Tome IIL

Dans tous les cas, il sera facile de tenir compte de la petite distance qu'il peut y avoir entre le point M, et l'un des points À et B , pour en déduire une valeur encore plus approchée de la fonction IPÇc, ^,), et par conséquent une de la fonction Y (c , ç). .

208. Remarquons enfin que le polygone dont nous avons donné la

'construction sera rentrant sur lui-même, et par conséquent n'aura qu'un

nombre de côtés déterminé, si la fonction F(c, ^) est dans un rapport

rationnel* avec la fonction complète F'c. En effet, si l'on a F(c, ^)=— F"c ,

met n étant des nombres entiers, on aura F(c, ^,) = nB(c, <p) =mF*c

= F Ce, — j , et par conséquent ^, = — , ou 2^. = /îi7r.

Si m est.un nombre pair , l'arc :2^« sera composé d'un nombre entier — de circonférences, et le point M,, extrémité de l'arc 2^«, reviendra au point Â, où le polygone sera entièrement fermé; dans ce cas, le polygone n'aura que n côtés, formant — révolutions.

Si m est un nombre impair, le point M, tombera à l'autre extrémité B du diamètre AB ; une moitié seulement du polygone sera formée , et il faudra doubler le nombre des côtés pour que le dernier , dont le rang est 272, soit terminé au point Â. Le polygone aura donc 2n côtés formant m révolutions.

Dans tout autre cas où le rapport de F(c, ^) à F'c n'est pas rationnel, le polygone aura un nombre infini de côtés, et il sera impossible que deux sommets se rencontrent en un méme^ point de la circonférence.

En général , comme les côtés du polygone sont des cordes inscrites dans le cercle dont le rayon est i , lesquelles doivent être en même temps tangentes au cercle excentrique, dont le rayon est r, il est visible que ces cordes seront toujours comprises entre la plus grande, qui passerait par le point a, et la plus petite, qui passerait par le point b , 06 étant le diamètre du petit cercle situé dans la direction du diamètre AB. Ainsi , faisant cos et = r — e et cos S = r + c, les côtés du polygone seront toujours compris entre un maximum 2sina = 2v/[i — (r — c)*] et un minimum 2 sin ^ = 2^[i — (r-f- e/] ; on aura donc toujours, quel que soit le nombre entier n,

<Pn — <P«-, < a et (p, — (p,, > Q. 1209. Nous avons vu que m étant pair, ce qui suppose n impair = a/ -f*i

(car la fraction — est censée réduite à 8a plus simple expression) , le p(dy*

gone qui a pour sommets les extrémités des arcs 12^, , a<p^ , 2^3...; 2^« , est

formé de n côtés qui occupent un nombre — de circonférences. Dans ce

polygone 9 il y a toujours un côté moyen qui passe par Ifun des «points a et b, et qui est par conséquent un maximum ou un minimum;. ce côté moyen est celui qui joint le. point M|, extrémité de l'arc :2^i:,.aYec le point M,^i, extrémité de l'arc a^j^,.

En effet, le point M^^ situé d'un côté du diamètre Âl^, et le point M,.« situé de l'autre côté du diamètre, sont toujoui^ situés sur la même perpen-

diculaire k ce diamètre, car on a F(c, ^x)= — F'^jE(^>^ii-*)=— ^ ^F*c;

donc F Çc , (p^) + F (c, ^,-.,) = mF'a= ^^(fiyir), et par • Aonséquent

(p^ -|- (p^^ = — ^, ou 2Ps + 2^,, = — . 27r. Cette équation exprime que,

quel que soit or, le point M^ et le point M«.« , qui terminent les arcs 2^^ et 2(Pn~^sf seront toujours situés sur une même pei*pendrculaire au diamètre AB.'Soit ^= I, on aura n — a:= /+ 1 ; donc les deux points^M/et Mj^, sont j^acés suriun.méme côté perpendiculaire au diamètre ; et comme ce côté doit être tangent au petit cercle dont le rayon est r, il passera nécessairement par Tun des points a et 6 : ce côté sera par conséquent un maximum ou un minimum*

On voit en même temps que les arcs 2<Pi et a^<^i, qui déterminent les extrémités du côté moyen, peuvent se trouver directement par les équations

(Pi + (Pi^i = — ST,

€û étant' T'un des'^'arca-a «t^;'Oajaai*a «donc ^ toujours

2(Pi TZS^^— .».

D'ailleurs, l'ambiguité qui semble rester dans cette détermination disparaîtra bientôt, en observant que si m est pairement pair, ou de la forme

4f6, l'arc — ^, égal à 2/4^, aura son extrémité en A , et qu'ainsi, dans la valeur — Tr + o) de l'arc ^^t-hif l'indéterminée œ ne peut être que oc. Au

éÊk

contraire, si m est impairement pair, ou de la forme 4/'' + 3 , l'arc '^ir,

égal à a^uT-f-'Tr, aura son extrémité en B, de sorte que l'arc eê ne ppuira être que l'arc f , dont le double est sous- tendu par la plus petite corde. Ainsi ^ dans tous les cas^ on aura la valeur des arcs 2^1 et 2^1^. sans aucune indétermination, et Ton saura que le côté moyen 2^^^, — 2^1 est un maximum si m = ^jjl, et un minimum si m = /^fju + 2,

210. Il serait possible que la construction géométrique que nous ayons développée conduisit à quelque théorème intéressant, analogue au théorème de Côtes, par lequel on pourrait peut-être simplifier l'analyse assez épineuse qui sert à déduire ^^ de ^ , où réciproquement ^ de ^«, ce 4pii est le problème de la multiplication ou de la division des fonctions elliptiques; mais nous n'entrerons dans aucune recherche à ce sujet. Nous nous bornerons à remarquer encore qu'après avoir formé la suite des arcs 2^,, 2^«, 2^1 2^«, dont les extrémités sont les sommets du polygone

rentrant qui répond à l'équation F (c, ^) = — F'c, si l'on forme avec

les termes de rang pair la nouvelle suite 2^., 2:?^, 2^61 etc., cette suite représentera celle qui servirait à construire le polygone correspondant à

la valeur F (c , ^) = — F'c. Ce polygone ne serait plus circonscrit à la circonférence dont le rayon est r, mais, par la nature des choses, il jouît de ' la propriété d'être circonscriptible à une circonférence plus petite.

De même, si l'on prenait de trois en trois les termes de la série initiale, ce qui formerait la série 2^3, 2^6 > 2^9 > etc., celle-ci répondrait à la valeur

F(c, ç) = — F'c, et il en résulterait un nouveau polygone circonscriptible à une circonférence plus petite que les deux autres, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé les n — i combinaisons possibles.

Ainsi, on voit qu'une seule construction appliquée à la valeur

F(c, ^) = - F'c, contient implicitement toutes celles qui conviennent à la

valeur F(c, ^) = — F'c, m étant un nombre entier quelconque moindre que n.

TROISIÈME SUPPLÉMENT. i8i

§ m. Iliéoveme général •donné dans le § XII du deuxième supplément. Classement et propriétés générales des transcendantes comprises dans ce théorème.

211. Les nombreuses applications que nous avons à faire du théorème donné dans le § XII du deuxième supplément^ exigent que nous rappelions ici, avec quelques développemens, les formules générales par lesquelles il est exprimé.