COS* *S

— 3k* sin" flt, — ai' sin* «t^ — 2A' sin* «^

t formules (3ga) et (Sgd) sont celles qu'on a données ci-dessus sous les • 8 et 9 ; les formules (3gc) , (Sgrf) , 0Qe) , (Sg^) , se tirent des équations 3), (11), (35), (34), en faisant ar et ^ iufiniment petits, ce qui donne Issju^j la formule (39/) se déduit de l'équation (35), en y substituant B valeurs 4 = 7 '''i P = P'i"^} enfin , les formules (igh) , (Sgt) , se déient de l'équation (3^), en faisant successivement ^ et | 7 — ^ infiniment petits.

38. Kous remarquerons que les formules de ce premier théorème peuvent s'appliquer k un module k de plus en plus petit , et finalement au module jt ^ o ; alors on aura aussi h = o, et même r "> Â^~' ^ o. L'équation des fonctions complètes K =:p/iH devant avoir lieu, quelque petits que soient les modules jt et A ^ on en tire fc =:= - , parce que dans la limite K=H^:^. Ainsi, l'équation F(ft, ç) = jwF(A,-4') deviendra •>J.=p(p, et l'on aura en même temps «. = — .'. Dans ce cas , l'équation (3a) devient

,, . . • ^ / 8În'e\ / 8in»^\ / «n'e \

c'est eu eOèt sous cette forme qu'on peut mettre le sinus d'un multiple impair de l'arc Ç. On déduit semblablement des équations (33) et (34) les deux formules trigonométriques

/ 8În'*\/ «in'aX / ■in*d \

covï=co*,(.-S^)(.-S^.... (— SHr.fJ.

3o FONCTIONS ELLIPTIQUES,

Alors, i^. 51 m^=:2hy la formula à démontrer sera

rang ^40 ^- . a^; ^ ^^^ ^^^ ^,^^ ^^ ^^^ ^^^ ^^^ ,

parce qu'on peut supposer M = (/? — 3/n) {p + jm).

:2^. Si /7t s=: 2A 4* ^ > ^^ facteur moyen (/?), qui était dans le cas précédent au dénominateur, se trouvera dans le numérateur, let Ton aura

Ung (45^ + i a^) = ■ ^^ ■ jf;^yj^, = j~^ , valeur qui est ]a même que

^£-i~^ , car on a M =: (p ^ 2m) (p -^ 2m) = {p) {p).

Ainsi, lorsque nous aurons prouvé que le produit (p — n) (/? + /») est une quantité constante^ il ne restera plus à démontrer que la seule formule

tang (45^ + î ««; = — ïp)~'

' 35. Or, i^. en rétablissant les valeurs des symboles, on a

Mais on voit que les amplitudes et ^ > ^. / x 9 appartiennent à des fonctions complémentaires, puisqu'on a Fa^,^j=^^F* A , F*i(^„)=^F'*,

et que la somme de ces deux fonctions = F' A: ; on a donc, par la propriété des fonctions comptémentaires ,

tang «j^j tang «. (^j = ;J; , et A*.^^, A«.^,= A',

ce qui donne (j> — n) (^ + ») = p; et {p) = r?.

n®. En restituant de même la valeur des symboles, la formule qui neste à démontrer est tang (45** + j a^ = — - — ' ; mettant au lieu de hf

^;(H-am)

sa valeur Aa, , . , Aa . , on aura

tang (45« + i *„) = tang «.(,+^). A*.(^,„)- Pour vérifier cette équation , élevons chaque membre au carré , nous

aurons

Smtftm

« 1 • i. lin ce- + sin «t,„ ,, ^ ,

et parce que a^z=zj7r, le premier membre = 1 — ^__ . , et d après le

PREMIER SUPPLÉMENT. Si

lemme. sa valeur c=s lip-h^m) rip-^'^^) m^^itipiianj; les deux termes de

cette fraction par son numérateur, et observant que dans le nouveau dénominateur le produit des deux taugenteB est t?» et le produit des deux A est

k'y le dénominateur se réduira à Funité , et l'on aura ainsi