TOMB

aïo FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,

Si a^ e8t très près de la limite \ , le résultat de la série , que nous avoQS bornée au dix^septième terme , ne pourra être en défaut que d'ane ou deux unités au plus, dans la septième décimale; mais moyennant la correction qu on pourra lui ajouter , il deviendra exact jusqu'à la neuvième décimale.

Soit A le dernier terme calculé^ B ravant-dernier, on pourra supposer

que les termes qui suivent B et A forment la progression -g-» ç > «j, etc.,

dont la somme est ^ * Cette somme, toujours facile à calculer, devra être ajoutée à la suite de A , pour tenir compte du reste de la série.

Lorsque ûc^ sera moins près de la limite j, il faudra employer moins de termes de la série pour obtenir un égal degré d'approximation , en tenant toujours compte de la correction qu'on vient d'indiquer.

2^. Si or^ est >> ^ , il faudra calculer la partie de l'intégrale comprise

depuis a:^>i jusqu'à a:=z i. Cette partie étant trouvée, on la retran* chera de l'intégrale complète représentée par 41, et le reste sera la leur de 4*^-

Pour trouver la portion d'intégrale dont il s'agit, soit i— a:*

ou x=:(i — m)^, on aura ^ z= — ^u *du(i — u) ^ Faisant

donc U=/j«*'«'w(i — ") *» cette intégrale, qui devra être prise depuis u = o jusqu'à u= i — x", sera exprimée par la série

U —jU 1^' + 5- 3-1-57^^-5 •+-5.IO.I5- 7 ^^®"^->

d'où l'on tire la formule suivante, pour faciliter le calcul numérique de U ,

4- P« (9.42596 87522 72) 4- P« (9-c>4'95 5485i) 4- P« (9.73239 37598 23) + Ptt (9 94776 o58ig) -\- Vu (9.82390 87409 4) + P« (9'95a5a aSagi)

+ Tu (9.95648 8688(5) Tu (9.95984 a86ig) Pa (9.96271 68170) Tu (9.96530 67604) etc.

Tu (9.86857 9i35H 6) + Tu (9.895 12 10573) 4- Tu (9.91272 60760) 4- Pa (9.92526 29659)

Cette valeur étant trouvée , on aura -^^x = 4 ^ — U.

^39. Proposons-nous maintenant de trouver^ par approximation, Tavtn

TROISIÈME SUPPLÉMENT. an

— -— ^, Sî Ton a Jc* <^, la valeur de cette intégrale sera

., 1 4P« , 1.3 X" 1.3.5 ar'« , ,

^ a 6 a. 4 ii 2.4.0 16 '

Celte suite se calculera par la formule (12)^ eu ayant soin seulement de donner le signe — ^ aux termes de rang pair. La série étant calculée jusqu'au terme =bÂ^ qu'on suppose précédé du terme ifiB, le reste de la série, dont il faut tenir compte, pourra être exprimé approximativement

par qp ^ . — . On pourra ainsi trouver une valeur suffisamment approchée de '^'Xp tant que a^ n'excédera pas 7; mais pour aller jusqu'à ar=: i, il convient de suivre une autre formule.

Soit, pour cet eflfet, — j-— 5 = «, ou ûi^^ssz-^—^^ on aura

et en intégrant par série,

^ \ ' 10 6 ' 10.20 II • io.ao.3o 10 y

cç qui donne^ pour le calcul numérique^ la formule suivante :

^'x = M* + Vu (9.06694 67896 3o) + Vu (9.94195 95899)

+ Vu (9.66617 74909 4) + Vu (9.9475? 5^416)

^ Vu (9.79151 52119) •+■ I^« (9'95i86 38077)

+ Vn (9^84804 24207) 4- P« (9-95564 62682)

(i4) { 4- Pw (9.88057 58004) -f. Vu (9.95887 8ii85)

•t- Vu (9.9015B 52594) -4- Vu (9.96167 o8522)