II.... 4* "^ 4^ — ^ > 1,5, 9» • • • 4* H

On aura donc, par cette nouvelle distribution des Facteurs ,

langue "*^*''*«^ — {i)C5)(9)... (4^+4A-3).(3) (7) (11). . . {/^i^^h-iV ou, en supprimant les facteurs communs aux deux termes,

et en remettant les valeurs 4*= ^ — i > 2^ = /w,

ïang^4a -t--a.,; (^2;„) (p + 4 2ii.)(p4- 8 — 2/n)... {p^/^^J^:^y

34* Telle est la formule qui nous reste à démontrer pour le cas supposé de ;? = 4*+ I et tti = 2^; les trois autres cas conduiraient au même résultat, comme on peut s'en assurer; ainsi toute la difficulté se réduit à prouver que cette dernière équation a lieu pour toutes valeurs des nombres 2/71 et p y l'un pair , l'autre impair.

Pour cet effet, nous observerons, 1°. que, dans l'expression précédente, le nombre des facteurs est m, tant au numérateur qu'au dénominateur; 2*. que, dans le numérateur, les nombres affectés aux facteurs extrêmes (p + 2 — 2m), (p — 2 + 2/?i), font une somme égale a 2;?, et qu'il en est de même de deux facteurs quelconques également éloignés des extrêmes; 3'. que le dénominateur est composé du facteur (p — 2/w) et de tti — i autres facteurs, tels que les nombres attachés aux facteurs extrêmes ou à deux Ëicteurs également éloignés des extrêmes , font encore la somme 2p.

Supposons, ce qui va être démontré, que le produit de deux facteurs (;? — »), (;> + /*), dont les nombres font une somme op , soit égal à la

quantité constante M = p;.

Les signes ambigus qu'où voit daus la seconde équation se déterminent en prenant le signe supérieur si /? = 4' + i > et l'inférieur si ;? = 4' — ^ •

On aura de plus, pour le même objet, les deux formules trigonomé* triques

Î tang i (#, — ^) tang \ {mz + q>) Ung ; (#5 — ç) 4 = <P + 2(P, + 3^4 +2(p,,,

C08 «ft OOS «1

(37)^ tang ^. = jj^- tang ^, tang (p, = jj^-1- tang ^

COS «p__i . ^

tang ^,, = -^'— tang (p.

37. Venons maintenant aux formules qui servent à déterminer fielh par le moyen du module donné k^ et qui serviraient semblablement a déterminer fjL et h par le moyen du module h. Les plus simples et les plus fa^ciles à calculer par approximation , quoique sous forme transcendante , sont

(d») YJ — PW' f^ — pË — W

Les formules algébriques qu'on peut employer pour le même objet sont assez nombreuses, parce qu'il existe beaucoup de relations entre les quanti-^ tés ^1, a^j ^3» ••• a^y qui ne dépendent que des deux données k et p^ Voici les principales , au nombre de neuf,

(39Ô) h-=- I& sin* a. sin* a, sin* «5 sin* a^., ,

(3qc) - = -. : h -: =C -: st I ,

^ ^ ' /!* sm «ti sm «£3 8in «5 ^^ sm «p«, '

(39^) TT "^ ^ ^^" ^» — 2 sin fltj + 2 sin «5 sp a sin a^^ de i ,

je) jr-; ^ a sîn' *, — 2 sid' et, + 3 an» a, — a sin» «^ . . . -l- a sin* a^, — a sïn' «t,