di5d

c — !ic^^=z -^ 1. 081 25 36986 5,

c = 0.89552 565i5 9, loge ss 9.95110 60526 6, c, = o'.98758 81750 12, logCi=: 9*9944^ 79218.

Ensuite il faudra calculer p et q par les formules

I — ;> s= c', + aa ^ — ,

q ss a* — C ce qui donnera * -

ToKB lU. 33

p zsi — 0.74545 985o5 2 , y = — 0.11571 98822 1;

de là les 'denx racines jc= a, a? = — 5, savoir :

• a = o.i5i89 87699 5, loga = 9.12024 07454 9', C = 0.87755 86002 7, logC = 9.94516 73574 45;

calculant 4/« par la formule (12) et '^'€ p^r la formule (i4)> on anra

combinant ensuite ces deux fonctions avec les trois fonctions connues -^'i , 4^2 y 4^' ^^ formera l'ëquation

et paroe que le second membre approche beaucoup de là constante connue i4^o =0.77484 81 588 755, on aura exactement

. Sixième cas ^ X négatif.

Supposant toujours m négatif , si l'on change le signe de A , on aura les résultats suivans :

^ == — 1. 90811 59567 75, 1(— û) = 0.28060 45o56 o3, c = 0.45827 11259 25, c,=: 2.02918 o5ii7 256.

Nous n'allons pas plus loin , parce que ces valeurs conduisent à une solution imaginaire.

Septième cas. A' négatif.

Si , en partant toujours des formules qui supposent m négatif, on prend X' négatif, on aura les résultats suivans :

a = 2.74989 02585 8, log a = 0.45951 55625 i, c = 2.58i5o 52554 a, c.= i.656o4 48672 5.

Calculant ensuite les valeurs de /> et ^ par les formules

t — p = c». + afl H — , 7 = a» — c%

TROISIÈME SUPPLÉMENT. ^Sg

on trouvera

/> = — 6.2q44^ ySiSo 6, q z=: 0.89877 ooSgS 2; de là les racines ar=: — cl, ars^— C,

a = 0.14618 24765 5, log (t =: 9.16489 53i46 4> e :^'6. 14827 48567 1 , log € = 0.78875 33728 4;

et le calcul des fonctions donnera

D'après ces valeurs, on trouve que la somme 4'ct+4'^+4'^"~'4^^ — 4ï se réduit à 0.77484 81592 65, quantité qui s'approche beaucoup de la constante connue ? 4''^ ; ainsi l'on aura exactement

4'ct + 4'ff + 4'i — 4^2 — 4^ = i^'i.

Hmtième cas^ A" négatif.

Alors on aura

a = 0.95045 54412 04, log a = 9*97793 08474 26, c = i.o2o35 31954 26, c, =s 0.99358 90604 88,

de là les deux racines ar = fl(, xz=s, — C^

CL = 0.12209 86742 62, log a = 9.08671 09483 9, C = 1. 12825 87166 5, log & == o.o524o 87166 66,

et les fonctions correspondantes

Au moyen de ces valeurs, on trouve que la somme

4 ¥ + 4'î — 4'^ + 4flt — 4'ff

se réduit à — 0.77484 81589 5, quantité très approchée de la constante ^ 4' i =5^ •77484 81 388 735; ainsi Ton a exactement

4'a — 4'i — 4i + 4'ff — 4a = i44.

271. Il résulte de tous ces calculs, que sur les huit solutions dont

36o FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,

lexemple proposé est susceptible » cinq sont réelles et trois imaginaires. Voici un tableau qui comprend les cinq solutions réelles :

4,', + 4,'a ;i = 4,1 + 34,'i 4,. 4,'c{ i'i + 4-'» + 4J = 4'! + H'è + 4« - '^'ff {

nég.^ 4'a -. 4/1 + 4i = 4''- + 4-'^ - 14'' é. . . . { 4', 4'a + 41 = i4'i + 4. 4'ff I

Le pi*emier membre de chaque équation contient les fonctions qui répondent aux trois valeurs données de x; on a fait en sorte, dans cette disposition , qu'il n'y eût, au plus, qu'une fonction précédée du signe — -, chose toujours facile à obtenir au moyen d'un changement de signe qu'on opérerait, au besoin, dans les deux membres. Maintenant on voit que toutes les combinaisons de signe enti*e les trois fonctions données se trouvent dans ce tableau, avec la condition mentionnée qui n'admet que quatre combinaisons; aussi voit-on que la combinaison n[/'i + 4'a — 4ï ^ï trouve deux fois. Ce résultat trouvé, pour le cas de fJL=L5, dans une transcendante de la seconde classe, ne peut manquer de s'étendre à toute autre valeur de fc dans les transcendantes de la même classe; c'est-à-dire qu'étant donné un nombre quelconque fc — 2 de valeurs de x, pour déterminer un pareil nombre de transcendantes -^x ou '^'x, on pourra toujours trouver une- somme de ces transcendantes prises avec les signes qu'on voudra, de manière que cette somme soit composée d'une constante déterminée et de deux fonctions, dont les variables a ei€ sont de- • terminées algébriquement par le moyen des /j, — 2 valeurs données de jc. On peut s'assurer, en outre, que le même résultat peut être généralise pour les transcendantes de toutes les classes; c'est-à-dire qu'étant donnés les signes des différeus termes d'une somme proposée de fonctions, on pourra trouver assez facilement , a priori, les signes avec lesquels on doit prendre les quantités analogues à celles que nous avons nommées A, A% X'f etc. , pour que la somme des fonctions prises avec les signes donna; se réduise à une constante, jointe à un nombre de fonctions auxiliaires toujours égal au numéro de la classe. La règle,, pour cet objet, se dé-

duira toujours aisément de celle que nous avons donnée pour former la somme 2(pj:, qui compose le premier membre de l'équation (5).

272. Il suffit, pour s'en convaincre, de chercher comment dans le dernier exemple, où Ton a pris m négatif, on aurait pu, a priori, parvenir directement à la combinaison qui donne la valeur de

D'abord cette combinaison, exprimée par les seules fonctions 4^> est

Bx.

Dans le cas dont il s'agit, la quantité g-^, qui doit servir à déterminer les

signes des fonctions, est --7- — .

Dans le cas de a: = ï, cette quantité, qui devient ^ ^* == -^j a par conséquent le même signe que A.

Dans le cas de or = — I , cette quantité = — — -' = -;» a le même signe

que X".

Enfin, dans le cas de x = — • 2, cette quantité a le même signe que A'.

De là il suit que pour obtenir la combinaison cherchée -^^ — *>{. ( — 1) 4- 4 ( — 2) , il faudra prendre

A positif. A" négatif et A' positif.

C'est en effet la combinaison qui a produit ce résultat , et d'où l'on a déduit l'équation

dans laquelle

Cette application suffit pour faire voir que le problème dont il s'agit se résoudra toujours avec beaucoup de facilité dans les transcendantes de toutes les classes.

Ainsi , étant donné un nombre quelconque fz — N de valeurs particulières de jci on peut adopter telle combinaison de signes qu'on voudra dans la somme des fonctions 4^» où nous supposons %I/X une fonction de

7/7— r 9 et l'on pourra toujours dé-

terminer les signes des nombres X correspondans à chaque valeur X^u^ tîculière de or , de manière que la somme des fonctions prises avec les signes proposés soit égale à une constante connue > jointe à N antres fonctions dont les variables seront déterminées par le moyen des /e«— N valeurs données de x. U pourra arriver qu'une ou plusieurs paires de ces variables soient imaginaires , mais la solution n'eti existera pas moins analytiquement.

§ Vni. Suite des mêmes recherches^ appliquées successivement à une seconde fonction de la première espèce et à deux fonctions de la seconde espèce.

.. __ i. ce que nous avons dit en

TTT—^f ^^ étant un polynôme en x da

^ i. est une seconde fonction de la premiène

espèce^ et que y . ^. et /ttttzT^) sont deux fonctions de la se* conde espèce ; il est inutile , d'ailleurs , d'admettre dans l'intégrale ^ \ , qui résulte de la supposition ^or = or' (a: — à), des puissances de X plus élevées que la troisième» puisqu'on a prouvé que l'intégrale f-j-i — \ 9 ^^ ?^ ^st un polynôme en x du degré A , peut toujours

se ramener à des intégrales semblables^ dans lesquelles l'exposant e est moindre que > — i .

Pour distinguer les nouvelles intégrales de celles que nous avons coqsi*

\/\l—X^) ^* j X/il+T') P^^ ^'^ ^

^\x; semblablement yi^-g-^ eïj-ç—^^ par 4.x et ^^ar.

Si nous partons d'une équation Z^*^ = C , trouvée pour la plus simple des fonctions de la première espèce, il suffira de changer les fonctions 4*^ ^^ 4>«^' ^^ ^^^ fonctions ^^'x en — 4^*^» ^^ ^*^^ ^^^^ semblablement 2,'>^,x = C^, C, étant une constante déduite de C, en mettant 4ii à la place de 4i> ^^ — '^\ia]a place de 4'^* (^ résultats, indiqués par la théorie précédente, vont être vérifiés dans différens exemples; mais

auparavant il est nécessaire de donner les formules par lesquelles on pourra calculer facilement les valeurs numérique3 des nouvelles fonctions 4i^ ^* 4'«"^*

Des intégrales 4.x ==f^-^ , 4',j. = f\^l^y

274' Q faut d'abord calculer les fonctions complètes -^ii ^t ^'li; '^ première par la formule page 408, 1» seconde par la formule (Z), page Syy, tome II ; on aura les résultats suivans :

TT^ 0.2485.7 4q565 47 At^^ = — îr- T— ^T.

r(i.4o)... 9.94805 27714 II '4'«ï 9-86677 08774 47

-, Q, r-rr cosf^. .. 9.48008 2364o 86

A l'égard de la fonction indéfinie, il fa\it distinguer deux cas : i"". Lorsqu'on a x' <^, l'intégration donnie immédiatement

^' \2 ' 2 7 ' 2.4 la 2.46 17 /

2°. Lorscpie j:* est > f, on fera i— ar*==? «, ou ar = (i — 7^)^, et alors on aura /rTTTirP) = 4i — U, U :?= ^/a" • 4^(i — m)" ^, ou

•T a i/ , 3 M , 3.8 M» , 3.8.i3 w^ , ^ \ U = 5 "%^ +5-3 + O;- 5 + 57^Ti5-7 + ^^0'

Ces mêmes formules, adaptées au ciilcul numérique, prennent la foi:me suivante :

^,x =a ^x^ + Pa:" (9.15490 19600) 4- ?a^ (9-90476 35709)

+ P;r« (9.64097 80574) + Pa^^ (9r&»692 371 01)

^^^^ ^ • + Par* (9.85005 42936) 4. Px« (9.95591 81 196)

+ Par* (9.86530 14261) + etc.

+ Pjc* (9.88842 52249)

U= |tt« H- P« (9.50102 99957) -f- P« (9.89748 61095) + Tu (9.68134 ia574) + Tu (9.91229 79888)

(21) ( -f- Pa (9.79172 40576) H- Ptt (9.92356 59450)

H- Tu (9.84509 80400) + elc.

+ Tu (9.87663 765 I 6)

-— — r—rr. Si Ton a oj* < J, cette

fonction se calculera par la formule (20) , en observant de prendre négati* yement les termes de rang pair.

Si Ton a Jc'>7 et x <^i y il faudra faire - i = « ^ ou

X = f— — j^i ^^ m^^ donnera '\f\x V= f\ u ^dii (i — w)' *• , 00 , en intégrant par série ,

^\x = Ja + -§..« H- âdS.X + 9:^9:?^ . iî! 4. etcV

U en résulte, pour le calcul numérique , la formule

^[/\ar = «'^(9-67897 00045 5602) •+• Ptt (9^93069 gSoSo) + P« (9-41017 44600 89) + Vu (9.95948 95580) + P« (9-74564 05992 6) + Pw (9.94629 89297)

(22) ^ + Pw (9.85400 90678 5) + Vu (9.95172 97089)

+ Vu (9.87705 08562) + Vu (9.95616 95007)

H- P" (9*90228 49924) + etc.

Vu (9.91891 4547O

Cette formule servira depuis jc* = J jusqu'à iT s= i ou tt = ^ ; :r = I, il faudra recourir à* une. autre formule.

soit donc U ss /j «" *° rfw (1 — • 1/)" ^^ , ou

Cette formule, adaptée au calcul numérique, prendra la forme

U =8 iur 4- Pa (8.75675 85652 26) + Vu (9.92049 69551)

+ P« (9.62226 57774 16) -j- Pk (9.92969 95684)

-f- P« (9-86900 i5o79 7) "^" ®**'* + Pa (9.89227 71 177) + P« (9.90851 75818)

et Ton aura ^\x = •>[,', ^ — U, valeur qui servira depuis x = i jusqu'à or = ^. .

Enfin , lorsque x sera > a ^ oii aura une formule plus simple en faisant

X = - ou M = T, ce qui donnera •vL',ar = 4'ii — U, Us=y« *(i+M*) '

= 2m' ( I — -. h — 7- — — ' etc. ) , ou

U = 2M* — fi^ (8.65757 7519I 78) — P«* (9.90188 68029)

+ P«' (9-594:^3 46538) + Pw'.fe. 91474 4606a)

(24) J "" ^"* (9-75167 63549) — Ptt«' (9.9^46:^ 00428)

'^ "^ + Pi^ (9.82058 58901) + Pu» (9..95'>44 56258)

— P«* (9-85945 61901) — etc.

Pm** (9.88445 17801)

Exemple /".

275. Les valeurs de a et f étant les mêmes que dans les art. aSo et 25i, on a trouvé

4, + 4'ff — 4/^ = 4i + 14'!,

ou simplement 4'^ — 4'* == 7 4'5r« Si de cette équation , pour les fonctions 4^9 ^^ ^^^^ passer à ime équation semblable pour les fonctions 4,.r, il faudra, conformément à notre théorie, changer les lignes des fonctions 4'» <^c qui ne produit, dans le fait, aucun changement; on devra donc avoir dans les nouvelles fondions

En effet, si d'après les vaJears de « et f données art. 244, savoir : a == o'.7i592 09561 59586, log a = 9.85486 50701 0294,

€ = 4*^^oi4 70213 40302, log S =5 o.655i5 i256o8 1099, Tome III. 34

^i66 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,

oo caJculç Içs fonctions f^\et «t 4\^ pi* 1<^ £[>nnul^ (20) et {2^) , on trouvera

4'iÇ = I 44047 67395 14

4',ot = 0.34989 69079 40

Or, on a ^ nI/'k i :;= x • 19057 98216 075 ; et puisque ces deux nombres , calculés tous deux par approximatioo , diifèrent si peu l'un de Tantre , on est en droit de conclure que Féquation

4'i^ — 4'i* = r-^'iZf

9«mblaMe « r^atiou 4'^ "^ 4'<* =^ • 4' ç ^ ^ ^^^ exactement , suivant la loi générale qui avait été annoncée.

Exemple II. ' 276. En supposant, comme à l'art. 249f

et = v/(^) - (r^) = 0.79560 44955 54840,

e =p: \/(~^) + ~^ — 1.55755 65r58 55o5a, nous avons trouvé l'équation

Ainsi l'on devra avoir pour les fonctions 4i 1 équation

en effi^tn on trouve par les formules précédentes

4\f = 0.78623 8i5o8 95 4i<* =^ o.55i47 7io5i 82

Cette constante s'accorde très bien avec la valeur de 7 4't7 "^ 4i' t comme pn le voit ici :

î4'ti = 1 . 19057 98216 ig[} 4ii = 0.73581 87960 81

Ainsi l'on aura exactement

4'i^ — 4«* = î4'»^ -^ 4ii^

conrui^ la théorie Tavait indiquiez