Ptt (9.81055 59557 6) 4- etc
^"'^ "^ -»- Pk (9.87291 .12865 a)
+ Pa (9.90436 85545) + Pa ^.92516 99764)
Si l'on a a:> 1, il fiiudra feire i +a'»= i, ou j^ss^i-^— Y, ce qui donnera
développant le second membre et intégrant^ on aura 4'*«a: = C 4- ^m* ^ — ^U,
¥T 4. •ïl'/i • 7 " I 7?i^ "'1 7-iî^-i7 «' I ^ \
Cette dernière formule peut a'ëorir^ afai :
U = u^ (8.94884 74775 5a6) + Pa (9.89508 48549) H- Pa (9.52058 69485 01) -h P« (9.90756 57522)
('28^ < "*■ ^" ^-71944 55900 5) -f- etc.
Pour déterminer la constante C, il faut observer qu'en fitisant xssi^t
on a u~ '° ^ x*f et U = o, ce qui donne -\>'^=^2X^i- mais nous sa-
VOUS que dans ce cas on a '\\x = so?^ — B; donc, C=— B; donc pour une valeur quelconque de x plus grande que i , on a , en fieûsant
Le cas de x=, i donnera ^/'.i = 2,2'° — B — U% U* étant la valeur de U lorsque ££ == 7. La même quantité se déduirait plus directernent de la formulé (27 ) ^ en faisant 2/ = ^ » mais la première expression qui dépend de la valeur de B, donne plus promptement le même degré d'approximation; on en tire
^281. Les formules étant ainsi préparées pour les differens cas, nous' allons étendre aux fonctions '\tpc ^ -^^^x ^ quelques-uns des exemples calculés dans le § VII^ pour les fonctions de première espèce -^x^ '\fxi mais il est nécessaire, avant tout, de chercher l'expression générale du terme nX qui entre dans le second membre de l'équation (5), lorsqu'il s'agit des fonctions de la seconde espèce. Dans le cas de la fonction
^^x = f //^f ^x f "l^ valeur de X est en général et si l'on fait Z = ^ . ll^îfi , cette valeur deviendra ou ; en développant la quantité logarithmique ,
Le premier terme de cette série —^ — r se réduit à -g — ^— , et en substituant les valeurs Q3c=a+x, ô,:r=:^-|-^i«^> (p,^=(i — ^)ri— x.— ^^4-a?*\ il devient
Cette quantité , développée suivant les puissances de - = i^ ^ sera de la
forme ku + Bm' + Cw' •+• etc., et il est visible qu'on a A = — 2c, •
D'ailleurs , les autres termes de la série , dus aux facteurs -x- , -g- ., etc. ,
étant développés semblablement ^ on verra aisément qu'ils ne contiennent que des puissances de u de plus en plus élevées; ainsi le coefficient A égal à — 2C, est le seul qui entre dans la valeur de la quantité désignée par nX, et Ton aura par conséquent nX = — 2c,.
Cette valeur ne s'applique qu'à la première fonction de la seconde es-
pèce , désignée par '\^x = / . ^x ; on trouverait , par un calcul semblable, mais dont le résultat est moins simple, la valeur de nX, qui s'applique à la seconde fonction de seconde espèce désignée par
Exemple I".
2&2. Supposons^ comme dans l'art. 25i , ^ = i ; on a vu que les racines a: = — a, x^=: — S, qui résultent de cette supposition , satisfont à l'équation *
Si nous passons maintenant des fonctions %[/ de la première espèce aux fonctions ^/^ de la seconde , on devra avoir l'équation
^'Jô — 4'»*== const. — 2C,.
Or, dans l'exemple dont il: s'agit, on a c= — ^^ et c, = 1 — c Ç^ \
—s QLJLi\ j donc le second membre de l'équation précédente doit être const. + (m -f- 1) : c'est ce qa'il s'agit de vérifier.
. Tome III. 55
374 FONCTIONS ULTRA-ELWPTIQUES ,
CaktU de ^'jt. par la formule (aS)*
«.... 9-85486 So-jSi o3 5.62714 88684 5
i) 9.08747 59705 89 5) 4.75702 69Ci6o 6
i) = o.iaaSi 558o8 41 o.ii855 76481 m
2) — 45i 33IOI 47 6) — 7588 65a
o.ti8oo 01706 94 6889a 459
3) 37 43983 ao4 7) II 10 o58
o.ii83d 76481 III ,, — — ^
Calcul de 4'.C par la formule (28).
ê o.t>55i5 256o8 11 fi®**. . . 7.0516065911 97
3 o>5oi o2 ixx)56 64 9.52068 69485 01
i) SB 4'3^^^ 37665 2a6 a.a45o4 ygvSS S
M. .... o. 00010 oiaai 479 6.73400 yfoiS 3
Diff. ... 2. 55823 03961 754 4) 49
M = o«oooio 01221 479*
Maintenant, si de la quantité 4^^ — 4'»*^= 2.558r:>a 02961 764, on retranche m'+^ i :ssz 3.:^36o6 79774 998,
on aura la valeur de la constante.. C = -^ 0. 897^4 76815 244.
Cette constante diffère très peu de J^B ssi: ù.8çfrfS4 7681 r go5. Ainsi Ton aura exactement Téquatron
Cette ëquatiou est, comme on voit, dans la forme indiquée parla théorie, et Ton remarque que le terme j 4' i , relatif aux fonctions de la première espèce, est remplacé, pour les fonctions de 1a seconde' espèce, non par le terme semblaUe ^4'» o> q^î est infini, mais par la Cdûstante — î B, comprise dans i 4'**^ lorsque oc est infini.
Exemple II.
283. On a supposé, dans Fart. 252, < = — i , et faisant ^/(i — fi) = — y/2 , on a trouvé les valeurs
et ensuite les auxiliaires a:=:a,:r = — €; d'où est résulté réquftion des fonctions
Si Ton passe maintenant dfes fonetioiifr 4*^ ^^ ^^ première espèce aux fonctions 4r^ de 1^ seconde, ^ette* équation deviendra
et ea substituant la valeur de 2C( , le second membre devient
%P.i + ^B + (m -f- i) + 2^/2. Cest ce qu'il s'agit de vérifier par le calcul des fonctions ^a^ 9 4'*^ ' d'après les valeurs de a et C données art. a52.
Calcul de 4a« P^^ ^ formule (26).
