Tome III
a5o FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,
a^ s 418.34389 65889 372 c* = 401. ^5o oSgôS gai
c* = 4^1*^94^0 06963 921 aa =: 40-90691 36742 8go
qr = — . 1*7. 04959 59926 45i — •443»30i4i 4^7^ 8^'
/> ss= — 44o.o8338 02819 5ia.
D'après ces valeurs de /i et 9 , l'équation or* — - px 4-9 = donnera
(t = 0.03873 78768 966, log (X = 8.588i3 58o34 849, ff = 440.12211 81678 278, log C = 2.64357 31944 057.
Calcul de ^«t /lar la formule (12).
i) et..... 8.588i3 68034 849 * = 0.03875 78768 g66 ?
et'.... 2.94067 90174 ^\S 2) 2 816
Calcul de '\'C par la formule (16).
1 9.82390 87409 4452 4'ff = 1 .54962 40767 95a8.
Nous ayons maintenant les valeurs approchées de nos cinq fonctions comme il suit :
41 = o.5oi5i 9o556 614,
4ot = 0.05875 78761 782, .
Quatre d'entre elles satisfont à l'équation
dans laquelle le second membre est la valeur connue de • • • .
î4'i == O' 77484 8i588 755. Ainsi Ton a exactement
Ajoutant de part et d'autre 4'^ ^^ ^^^^ pour les cinq fonctions dont il s'agit réquation
4x +47 — 4'a + 4<* — 4'^ = 4ï + H' if
dont le second membre est la même constante qui a lieu dans toute 1 étendue de la seconde zone, pour le cas de trois fonctions.
266. Dans cet exemple, après avoir trouve les deux racines . or =s «t , jc = — C , qui , avec les valeurs données j:=i, oc = i^ x=s — 2 , déterminent les cinq fonctions comprises dans le premier membre de réquation (3), nous avons combiné les signes de ces fonctions de manière que la somme des quatre
' 4 i — 4':j + 4* + 4'ff
se trouvé égale à la constante cpnnue 7 4' ^ ^ ^^ V^^ s'exprime autrement par l'équation
Cette combinaison , pour obtenir le résultat cherché , n'a pas exigé beaucoup de tàtonnemens dans la question actuelle, où Ton pouvait Êiire abstraction du terme 4^^ compris ordinairement dans les constantes, et qui ne laissait ainsi que quatre termes A, B, C, D, dont trois peuvent être joints au premier, considéré comme positif, de huit manières dii*férentes , comme on le voit ici :
Dans d'autres cas, le tâtonnement pourrait être beaucoup plus long et plus laborieux ; c'est pourquoi il uq sera pas inutile d'indiquer ici un procédé par lequel on pourra, dans tous les cas, parvenir d'une manière sûre au vrai résultatque l'on cherche.
Observons d'abord que le coefficient i est en général affecté a la fonction 4^^ ^^ sorte qu'il prend successivement les valeurs £|, £., €3,... etc., quand il s'applique aux fonctions particulières 4^i» 4^^/ 4^3» ^^^' i ^^ c'est ainsi que.se forme la somme €,4^1 + ^•4^«+ ^«4^3 4" etc., représentée par 2 (^4^) f pi'emier membre de l'équation (3)^^
Le coefficient €, dont les valeurs particulières ne peuvent jamais être que + i ou — i , pourra toujours se déterminer par l'équation gé*
nérale Ox{/Cç^x) ssz t^iX{/{ç^x), que Ton trouve art. ig8 du deuxième supplément.
Cette équation se simplifie en observant que \/(^iX) et V^(^tX} doivent toujours être des quantités positives ; de sorte que pour déterminer le
signe de € il suffira d'eicaminer si y est positif ou négatif pour chaque
valeur particulière de x, telle que x =: t. Si cette quantité est positive, on aura é = -f- i , et la fonction '^t entrera avec le signe -{dans la somme ^(é^ir); dans le cas contraire, on aura £ = — i, et la fonction '^t entrera avec le signe — dans la même somme.
267. Appliquons cette règle aux valeurs successives j: = ^ , '-— a , a, — ff, considérées dans l'exemple II.
La quantité r- , dont le signe détermine celui de '^x, est dans ce cas
— — , suivant l'équation (B) de lart. a65. Cette quantité est positive
pour les trois premières valeurs mentionnées, et négative pour la -valeur jr = — ff. Ainsi la fonction n[/(— ff) devra être prise négativement, et les trois autres positivement, dans la somme S-nJaT, laquelle sera par conséquent
on , suivant notre notation ordinaire ,
Cette sooune, d'après les valeurs trouvées, se réduit a ~4'7t ^'^^ le résultat qu'on obtient ainsi de la manière la plus directe et sans an** cun tâtonnement.
Si l'on change le signe de l'une des quantités X et \', on aura une seconde solution. Soit donc A 2= —.0.47801 98448 776; on aura, en conservant la même valeur de h' et ne poussant l'approximation qne jusqu'à cinq décimales ,
a = -, = o.SagSo, c = — i •27085, c' := '^ c,
de là on voit. que p* — 4? ^^ négatif, et qu'ainsi cette seconde solution est imaginaire.
On aurait deux autres solutions du même problème en changeant le
TROISIÈME SUPPLÉMENT, a53
signe de m dans les formules primitives ; mais nous allons passer à un autre exemple, qui offrira un plus grand nombre de solutions.
Exemple III.
368. Soient ^, — 1, — a les trois valeurs données de j?; l'équation (17) à laquelle il faudra satisfaire sera, dans ce cas,
i (c-t-c.a:)*(i+ar.î^+a-)---(a+a:)*(i--a:.^H-ar».2ii:i— a^j
/=(a: — iXx-f-i) (ar + a) (ce* — par+ q)
i=aH'+ x<^|— />) + j:» a — 4p + 9)H- j?*(lî — 1 — i;,)
Les suppositions x=^^, xss — a donnent, conformément aux résultats déjà trouvés, les deux équations
C 4- îrc, = (a 4. i)A, A = 0.47801 98448 776, log A = 9.6*7944 69266 162, c — 2c, = (a — 2) a', a' as 3.25668 02877 106, log a'=: 0.51277 5i254 267.
La supposition x z=z — 1 donnera une troisième équation
c — c. = (a — i)X", A'' = gi^ = 5. 70:245 91736 458,
log A" = o. 56849 ^^783 5i9î de là on tire
Sa^—Ga' + a . 0.54976 6oi3i 67 n ^ ,
log (— a) tsz 8.84885 14788 :i,
c = — 1. 18445 49^5o 5, log( — c) = 0.07351 8538i oo,
c, = a. 77943 60224 5, log c, = 0.44395 51192 89.
Pour déterminer p et q^ on a les équations
q ^s. af^ — c';
d'où résulte
/> sr — 5.46695' 98159 66, log 0.53983 55a5a 55, 9 = — 1.59794 8o555 95, log 0.14549 ioa8i 53.
Ensuite, la résolution de l'équation or* -— par 4- ? = o donnera ^ = «t , jc = — S, savoir :
a == 0.3649I 60372 60, log et s=: 9.56219 29500 747^ C s= 3 .83087 58532 26, log f = 0.58329 ^^780 774.
Calcul de 4^ par la formule (12).
2)* 6.29397 64544 002 4) 19 5ia
.5) 5.71676 io555 74 7.81096 47^05 75 9.75809 i4565
Calcul de 4'^ P^^ ^ fomude (i6).
wi . .. . 9.70855 09609 6i5 ^) — 1 a4S4a 570
5) I . 80540 55294 8 7.o855o 96096 I 9.76405 265oo 9
Nous avons maintenant cinq fonctions, dont les valeurs approchées sont
