier cas ayant lieu lorsque A est pair^ et le second lorsque A est impair. Les choses étant ainsi préparées , on aura /^ = 2» + A, , c'esl-à-dire que le nombre des facteurs du second membre de l'équation (2) sera 2/2 + ^f L'identité des' deux membres de cette équation donnera donc 2/2 -(" ^1 + ^ équations de condition ; sur ce nombre, 772-}-^ + ^ ^^^ nécessaires pour déterminer les coefficiens des fonctions Bx, Q^x, au moyen d'un pareil nombre de termes pris arbitrairement dans la suite x^ , x^.... ^^. Les N autres équations restantes serviront à déterminer les N autres termes de cette suite. Ainsi l'on voit qu'il y a dans ces calculs deux parties distinctes, l'une qui détermine les coefficiens des fonctions flo: et 9*^, l'autre qui détermine les auxiliaires, par le moyen des /jl — N termes pris arbitrairement dans la suite a:^ ,
•X/^ • • • . *^ix *
Le nombre des termes qui composent le premier membre de l'équation (5), représenté par S-nJo:, sera en général ft ou 2/2 + A,, et il pourra augmenter indéfiniment, à mesure qu'on prendra n plus grand, mais il pourra aussi être plus petit que 3/2 + A,, et même ne pas excéder N-|- i, quelque grand que soit n\ car on peut supposer nuls, ou plutôt infiniment petits, plusieurs des termes pris dans la suite or,, o*^.... o?^, et le nombre peut même en être porté jusqu'à fjL — N— - 1, de sorte que le nombre des termes du premier membre de l'équation (3) ne sera que N -f~ I • ^^ ^\xi même , à la rigueur, supposer que le seul terme laissé arbitraire dans la suite ^, , arg....^^est encore infiniment petit, et alors 1^ N auxiliaires ou non arbitraires de la même suite entreront seuls dans le premier membre de Féquation (3) , pour former une équation entre N fonctions, nombre absolument le plus petit possible; et ce qui est très
ao4 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,
remarquable, c'est qu'on pourra former une infinité d'équations de cette sorte, en donnant à n toutes les valeurs possibles. Voici maintenant qaelle doit être la marche de l'analyse, suivant les différens cas.
2i55. Soit t l'une quelconque des quantités a*, , ^. ....or^. Si Ton Êdt X = t dans l'équation (2), le second membre deviendra nul , et Au pre-
mier on déduira 9.^ = H J(^-^\ = ^I^^^. Soit T = 1^, et' l'on aura (10) c + c.^ + cjt^ + .... + cjr = (a + a,t + a^t^.... + o,^) T.
Cette équation se répétera autant de fois qu on aura de valeurs arbitt'aires ^if ^%f hf etc., à substituer au lieu de t^ ce qui fera connaître autant de valeurs particulières de T, désignées par T, , T., T,, etc.; et' comme on a m + ^ + ^ coefficiens à déterminer, savoir, a, a. , a^ . . . • n^^ c, c,, c» . . . . c, , il faudra prendre arbitrairement w + /i + i termes de la suite :r, , «r», ^3....^^. Ces termes ^. , t^, ^s*-**^^^^^.! ^ étant mis successivement, au lieu de^, dans l'équation (10), avec les valeurs correspondantes de T, on aura m -{■' n -^ i équations linéaires d'où Ton pourra toujours tirer les valeurs de toutes les quantités
a a, a. û„ c, c. C3 Cpj ,
lesquelles sont au nombre de m -f- 'i -f" i • H' ne restera donc à déterminer que la valeur de c; c'est ce qui se fera immédiatement en égalant à l'unité le coefficient de xf^ dans le premier membre de Téqualion (2).
Si A est impair, ce coefficient sera celui de la plus haute puissance de X contenue dans le produit {bx^^^x , savoir, {a^yb^ , en supposant que b^x^' est le terme de ^^x où l'exposant de x est le plus grand. aura donc {a^yb^ = i , d'où résulte
et comme — est connu, on aura la valeur de —, et par conséquent celle
de c. Sur quoi il faut observer que si &, était négatif, on devrait néanmoins le prendre positif, afin que c soit réel , changement qui n'aura d'autre effet que d'afïecter du signe — le second membre de l'équation (5). Si A est pair, et qu'on ait pris le degré du polynôme 9,^: comme il
a été dit (art. 21 5), le coefficient de a/* dans le produit (fl|J:)*?^ sera
TROISIÈME SUPPLÉMENT. 3o5
(CmYKt en supposant que b^a^* est le terme de ^.o: où l'exposant de oc est le plus grand; on aura donc^ dans ce cas^ Téquation
(a^yb, — (c^yb^ = i , d'où résulte
Le second membre étant connu,. devra être pris positivement, quand même îl serait négatif, aGn qu'on en tire une valeur réelle de c, et cette
valeur étant combinée avec celles de —, —....—, —, —....—, on con-
naîtra tous les coefBciens des fonctions Sx et Q^oc,
254. Soit maintenant af"-^"^' — A,x"-^" + A.x"'^"-' ± A„^..+, le po \y nome qui résulte du produit de tous les facteui^ connus
(jc — t,) Çx — Q [x — t^) (x — /i.^,^,),
et
T'TN P tI^ — I -1- P T»N — a =fc= P
le polynôme qui résulte du produit de tous les facteurs inconnus .
le produit de ces deux polynômes, affecté du signe + ou du signe — , selon qu'on aura conservé ou changé le signe de la valeur de c', devra être égal au premier membre développé de l'équation (2). De là naîtront plus d'équations qu'il ne faut pour déterminer tous les coefficiens P, , P^^.,. .Pj. ,
de l'équation algébrique du degré N, dont la résolution donnera les N termes non arbitraires de la suite J:r, , :r. , ^3 . . . . x^^.
Cette méthode est générale et ne souffre aucune exception tant que les termes pris arbitrairement dans la suite a:,, x^.. • «Xyu sont inégaux entre eux. On doit même remarquer que chaque valeur de T peut être prise indifféremment avec le signe -f- ou avec le signe — ; d'où il suit que le nombre de solutions obtenues avec une série de /» + /i -|- i termes pris arbitrairement est en général a""*"", solutions qui sont toutes admissibles analytiquement, mais parmi lesquelles il conviendra de rejeter celles qui ne donneraient pas des valeurs réelles pour chacune des auxiliaires déterminées par l'équation algébrique du degré N , dont elles sont les racines.
255. S'il y a des termes égaux parmi ceux qu'on prend arbitrairement , la méthode devra subir les modifications conformes aux règles ordinaires de l'analyse. Si, en particulier, on veut que parmi les termes pris arbitrairement dans la suite a:. , or. . . . . x^ il y en ait un certain nombre y qui
:io6 FONCTIONS ULTR A-ELLIPTIQUES ,
soient nuls, ou plutôt qui soient égaux à une même quantité infiniment petite , il faudra que la suite infinie résultant du développement de
flo* ± fl.a? \/\"^) » suivant les puissances croissantes de la quantité infiniment petite ûc, prenne la forme
oc^ (Ao + A.o: + A^jc* + etc.);
c'est-4i-dire que les y premiers termes de la série disparaissent, en égalant à zéro leurs coeiliciens , ce qui fera y conditions correspondantes aux y Taleui^ égales et infiniment petites de jc.
L'expression de ces conditions ne sera sujette à aucune difficulté , si la fonction (pjc n'est pas divisible par jc, parce qu'alors la quantité
— j peut êlre développée en une suite A'-f-B'^-|-Car*+ etc., dont
les premiers ternies sont toujours faciles à déterminer, et Ton aura immédiatenicut les équations linéaires qui expriment que les y premiers termes du développement de la quantité
6x zfc e.x (A' + B'jc H- Cor* +. etc.)
se réduisent à zéro.
Mais si ^jc est divisible par JC, auquel cas Tun des facteurs ÇiJC, ^^jc est aussi divisible par x^ il n'y aura plus lieu de se servir du facteur
^xziz^yX \/\^^—)9 ^"î contiendrait dans la seconde partie des puissances fractionnaires de x. Il faudra donc développer tout au long", suivant les puissances croissantes de or, le premier membre de Téquation (a), c'est-à-dire la quantité
et Ton égalera à zéro les coeiliciens de x^, x\ a:%... jusqu'à x^ exclusivement , ce qui fera y équations de condition correspondantes aux y données égales et infiniment petites. Le reste du calcul sera le même que dans le cas des racines inégales.
Les calculs précédens sont fondés sur ce que , ayant pris à volonté le nombre n, on déterminera le nombre m de manière que la différence (an-f-A,) — (am+A.) soit zéro ou i, selon que X est pair ou impair. Dans ce système, le nombre des quantités non arbitraires de la suite X,, x^. . ..Xfj^esi toujours égal au nombre N, qui d&igne la classe des transcendantes dont on s'occupe ; et Ton tix>uvera facilement que le nombre des quantités non arbitraires deviendrait plus grand si l'on déterroincit m de toute autre manière.
§ VI. Formules pour calculer par approximation les intégrales
, r dx ' , , r dx
236. Nous nous proposons de développer avec quelque étendue les
/* dxfx . — r, en supposant.. . .
(px =? I •— x^. Ce cas, qui appartient à la seconde classe des transcendantes comprises dans le théorème général, est à peu près le plus simple de ceux que nous pouvions prendre pour exemple; mais il suffira pour donner une idée des nombreux résultats qu'on peut obtenir, dans 1 analyse de ces transcendantes^ à l'aide du beau théorème dont la découverte est due à M, Abel.
Pour cela, nous commencerons par examiner le cas le plus simple de tous ceux qui répondent à la même valeur de (px^ c'est celui de l'inté-
.. — jr, qu'on supposera toujours prise à compter de
Cette intégrale, dans le sens positif, ne s'étend que depuis ^ = o jus* qu'à xz=ii ^ car passé a: = i, il est clair qu'elle deviendrait imaginaire: aussi verra-t-on, dans tous nos exemples de calcul, que les valeui^s positives de X f prises parmi celles que nous avons nommées auxiliaires ou non arbitraires y n'excèdent jamais l'unité. A la limite x= i, Tintégrale est complète, et l'on peut en exprimer la valeur exacte au moyen des fonctions F, qui en donneront en même temps une valeur très ap-* prochée.
Dans le sens négatif, le signe de x change,[et l'intégrale %|/ ( — x) de-
/dx -— -7— jT. Cette nouvelle intégrale
s'étend de x^3±o à x=r^;6a valeur complète sera donc représentée par •v[/' ^, et l'on sait, d'après la théorie des intégrales Eulériennes, qu'elle peut encore être exprimée par les fonctions F. Nous allons d'abord donner les expressions de ces deux fonctions complètes, ainsi que leurs valeurs na« mériques approchées.
257. L'intégrale JtttzZI^^ devant être prise depuis a: = o jusqu'à
a: = I, si l'on met x"^ à la place de x ^ elle prendra la forme
f\x^ * rfr (1 — xy " ^ et ses limites seront toujours x = o et j? ss:i;
ao8 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,
mais, par les propriétés connues des fonctions T, on a (tome H, page 4'?) pom* les mêmes limites la formule
Donc l'intégrale complète
• . r^rj 7 i r(i.2o)
quantité dont le logarithme se trouvera par la table des fonctions T, comme il suit :
'rs 9.845098040014
Connaissant ^i , on aura immédiatement -^^ ^ par la formule... • ••
/v/(i - ^) ~ ^^^ s/fô^"^' *''"• "' ^^' ^^7' ^^^ ''^''^^^ '^'^~ "^^
cosg 9-9^795 1G445 86
Au moyen de ces deux valeurs logarithmiques, on aura les valeurs |ap-
prochées
On verra dans la suite que ces deux transcendantes ,. qui sont entre elles
:; cos I : I ou :: i.^5 — i, sont les deux élémens par lesqaels on
peut toujours exprimer exactement la constante qui forme le second membre de l'équation (3) , dans le cas où les fonctions 4^ et 4'^ contenues dans le premier membre sont de la pi'emière espèce , exprima
par les formules ■4^^= /^/(/l^) > '^'^—/'^(T^l^)' "^^^^^^^ ^'*«tant plus remarquable, qu'il a lieu quel que soit le nombre de termes' contenus dans ce premier Inembre. On verra que des exemples nombreHx
appuient cette assertion, que la théorie n'a pas jusqu'à présent établie d'une manière absolument certaine : aussi la vérification qui en a été faite, dans les cas particuliers, a presque toujours causé une sorte de surprise au calculateur; et cependant la confiance qu'elle a fini par lui inspirer l'a mis* à portée, nombre de fois, de reconnaître les erreurs qui s'étaient glissées dans ses calculs , toutes les fois qu'ils paraissaient ne pas satisfaire à la propriété énoncée.
238. Venons maintenant aux moyens de calculer, par approximation ,
— — -~n , pour toute valeur donnée de x. Il y a
deux cas à considérer :
I**. Si ûc^ est <i, il suffira d'employer la formule que donne l'intégration par série , savoir :
^x =zx + i . >H 7. y-^ . -^ + etc. ;
^ • • b * 2.4 II 2.4.0 16 '
mais il sera bon de lui donner la forme suivante :
/ 4a: = a: + ?x^ f8. 92081 87639 Sa) + Vx^ (9.925^0 244i5)
+ Vx^ (9.61 181 98286) 4- P-^^ (9-95291 12609)
