La formule de réduction est en général

F(A;,(p) = |uF(A,4).

Nolis supposerons , pour filer le* idées , que !a fonction V{k , ^) est donnée , c'est-à-dire qu'on connaît son module k et son amplitude ^ , prise à vo** lonté; on veut de plus que les modules h et h appartiennent à une même échelle qui aura pour indice le nombre impair p. D'après ces données, il faut déterminer les constantes A et f& et l'amplitude 4.

Soit pour cet effet sîn ^ = je , sin 4 ==^> et soit tt^ ube amplitude qui, pour chaque nombre donné m, moindre que p^ satisfasse à l'équation.. . .

TU 'r-«. -i ffl

F (^> *») = — F'^ = — K. On doit regarder les quantités et» comme des fonctions de k qui peuvent toujours être déterminées , soit par approximation , soit par la résolution des équations algébriques qui ont lieu dans la divi* sion de la fonction complète ILen p parties égales. Cela posé, l'équation entre les amplitudes cp et %}/ pourra être présentée sous ces quatre formes :

JP» *» *• AT*

^o \ * sin"#a sm* «4 sm- «g su r g^ ,

(49^) 1'=»+^;?— +c-îrr^ -^-^d-^

sin

(490 v'='+^^+-^cr-----^^^^.-

4i. Il est à remarquer que les équations des amplitudes qui donnent la valeur de sin '^ en fonction rationnelle de sin ^y et celle de sin cù en fonction rationnelle de sin «sj/ , donneraient également les valeurs de tang ^^ et tang <», l'une exprimée en fonction rationnelle de tang^, l'autre exprimée en fonction rationnelle de tang<N[.. Voici ces nouvelles formules

/g \. i__. taDg^ 1— tang'^cot'#P , i — tang<^cot*tf p^ i— tang'^cot'g»

V J ë T ^ • i tang*^cotV * i — tang''fcot''a3 * ' * i^tang*^cot*«p a '

/f^ \. taDy 4^ sjii'Cb sin* C4 "^ sin* Cp i

(Di;tang« ^, 'T+Â^-UngHsin^C/ i-f A'-taiig*48in»C^ • • • i+A"tangH»în>Cp«, '

§ IV. Remarques sur l'ancienne échelle de modules.

4a. L'ancienne échelle de modules, qui est censée répondre au nombre premier a y est liée par des propriétés communes avec les échelles nouvelles construites pour tous les nombres impairs*

Et d'abord on peut poser , pour l'ancienne échelle , la formule

F(A:, ^)=:,uF(A, 4),

semblable à celle que donne le théorème l**" de M. Jacobi; car, puisque dans celle-ci le module h est toujours plus petit que A: , la formule précédente peut s'assimiler à celle que , dans la notation usitée pour la première échelle, nous représentons ainsi :

Il suffit pour cela de faire A = A*, Atr = ^(i+A*) et 4 = <P°- Ainsi la formule générale s'adaptera au cas de pz=z2y qui est celui de l'ancienne échelle, en supposant, i"*. que l'équation entre les modules A: et A est

*=7:+t'^^(r~^/z) = T~ifcî ^"- ^"® ^^ régulateur ;t =z= ^ ( i H- À) j 3^. que l'équation entre les amplitudes ^ et «4/ est sin (2^ — •4/)=:Asin<4/ , ou tang (4 — (p) = J-=-^ tang (? = A' tang <p , ou t«%' 4^ = yîq:~^ , ou

ennn sin •>(. := V,. ^, .^, . . Dette équation , présentée sous quatre

formes, donne la loi suivant laquelle les amplitudes ^ et 4 croissent si-* multanément; il en résulte que, si a est l'amplitude pour laquelle

F (A: , et) =: ^ F' A: , c'est-à-dire si l'on a sin* et = ' ^ s= , la corres-

pondance entre les valeurs de ^ et 4 ^^^^ ^î^u ^^^^ ^^^ points principaux , comme il suit :

^ = o , et , jT j ne — et , tt , ^ + et , etc. , 4=0, ivr y 'TT, f^r, 29r, ^tt, etc.

Cette correspondance pQur l'indice /? = 2 est entièrement semblable à celle qu'oflFre le théorème V^ pour un nombre impair quelconque p. On peut donc, dans l'équation F (A:, ^) = iubF{hy 4) y ^^^^^ ^ ^^ ^^^^ ^ = -^ et 4 = ^ ; ce qui donnera

F'A:=2/uF'A, ou i +A=^=:5.

43. Mais si l'on substitue À' à A:, et conséquemment k k h^ l'équation entre A: et A, qui devient h!z=> Yy y ^^^ également satisfaite , parce

qu'on a A:^ 5= ~ ^ ' Donc les modules h! et k! peuvent être substitués

aux modules A: et A dans la formule générale , et alors l'équation

I -|-^= g deviendra i + ^ = ^- Ces deux équations ont donc lieu simultanément; et puisiqu'on a (i -f- A) (i + A:') = 2 , il en résulte

Cette équation entre deux modules consécutifs k^ et h est la même que nous avons donnée n** 85, tome I*'; elle s'accorde, pour la valeur ;7 = 2 , avec

l'équation générale —,z=p=n^ qui a lieu , dans le théorème P' , pour un

nombre impair quelconque p.

Il reste à voir si le théorème II de M. Jacobi a son analogue dans l'ancienne échelle , qu'on peut maintenant appeler l'échelle n* 2 ou l'échelle dont l'indice est 2.

44* Pour parvenir au moins indirectement à notre but, nous remarquerons que , dans les deux théorèmes généraux , les deux équations

F(A:, (p) = ;tF(A, 4)> F(^j 4)=A*'^(*> ^)> conduisent à la formule de multiplication F (A:, cù)=:pY{k^ (p). Ainsi, on peut regarder l'équation du

F»:»?<cnons eluphoces.

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