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PREMIER SUPPLÉMENT. 3g

§ V. Usage des deux théorèmes pour les transformations d^ime

même fonction.

46. 11 s'agit d'abord de construire, d'après le module donné ky une échelle qui réponde au nombre impair donné p , et qne nous représentons ainsi :

Pour former celte échelle , qui est commune aux deux théorèmes , nous suivrons les formules du théorème I*'; elles supposent qu'on a calculé d'avance, d'après le module k , les amplitudes «t, , lot^,. . • • er^, , qui sa-

tisfont à l'équation F(A , a») = — F'A:. Ces amplitudes peuvent se trouver,

soit par les formules données dans le chap. YI, tome P' de notre Traité, soit par les méthodes d'approximation données dans le tome II. Dans tous les cas, il suffira de connaître le premier terme «t, , duquel tons les autres peuvent être déduits par de amples formules trigonométriques.

Connaissant les amplitudes a, on pourra calculer le module h et le régulateur fA par les formules (3gâ) et (Sgd) , ou par celles des antres formules de cette sorte qu'on voudra choisir; on aura ainsi l'équation F (A:, ?)=AiF(A, %[/), qui sert à transformer la fonction donnée F (X: , ^) en une autre semblable , dont le module h sera toujours plus petit que k , comme le fait voir l'équation (396). Quant à l'amplitude 4 9 ^^^^ ^ déduit de l'amplitude donnée ^ par la formule (3^), ou, â l'on aime mieux, par l'une des formules (36) et (37); mais, pour qu'il n'y ait pas d'ambiguité dans cette détermination , il faut se rappeler que les amplitudes ^ et ^ croissent inégalement, à compter de zéro, suivant une loi manifestée par les équations (32) et (33). En vertu de cette loi ,

les valeurs c... ^ = 0, a^y a^, ât,,«.. «^=z=j^,

correspondent aux valeurs. • \[/ = o, ^'tt, tt, l^r,... p^^T.

Ainsi, lorsque ^ tombe entre a^ et «t.^, , la valeur de %p doit tomber entre 171.- et (iTi+i)-} ce qui ne laisse aucune ambiguité dans la détermination de l'angle 4/ par son sinus. Il en est de même pour des amplitudes plus grandes; car si une ampUtude 9 *< i^ correspond à l'amplitude 4 <C^«ï^, il est visible que les amplitudes 2i.^*7CdsÇ et 2i)^.ï^±>P se correspondent également, i étant un nombre entier quelconque.

4o FONCTIONS ELLIPTIQUES,

Maintenant que la fonction F (A;, ç) est transformée en une autre fonction F (A, 4)) ^o°^ '^ module est plus petit que kj on pourra £iire une suite de semblables transformations, dans lesquelles le module h sera remplacé par un module plus petit h^ , celui-ci par un module plus petit h^y et ainsi à l'infini ; ce qui formera la partie décroissante de Féobelle fc^ hy hiy k^y etc. : et les transformées correspondantes de la fonction F (A;, (f) seront données par les formules

F(A,(p)=ittF(A,4), F(A,4)=itt.F(A.,4.), F(^.,40=)^.TF(^o +0. etc.

Il est inutile d'ajouter que l'amplitude 4i ^ déduira de l'amplitude ^ , suivant la même loi que 4 ^^ déduit de ^ ; qu'il en sera de même de 4a 9 par rapport à 4i> ^^ ^^^^^ ^ l'infini.

En considéi*ant donc la partie de l'échelle dans laquelle les modules forment une suite décroissante , le calcul des amplitudes qui accompagnent ces modules n'est sujet à aucune difiiculté , et s'exécute par des formules rationnelles de même forme ; mais le passage d'un module à l'autre , par exemple , du module h au module kg , exige qu'on calcule , pour le module h y des auxiliaires analogues aux quantités et,, ct^, «tj, etc. , calcuf lées pour le module k.

47. Voyons maintenant quels sont les moyens d'effectuer de semblables transformations dans l'ordre inverse , c'est-à-dire dans l'autre partie de l'échelle. Si l'on regarde F (À, 4) ^^^Q^^^ 1^ fonction donnée, il faudra d'abord déduire le module k du module plus petit h. Pour cela , le meil-* leur moyen serait de recourir à l'équation algébrique qui existe toujours entre deux modules consécutif k et hy car cette équation, qui servira à déduire le module k du module plus petit A, servirait semblablement à déduire le module kt du module plus petit k, puis k^ de k^^ et ainsi de suite. Mais l'équation dont nous parlons^ qui est déjà assez compliquée pour le cas de ^ = 5, le serait bien davantage pour de plus grandes valeurs de p. En attendant que la théorie fournisse les moyens de parvenir plus aisément à cette équation, on pourrait y suppléer par les formules (49^) et (49*) du théorème II, qui servent à calculer k' et f/f par le moyen des quantités ff., qui, elles-mêmes, sont calculées d'après la valeur connue de h'. Or, connaissant kf et fji'y on connaît k complément de hf el fjLz=z —„ Ainsi les formules citées serviront à déterminer k et fA par le moyeu de A , et à former l'équation F (A, 4) =-F(^> (p) = v¥(ky (p) ; elles peuvent, par conséquent, aussi servir à déterminer k^ par le moyen de A: : en sorte

qu'on ait l'équation F (A, ^) = FjF(A;, , 9,); et l'on continuera cette suite à volonté. Au reste , le problème de déterminer k par le moyeu de h ou k^ par le moyen de A: peut se résoudre beaucoup plus simplement , si l'on ne veut que des approximations , par le secours de l'équation transcendante x'^^^^tF> comme nous le ferons voir ci-après.

Il restera ensuite à déterminer l'amplitude ^, par le moyen de l'amplitude donnée Ç. Ce problème se révSoudra comme celui où l'on voudrait déterminer sin ^ par sin -]/ , ce qui peut se faire par la résolution de l'équation (32), qui est du degré p. On obtiendra donc de cette manière les formules successives de transformation dans' l'ordre des modules croissans , comme il suit :

F(A, ^^) = rF(A:,(p), F(A,(p)=^r.FCA;.,?)0, F(^i, ?i) = ^F(A;., (p.), etc.

Et parce que, dans l'équation F(A, 4) = ^^(^1 9)9 ^^ P^^^ ^^^^^ ^ ^^ ^^^^ ^ = ïTT et %[/ =^.-j^, on aura v:=^; on aurait semblablement

yj=^ , p^z=z^-^f etc. Ces équations peuvent servir à déterminer ana-

lytiquement le rapport entre deux termes quelconques de la suite H, K, K-i > K. , etc. j car les régulateurs v, y,, v., etc., se déduisent analytiquement des modules correspondans hy k^ A;, , etc.

On voit, par ces détails, que le théorème 1" suffit seul pour transformer la fonction donnée F(A;, (p) en une inGnité d'autres, qui auront pour modules les diiferens termes d'une même échelle , calculée pour le nombre impair p^ d'après le module donné k. Les échelles sont différentes, et les calculs pour obtenir les formules de transformation deviennent de plus en plus compliqués , à mesure que le nombre p devient plus grand ; mais toutes les déterminations peuvent se faire algébriquement. 11 y a donc, d'après le théorème P', une infmité d'échelles de modules dans chacune desquelles la fonction proposée F (A, ^) prendra une infinité de formes, sans cesser d'être semblable à elle-mêpie.

48. Venons maintenant aux usages du théorème il. La première formule de transformation F(A, 4) = A*'F(^> o)), et celle qui détermine sin €à par une fonction rationnelle de sin 4 , nous montrent que l'application la plus immédiate du théorème 11 est de transformer la fonction donnée F(/i, 4)> ^e manière que le module h soit remplacé successivement par les modules croissans ky A;., k^y etc. , dont la limite est i. L'échelle des modules est la même que celle du théorème P' ; mais la

détermination des termes de cette échelle, et celle des régulateurs fJL\ s'établit sur des données différentes.

Nous avons vu que c'est d'après le module h\ complément du module donné A, que l'on doit calculer les quantités f,; ^«9 ^s> etc., qui satisfont.

eu général, à Téqualion F (A', Q^ = — F*A'=:— H'. Au moyen de ces

quantités et du nombre donné /?, les formules du théorème II offrent différens moyens de calculer le module k et le régulateur [â! \ alors tout devient connu dans la formule qui détermine siu co par le moyen de sin '^ : on voit d'ailleurs que les variables ai et ^|/ croissent dans une proportion assez rapprochée de l'^alité , puisqu'elles parviennent simultanément de la valeur o à la valeur i 'tT , et à toute valeur multiple de ^ ^ ; de sorte qu'elles appartiennent toujours au même quadrant , et que leurs sinus sont toujours de même signe. On obtient donc ainsi la transformation F (A, 4) = i^'P(^9 ^)'i ^^^^ laquelle le module donné h est remplacé par un module plus grand k. On répétera les mêmes opérations pour remplacer le module k par le module plus grand k^^ celui-ci par un module encore plus grand k^y et ainsi à l'infini. Ces modules occupent dans l'échelle correspondante au nombre p , la partie croissante h^k^k^y Ar^, etc., dont la limite est l'unité, et les transformées successives de la fonction F (A, 4)9 seront données par les formules

F(A, 4) = ft'F(A;, 0,), F(A:, «) = /u'.F(A:., a,.), F(A;,, œ,):= i^'^{k^, »•) , etc.

49* Supposons ensuite qu'on veuille faire , dans un ordre inverse , les transformations de la fonction F(A, 4) 9 ^^ manière que son module h soit remplacé successivement par les différens termes de la série décroissante h, hiy h^y etc. , on rencontrera la même difficulté que le change'ment de direction a fait naître dans l'usage du théorème 1*'. Les formules directes qui s'appliquent à l'ordre des modules croissans donnent k et fjtf en fonctions de h! complément de h^ elles donnent en même temps sin a exprimé par une fonction rationnelle de sin 4- Dans la marche inverse, il faut déduire h et fi' de kj ce qui ne peut se faire que par des procédés semblables ^ ceux que nous avons indiqués : et, d'un autre côté, on ne peut déduire sin 4 de sin cû que par la résolution d'une équation du degré p. C'est aitjsi qu'on aura la première formule de transformation

F (A;, «)=-,F(A, 4), ou F (A;, a>) = /F (A , 4). Par de semblables

opérations , on trouve

F (A, 4) = /.F(A., 4.), F (A., 4.) = r'.F(A., 40, etc.,

de sorte que le module donné h sera successivement i*einplacé par les différens termes de la série décroissante hyh^j\^ etc.

On voit par là que le théorème II fournit une seconde solutioa du problème dans lequel il s'agit de transformer une fonction donnée F (A , 'vf.) en une infinité d'autres qui aient pour modules les différens termes de la même échelle déjà construite pour le module k^ et correspondante au nombre impair donné p. La transformation se &it immédiatement par les formules du théorème II, pour passer du module h aux modules croissans k^ k^y k^, etc.; elle se fait avec moins de facilité, et en exigeant pour chaque amplitude la résolution d'une équation du degré p^ lorsqu'il s'agit de passer du module h aux modales décroissans- A| , h^^ etc. Mais, dans tous les cas, la solution peut toujours se faire algébriquement, c'est-à-dire par la résolution d'un certain nombre d'équations algébriques d'un degré déterminé.

5o. Indépendamment de ces deux grands moyens de transformation qui s'appliquent à tout nombre impair donné p ,. il en est un troisième qui participe des deux , et qui n'emprunte de chaque théorème que la partie la plus facile, où il n'y a pas d'équation à résoudre pour passer de l'amplitude de la fonction donnée à l'amplitude de la fonction transfisrmée.

En effet ^ supposons que, par un< procédé dont nous donnerons bientôt les détails, on ait formé, d'après le module donné k, et dans telle étendue qu'on voudra , l'échelle des modules

qui répond au nombre impair donné p. On pourra , par les formules du théorème l*', transformer la fonction, ea la faisant passer du module k aux modules décroissans A , ^, , h^, etc. ; et , par les formules du théorème II, les transformations pourront être dirigées pour passer, avec la même facilité, du module k aux modules croissans k^j k^j k$y etc..

Dans ces deux séries de transformations, l'amplitude de chaque fonction se déduira de l'amplitude de la fonction précédente , au moyen d'une formule (32) ou (44), dans laquelle le sinus inconnu s'exprime rationnellement par le sinus connu. A l'égard des régulateurs qui servent à former les équations ¥{k, (p) — fiY(h, 4), F(«, 4) = ;t,F(^,, 40> f^c. , ils se déterminent, soit par les formules propres au théorème I*»", soit par les formules

plus simples f* = -g, '^^='l\^ '^•=^•^1' ®^^- ^^ a^^a de même,

pour les équations F(A;, <p) = fi\Y{k, , <p,) , F(A:, , (p.) = /^\F(k^ , ^,) ,

relatives à la partie croissante de l'échelle , les formules /t^', = =- ,

f^'a = g^ , etc.

5i. II ne sera pas inutile de joindre ici un petit tableau où l'on verra d'un coup d'œil la liaison des formules que chacun des théorèmes fournit pour la transformation de la fonction proposée, tant dans l'ordre croissant que dans l'ordre décroissant.

Échelle générale des modules pour le nombre impair p ,

I ) . . • . A j , k^^ A, , kj A , A, , n^ y ^3 , . . . • (o Formules du théorème /".

Ordre d*=r«i».nt, f ^J*' ♦) =''n*.4). F(A,4) = ^,F(A.,4,) ,

Ord« croupi, { ^<*' t\='^P«*'»7't' *'='•"*' *'^'

l F(A;, , <p,) = v^F(k^, (pj, etc.

f*—pâ' f*''—pâ.' '*'~jsr.' ^'^•' 1-=^ 1-=^ 1»=^ etc

Formules du théorème II.

Ordre cr««,n, , { F(A, 4) =/F(*, »). F(*,») = K,F(*. . -,),

l F(k, , «,)= f* ,F(*., «,) , etc.

Ordre décroissant ( ^(*' «) = ^'^X^^ , 4) , FC^^, 4) = /.F(A. , 4.), Ordre décroissant , | F(^,^^^)^,,^p(;i^^ ^j^ ,t^.

in K K

/ K , H / Hj

Rapports entre les régulateurs des deux théorèmes ,

V = pfA/, V, = pfA\ , y. = ;7u'^ , etc. , v' =: p/Ay v\ = ;?itt, , /. = pu^ , etc.

5 VI. Usage des mêmes théorèmes dans la multiplication et la

division des fonctions de première espèce.

52. Nous avons déjà remarqué que les formules données par les deux théorèmes, savoir, F(A, ^) = f6F(A, 4)> ^(J^y 4) = /^^^{^^ ^)> ^^^'' duisent immédiatement à l'équation

qui servira également à la multiplication des fonctions et à leur division par

le nombre impair p.

On voit d'abord qu'étant donnée l'amplitude ^ de la fonction simple F (A;, ^), il faudra chercher l'amplitude 4 de la fonction auxiliaire F(A, 4)? au moyen de la formule (Sa) du théorème T", laquelle donne la valeur de sin 4 9 exprimée par une fonction rationnelle de sin ^ ; ensuite , on fera usage de la formule (44) du théorème II, qui donne semblablement l'expression de sin ûi en fonction de sin 4- D'ailleurs, on connaît la loi que suivent , dans leurs accroiissemens ^ les amplitudes ^ et 4 9 ^^^^î q^c celle qui a lieu dans les accroissemens des amplitudes 4 ^^ cû. Ainsi Ija détermination de sin a> par sin ^ fera connaître , sans ambiguité , la valeur de a> déduite de celle de ^.

On peut supposer que la valeur de sin '^ en sintp^ donnée par le théorème I*^, est substituée dans la formule (44) du théorème II, et alors on aura immédiatement l'expression de sin co , laquelle sera donnée par une fonction rationnelle de sin ^^ dont le numérateur est un polynôme du degré p*f avec tous les exposans impairs, et le dénominateur un polynôme du degré )?— - i, avec tous les exposans pairs. Cette substitution peut être censée satisfaire au problème que nous nous étions proposé n^ 22, tome I**", et qui consiste à trouver l'expression générale de sin (p» et cos ^^ en fonction de sin^ et cos^.

INous remarquerons cependant que la solution qui vient d'être indiquée suppose connues les quantités et» et €m pour toute valeur de m. Ces quantités peuvent se déterminer par les équations algébriques dont elles dépendent , ou par les méthodes d'approximation ; mais elles sont en quelque sorte étrangères au problème dont il s'agit , et elles doivent disparaître dans le résultat final, qui ne peut contenir, tant au numérateur qu'au dénominateur , que des coefiiciens exprimés en fonctions rationnelles du module k. Ainsi, le problème de la multiplication des fonctions n'est en-

core résolu que d'une manière incomplète , et qui laisse beaucoup a désirer.

Il en est de même, à plus forte raison , du problème de la division des fonctions; cependant, comme ce problème présente, en général, une équation à résoudre du degré p^ , il faut avouer que l'application de nos deux théorèmes sert à diminuer beaucoup la difiiculté. Il &ut, pour l'usage de ces formules, calculer préalablement les quantités ^et f», qui servent à diviser les fonctions complètes F'A; et F*A' en p parties égales. Ces quantités étant connues , la division de la fonction F (A; , o)) en ^ parties égales , c'est-à-dire la détermination de l'amplitude ^ qui satisfait à l'équation

F(A;, ^)=s-F(A:, ûi), se réduira à résoudre deux équations du degré p ,

savoir , l'équation (44) j pour déterminer sin '^ par le moyen de sin a> , et l'équation (3^), pour déterminer sinf par le moyen de sin ^|/. On voit, par conséquent , que sin '^ sert d'auxiliaire pour décomposer l'équation du degré p^ en deux équations du degré p.

Les choses se simpliGent ultérieurement dans les cas particuliers , ainsi qu'on le verra ci-après dans le développement des cas de ^ = 3 et ^ = 5.

Vsagei

53. Nous remarquerons d'abord que le théorème contenu dans cette équation s'accorde avec ceux que nous avons trouvés sous une autre foime n° 85 et n® 190 du tome I*' ; le premier, pour le cas de ^^ = a , qui est celui de l'échelle ancienne , et le second , pour le cas de p=s3 , qui est celui de la seconde échelle dont nous avons traité dans le chapitre XXXI. C'est donc un résultat général qui s'applique non-seulement à tous les nombres impairs sans exception, mais même au cas de /'ss, qui se rapporte à l'ancienne échelle.

La formule v^^^/^g? représente, sous la fqrme transcendante, l'équation

algébrique qui existe toujours entre deux modules consécutifs k et h, pris dans l'échelle dont l'indice est .p, k étant le plus grand des deux. On aura

semblablement , entre les modules ^ et ^i , l'équation Tj/Ss/J'fp-, entre A| et

h^, l'équation gr =^g? > etc. j donc

K ___^ H ^ ^ Hi ^^__ 3 Hft

K'^^iT""^ W\~P ÉPI' ®^^>

et , en général , ^^7 = /?■'■*'* „?■ . Cest la relation qui existe entre le module k et le module h^^ qui occupe le rang /ti-I- i 9 après k , dans la suite décroissante k^h^h^yh^^ etc. On aura donc semblablement, entre les mo-

dules k^ei k, l'équation ^^Z'" x^> ^^ ^^ module k est placé au rang

171, après k^y dans la série décroissante k„j A:^., , k^^^. . . • A:», k^^ k. Cette même équation , sous la forme

L — i. 5!ÏL

contient une relation directe entre le module k et le module k^^ qui occupe le rang m y après ky dans la série croissante k y k^ y k^. . . . k^.

Les transformées successives de la fonction F (A, ^), suivant les formules du théorème P', et dans Tordre des modules décroissans, sont données par les formules

F(A;,^)=A*F(A,^f), F(A,4)=A«.F(A.,4.), F(^.,40=/«.F(Â.,4.),etc.,

où Ion a /*=-.g,f*,=:-.g-, /*. = -.g-,etc.

II en résulte les valeurs successives

¥(jc,<p)= . /*F(;i, 4)==i.|f(a, 4),

F(A,<p) = A*A*.iU.F(^.,4.) = jJ-|:F(;i.,4.), etc.

Donc on peut passer immédiatement du module k au module h^ , pris dans la série décroissante , par la formule

F(>fc/^)=]^.-r-F(*», 4-)-

On passera de même du module k au module k^^ pris dans la série croissante, par la formule

54. Dans le premier cas, l'amplitude 4» se déduit de l'amplitude précédente 4ii-i 9 suivant la même loi que «4/ se déduit de ^, c'est-à-dire par une équation qui exprime rationnellement sin 4 en fonction de sin <p , et sembla* blement sin 4» en fonction de sin 4»-i-

48 FONCnONS ELLIPTIQUES ,

Dans le second cas , qui s'applique aux modules croissans y Pamplitude f^ se déduira de la précédente (pm.19 en résolvant une équation du degré p. 11 y aurait donc autant d'équations de cette sorte à résoudre que d'unités dans m'y et , en outre , il faudrait à chaque opération calculer la série entière des quantités analogues à a,. Mais il s'agit ici de simples possibilités , et non de l'exécution effective de tant de calculs qui deviendraient bientôt impraticables, même pour d'assez petites valeurs de ;? et de m ; on a au moins l'avantage de pouvoir former a priori ^ et par des calculs rendus faciles par des transcendantes bien connues, l'équation qui fait passer directement du module k au module plus petit h^ , ou au module plus grand k^^ Quant aux amplitudes 4m ou (p., il sera toujours possible de les trouver par approximation, en supposant F (A;, (p) connu, puisque h^ devenant bientôt très petite ou même négligeable, F(As, 4^ se réduit à 4b i et que , d'autre part , k^ pouvant bientôt être confondu avec l'unité , F (A», <Pm) se réduira à log-tang (45* + -î ^„).

Les mêmes calculs que nous venons d'indiquer s'appliquent aux formules du théorème II, ainsi qu'on peut le voir par le tableau de l'art. 5i.

55. Revenons maintenant à l'équation j^ = /^ g^ j ou , plus généralement , aux équations

^ ,m-hi ^"» ^ « ' ^»

qui servent à passer, l'une du module k au module h^^ dans l'ordre décroissant, l'autre du module k au module k^^ dans l'ordre croissant. Supposons qu'étant donné k, on veuille calculer par ces formules les diflferens termes de l'échelle qui répond au nombre impair donné p.

Par la table des fonctions complètes (table i", tome 11), on connaîtra à la fois les logarithmes de K et de K' calculés avec douze décimales 3 ou

connaîtra donc le logarithme de |^, , et par suite celui de ^ . Lorsque h^ ne sera pas trop petit , on pourra trouver dans la table une valeur de h„ , qui corresponde à peu près au logarithme de ^ ; alors on trouvera aisément , par interpolation , une valeur fort approchée du module demandé h^. Il en sera de même des cas où l'on pourrait trouver dans la table un loga-

rithme peu différent de celui de ^ ; mais le plus souvent les limites de la table ne permettront pas de faire ces interpolations, et le calcul pour déter-

miner h^ ou k^ n'en deviendra que plus facile. En effet , la série h y ht, h^ , etc., décroissant d'une manière très rapide, on pourra bientôt supposer

H. = 7 TT et H'« = log -r- ; de sorte qu'on déterminera immédiatement le

module h^ par l'équation

log. £ = tW/?-^'.|- (0.43429...)?

dont le premier membre représente un logarithme vulgaire.

De même, à cause de la convergence très rapide de la suite ky k^^ k^j. • • vers la limite i, on aura bientôt, avec une exactitude suffisante,

K'. = i TT et K„ = log. hyp. f- -, ce qui donnera

log ;^ = ïTT/?- . g7 (0.43439. • .) ,

équation qui détermine le module k^y très peu différent de l'unité, par son complément k'^.

C'est ainsi qu'on pourra calculer, dans toute l'étendue qu'on voudra, l'échelle des modules qui résulte du module donné k et du nombre impair donné p y et il ne sera pas plus difficile de calculer le dixième ou le centième terme y avant ou après le module donné k , que tout autre terme voisin de k.

56. Si , après avoir formé l'échelle qui convient au module donné k et au nombre impair p , on forme une seconde échelle avec les complémens des termes de la première , placés au même rang , comme on le voit ici :

!).••• IC^ y tCf^ y fCi y fC y il y /<| , fl^ y fl^ .... ^O O ) •••• ^Sy^By'^l}"^^ '*9 /{|,/{g, /{j. ••• ^I

cette seconde suite sera l'échelle des modules qui, pour le même indice p, répondra au module k'j complément de k; elle sera seulement disposée dans un, ordre inverse, c'est-à-dire qu'elle sera croissante dans le sens où la première est décroissante, et réciproquement. Ainsi, l'échelle construite pour le module k &it connaître immédiatement Téchelle qui répond à son complément k'y l'indice p étant le même dans les deux cas. Nous avions déjà &it mention de cette propriété au n^ 76, tome P', pour l'ancienne échelle qui répond à je; = 2, et au n^ 189, ibid.y pour l'échelle qui répond à p ^ 3 -y mais on voit que cette propriété est générale pour toutes les échelles qui répondent à un nombre impair quelconque. En effet , de l'é-^

5o FONCTIONS ELLIPTIQUES ,

qualion ^=/?||7 , qui a lieu pour le module k^ on déduit immédiatemeDt

K' I H' l'équation |^ = -.=j-, qui se rapporte au module Ky en renversant l'ordre

des termes, ce qu'exprime le changement de p en -. Examinons mainte—

nant deux cas particuliers très remarquables.

57. Supposons premièrement A:=sin45®, on aura k^^k\ et par coa-

H' séquent p=^ ^.Or^p étant donné, il existe toujours une équation algébrique entre les deux termes consécutifs A; et ^ ; et si l'on met dans cette

équation la valeur k=^^j, on en tirera la valeur de h, qui satisfait à Té-

H' quation transcendante ^ = ==- , et qui peut être considérée comme une fonction de p^ algébriquement déterminable. Dans la même hypothèse, puisque k'=iky l'échelle des complëmens sera la même que celle des modules, mais dans un ordre inverse; d'où il suit que l'échelle, pour le nombre p , sera alors de la forme

i), . . . A'3, h\j À',, h\ sin 45% À, A| ^ h^y A3,.... (o

c'est-à-dire que les termes également éloignés du terme moyen sin 45* seront complémens l'un de l'autre ; tels sont h et h\ A, et h\ , etc.

58. Supposons, en second lieu , que dans la même équation algébrique dont on vient de parler on fasse A = A' = j/(i — A*); on en déduira une valeur de Ak, laquelle ne dépendra que du nombre p, qui est l'indice de l'échelle. Mais puisqu'on a, dans cette hypothèse, h:=:k'j on aura aussi h'z=sk; et par conséquent il y aura entre les fonctions complètes de semblables égalités ^ c'est-à-dire qu'on aura H = K' et H' = K j donc l'équation.. . •

K H , /KV K .

-,=;?-, donnera ^^,j =/;, ou ^,=^p.

Dans le premier cas , l'équation des modules nous a fourni la valeur

XJ

du module h, qui satisfait à l'équation transcendante |w=/;, en faisant

Dans le second cas, la même équation, dans laquelle on fait

h = |/(i — A:*), donnera la valeur du module A, qui satisfait à l'équa-

tion transcendante ^,=ï//?.

Mais si dans les deux échelles complémentaires du n" 56 ou fait h'z=zk ,

la partie croissante de l'échelle inférieure, savoir, A:, A',, A'., ^'3,

coïncidera avec la partie croissante de l'échelle supérieure , savoir ^ k ,

k^^ k^^ kf* . . ; et pareillement la partie décroissante de Tune coïncidera avec la partie décroissante de l'autre. Ces deux conditions, qui sont une conséquence l'une de l'autre, donnent k^z=zh\f k^=zh\j k^zz^h'^^ etc., et en même temps A', ^ A, , k! ^'='\^ k'^ = h^ , etc.

Il s'ensuit, par conséquent, que l'échelle des modules, dans le second cas^ est toujours de la forme

\ j • • m • IC^ , A/ji , •■'19 1^ ^ f^ ^ '^ X j "^ % y fC ^ ^ • • • • ( O

où l'on voit que les deux termes moyens k , k' sont complémens l'un de l'autre , et qu'il en est de même de deux autres termes également éloignés des termes moyens.

Cette échelle , qui a pour indice le nombre p , est telle , que deux termes consécutifs m et n satisfont toujours à l'équation transcendante

—7 = ;?—,. On a, en particulier, pour k et k' l'équation —^ = ;;=-, ou :g,=:^p ; pour kf et A',, l'équation jr^p-^' j ou gr= pv^pî pour k'i

et k\y l'équation "k^^^^P^ j ou =r-=:p*{/p,; et ainsi de suite.

59. Remarquons maintenapt que les deux échelles que nous venons de construire peuvent être réupies en une seule et même échelle, qui aura pour indice {/p i cette échelle unique sera composée des termes entrelacés des deux autres , comme il suit :

i).... A'., k^y A',, A,, h\ A:, sin 45% k\ h , k\ ^ h^, k\, h^ . ^. . {o

En effet, il est aisé de voir que, si m et n sont dieux termes consécutif de cette échelle, n étant K^nij on aura, entre les fonctions complètes corres*

pondantes, l'équation ^ =z^p.^,.

Car^ si m appartient à la série dont sin 4^^ est le terme moyeu , on

aura — , =^^, i étant positif ou négatif, selon que m est plus grand ou

plus petit que sin 45^; alors n appartiendra à l'autre série, dont k et k^ sont les termes moyens, et l'on aura

Le même résultat aura lieu si m appartient à la série dont ^ et kf sont les termes moyens, et n k l'autre série.

L'échelle unique que nous venons de former avec l'indice ^p jouit de la propriété que deux termes pris à ^ale distance du terme moyen sin 45""

52 FONCTIONS ELLIFIIQUES ,

sont toujours complémens l'un de l'autre ; elle jouit même de cette propriété d'mie manière exclusive : car on peut démontrer que ^ dans toute autre échelle , on ne trouvera jamais deux termes qui soient complémens Fuil de Pautre.

Une autre particularité attachée à cette échelle, est que l'équation trans-

cendante €i7= Vp f?' ' S"^ ^^ caractérise, ne parait pas susceptible d'être

représentée par une équation algébrique entre les deux termes consécutifs m et /z, quoique les deux échelles dont elle est composée^ l'une construite d'après le module sin 4 5*, l'autre d après le module ky déterminé en fonction de p^ appartiennent toutes deux à l'indice p^ et soient soumises, par conséquent, a la loi algébrique qui lie entre eux deux termes consécutifs.

6o. On a un exemple de l'échelle unique dont l'indice est ^p , pour le cas de ^ == 2 , qui est celui de l'ancienne échelle , dans la réunion des deux échelles formées n^ 77, tome I*', lesquelles donneraient, suivant les dénominations précédentes,

A/=v/a — I, A:=|/(2V^2 — 2), A=3 — 2|/2, A'=2(v/a — Ov/a.

Cette échelle satisfait à l'équation ^p =t/^*fj> \ ™^^s ^^ns ce cas , le plus

simple de tous, on ne voit pas quelle serait l'équation algébrique qui pourrait avoir lieu entre deux termes consécutif de l'échelle : on sait seulement que, pour les termes alternatifs tels que n et /i», /i, et /is^ on a

n = J^"* et /î, = -jx^' '^* ^'^'^ ^^^ ^^°^ /i = 4 (''O > 4 désignant une

fonction inconnue , il faudrait déterminer cette fonction de manière qu'elle satisfit à l'équation

-^{^Xf . / 2X^\

Un second exemple de l'échelle unique se trouve, pour le cas de ;?^3, dans la réunion des deux échelles données n**" 192 et 193 du tome 1" ; elles s'accordent avec la forme générale du n* 69, en faisant k = sinyS®,

A/ = sini5% y= , , ^3 ? ^= I 4. 1/3 ? ®t l'oii a généralement pour

deux termes consécutifs meX.n l'équation j^, = v/3. ^,. Cette échelle est

remarquable par ses trois termes moyens , qui sont sin 76** ; sin 45* , sin iS**.

Enfin , on peut donner un troisième exemple de Féchelle unique , pour le C9S de /? = 5 , en faisant A; = sin / et sin a^T = (3 sin i8^)^=|/5 — 2 ; d'où résultent les valeurs logaritluniques

k.... g.gpôgo 94449 6^ K,,.. 0.54714 87821 45 A'.... 9.07509 76386 26 R'. ... 0.19766 37799 76

Diff. . . 0.34948 5oo2i 69 = î log 5.

On a donc, en effet, ^/=v/5. Dans ce même cas, si l'on fait h=zsiny

et sin 25^ = (2 sin i8*)", on aura les valeurs logarithmiques

h..,. 7. 191 II 88449 17 H.... 0.19612 oi388 25 h'.... 9«99999 947^4 '^ H'.... 0.89509 oi43i 60

Diff... 9 .30 102 99956 65=log(o.2).

Donc =, = g; ce qui convient, en effet, soit à l'échelle dont l'indice est 5,

pour deux termes consécutifs sin 4^^ 6t A, soit pour les mêmes termes, à deux places de distance, dans l'échelle dont l'indice est t/5.

61 • Si l'on propose de trouver un module m tel, que la fonction complète M , qui lui correspond , soit à son complément M' dans le rapport de p k ij ou dans celui de \/p à i , de sorte qu'on ait

-p = ^ ou ^, = ^p , p étant un nombre quelconque entier ou rationnel y ce double problème se résoudra par les termes moyens de l'échelle construite pour l'indice ^p.

En effet, cette échelle étant ainsi désignée

l J • . • . A/^ , Kg , fCy Sin £^0 , AT , K i y A ^ , • • • • ^o

on aura -:=, = y^p et =f =s/^ : donc, dan&le premier cas, on aura mz^zk^^ et dans le second , mz=zk.

5 VIII. On prouve que le nombre des échelles et celui des transformations qui résultent des propositions précédentes , peuvent encore être augmentés à Vinfini.

62. On a vu que l'échelle ordinaire , ou ce que nous appelons Vaurcienne échelle des modules, correspond au nombre ^ = 2. Les échelles nouvelles peuvent être construites, à l'aide des deux théorèmes de M. Jacobi , pour tout nombre impair donné p \ mais nous considérerons seule-

54 FONCTIONS ELLIPTIQLES ,

ment les échelles qui se rapportent aax nombres premiers 3, 5, 7, etc. : et la combinaison de ces échelles avec Féchelle ancienne, dont l'indice est !2 , va nous fournir des résultats infiniment plus nombreux que tous ceux qde nous avons déjà obtenus. Nous allons prouver ^ en effet, qu'on peut construire une échelle particulière de modules , non - seulement pour tout nombre entier, mais même pour tout nombre rationnel proposé.

63. Supposons , par exemple , qu'on veuille former une échelle pour le nombre 3o = a . 3 • 5. Prenant toujours k pour le module donné , appelons h le module qui suit k dans l'échelle ancienne ou dans l'échelle n^ n ; prenons de même, dans l'échelle n* 3, les deux termes consécutifs h et y, et dans l'échelle n* 5 les deux f et g. Ces trois échelles seront indiquées partiellement, pour faire connaître l'ordre des termes, comme il suit :

Échelle n* :a , termes consécutif A , h. . .. (o

«•fi' /, g (o

D'après les propriétés des fonctions complètes correspondantes, on aura

Hl h h ^^^ Q F F f^Qf

il en résulte =v = 3oTr/« Ainsi, g sera le module qui doit suivre k dans l'échelle n** 3o , en cette sorte

Échelle n^ 3o ^ termes consécutifs k^ g. ... (o

Dans l'échelle n^ 2 , on connaît l'équation entre les modules k et h-^ cette équation est k = -"XI* ^^^ l'échelle n° 3 , l'équation entre les modules

A , / et leurs complémens k\ f est i/(A/) + VQ^f) = ^ 5 ^^ns l'échelle n* 5, on connaît l'équation entremet g", que nous donnerons ci-après. Au moyen de ces trois équations , on pourra former l'équation entre h et g\ ce sera l'équation des modules qui répond à l'équation transcendante ^/ = 3o^^ , et qui servira à calculer algébriquement tous les termes

de l'échelle dont l'indice est 3o.

On formera semblablement l'équation entre les sinus des amplitudes par la combinaison des trois équations analogues qui ont lieu dans chacune des échelles 2,3,5: c'est ce qu'il serait inutile d'expliquer ici ayee détail; car on voit bien qu'il s'agit de possibilités^ et non de calculs effectife.

64* Lorsque le nombre donné pour indice de l'échelle aura des fac* leurs égaux , on prendra , dans les échelles correspondantes , des termes non contigus, mais qui se suivent à la distance convenable. Soit proposé , par exemple , le nombre p = 36o = 2' • 3^ . 5 , on prendra , dans les échelles n^' a, 3 et 5, les termes K^ fi^ gj conmie il est ici indiqué :

Échelle n* 3, termes successifs A:, A, Zr, , A.. . . . (o

n* 3 K,J\fi (o

D'après la disposition de ces termes dans leurs échelles respectives^ on aura

ce qui donne =7 = 2^.3*.5 ^. Donc A: et g' sont deux termes consécutifs

dans l'échelle n° 36o.

Quant à l'équation entre les modules k et g^ qui permettra de calculer tous les termes de cette échelle, on la déduira des équations connues dans les échelles particulières entre A: et A., «ntre A^ eif^ , enfin , entre yj et g' j et l'on observera que l'équation entre k et A. doit être formée par la combinai* son des trois équations qui ont lieu entre A: et Â, entre  et A^ , enfin , entre A, et A»; que, de même, l'équation entre h^ qIJ\ résulte des équations entre /i. et^, puis entre / et f t. On formera semblablement les équations des amplitudes. Toutes ces opérations deviennent très compliquées, à mesure que les nombres augmentent 3 mais elles peuvent s'exécuter algébriquement dans tous les cas. D'ailleurs , si l'on ne veut que des approximations, les modules sont toujours toiles à calculer par l'équation trans-

cendante ^, ^ /? ^ , quelque grand que soit le nombre p.

65. On doit voir maintenant qu'il est facile de former une échelle qui réponde à tout nombre rationnel proposé.

Soit , par exemple , /? = | ; on considérera , dans l'échelle n^ 3 , les deux termes consécutifs A: et A, et dans l'échelle n^ 2, les deux y et hy comme il suit :

Echelle n** 3 , termes consécutifs A: , A. . . . (o '

n* 2 fyh..,.(o

il en résulte les équations ^ = 3g7, 'P^^^W ^^°^ k' ^^^ ■ *F ^ ^^^^

k et / sont deux termes consécutif dans l'échelle dont l'indice est -f , en cette sorte

Échelle | , termes consécutifs A: ,/.... (o

Quant à l'équation entre k et /y elle se formera de l'équation entre k et h , laquelle est y^{kh) + ^{kfh') = i , et de l'équation entre / et h ,

savoir, /=:^, ou/'=^,^; d'où A=J-^ et h'=^^. On aura

donc pour l'équation cherchée

66. Soit k = A/=t/7 ; si l'on fait A = sin € , l'équation \/sin € -f- Vcosfi

=t/2 donnera sin :2€=:(2 — |/3)* s= (asin i5*)*, 26 = 4* ?' ''V^çgSS ,

€ = 2* 3' 3o",94969 , /= rïl = tang* (45^ - i €) = sin 68%536o67a9,

/* = sin 21^,4^393271. D'après ces valeurs de y et àe f , on trouve pour les fonctions complètes F et F les valeurs logarithmiques

Diff. • • • o. 17609 12600 = log |.

Donc on a ^/^ i«p« La valeur de/* appartient à l'une des deux échelles

I qui composent l'échelle unique y^f.

67. Pour avoir l'autre échelle, soit As=:/', et, par conséquent, V z=zf'^

l'équation à résoudre sera \/\ i-îTib J "'" v L iTT^J ^^ ^' ^** — ^-7=jc*, on aura a:+ V'2ar=i; d'où ^x = ^ ~ ' , jï:=2— -j/S et A = T'/'j^ ' c'est le module qui satisfait à l'équation transcendante

^ = v/|. On trouve log A = 9.92584 76645; ce qui s'accorde avec la

solution que nous avons donnée du même cas (n* 197, tome I"). D'après ces deux déterminations, les cinq termes moyens de l'échelle j/| seront/*', A:, sin 45*, A:', /.

68. Soit proposé de former l'échelle qui a pour indice -^ = -4-. On prendra dans l'échelle n^ 2 , les trois termes consécutifs A , A , A. ; dans

Féchelle n^ 3 , les deux A, , f^ et dans l'échelle n** 5 , les deux g , f^ comme on le voit ici :

Echelle n* 2, termes consécutif.. . , k ^ h^ h^. . . . (o

et , par la propriété de ces échelles, on aura

Ainsi , A: et g" seront les deux modules consécutifs dans l'échelle ^. L'équation entre A: et g" se trouvera par la combinaison de l'équation entre A: et A, , dans l'échelle n* a , de l'équation entre A, et f, dans l'échelle n* 3 , et de l'équation entre g et f^ dans l'échelle n* 5. Si , en même temps, on détermine k de manière qu'on ait A = g^, k! i=i g ^ on aura

^ = l/-^, et l'échelle qui en résultera sera l'une des deux qui composent l'échelle unique pour le cas de /? = -^ , c'est-à-dire l'échelle dont deux termes consécutifs m, n satisfont à l'équation ^, z=z^p,=^,.

69. En général , quel que soit le nombre p , entier ou fractionnaire , on pourra toujours construire, d'après le module donné A:, une échelle qui réponde au nombre p , et obtenir une équation algébrique entre deux termes consécutifs A: et A de cette échelle.

De cette équation on pourra toujours déduire deux échelles [particulières, l'une pour le module A: = sin45*», l'autre, en déterminant A: et h d'après la condition kz=zh' ou k':=:h. Ces deux échelles, réunies par une sorte d'intercalation , formeront une échelle unique qui aura pour indice ^p , et qui , pour deux termes consécutifs m et /z , satisfera , en général , à

l'équation =^,z=:y^p.=^,. Cette échelle aura la propriété que deux termes

quelconques également éloignés du terme moyen sin 4^'' seront complémens Fun de l'autre 3 de sorte que toute fonction dont le module m sera compris dans l'échelle imique, pourra être transformée en une autre dont le module sera iti', complément de m.

Nous avons, dans un autre temps, avancé que les exemples d'une fonction dont le module peut être changé en module complémentaire , étaient très rares ; maintenant que la théorie des fonctions elliptiques a reçu de grands accroissemens, on voit que cette propriété a lieu pour tous les modules compris dans l'échelle qui a pour indice V/? , p étant un nombre

quelcoDque , entier ou fractioDnaire ; et les exemples connus viennent se ranger, comme cas particuliers, dans cette classification infiniment étendue.

70. Si l'on considère enfin que, pour former l'équation entre les sinus des amplitudes ou entre leurs tangentes , on a la &culté , pour chaque facteur premier dont le nombre p est composé , soit multiplicateur , soit diviseur , de choisir entre les deux équations des amplitudes fournies par les deux théorèmes, et qu'ainsi le nombre des combinaisons qui produisent le résultat 'final est en général a*, m étant le nombre des fiicteurs premiers inégaux qui sont multiplicateurs ou diviseurs du nombre Py oa devra en conclure que le nombre des transformations dont une même fonction de première espèce est susceptible, s'agrandit sous tant de rap<* ports, qu'il surpasse tout ce qu'on peut imaginer, et se place dans les infinis de l'ordi^ le plus élevé. C'est donc à juste titre que cette fonction a été qualifiée de protée analytique; l'analyse n'a jamais montré autant de fécondité que dans l'objet particulier qui concerne la multiplicité de toutes ces formes.

Au reste , parmi les 2"* combinaisons dont nous avons dit qu'est susceptible l'équation des amplitudes , il n'y en a qu'une seule dans laquelle la formule finale de réduction F (A: , ^)=:AF(c , 0-) soit telle, qu'on puisse exprimer rationnellement sin cr par sin 9, ou tang cr par tang ^.

On peut ton jours supposer ^ > I , car l'écheUe - revient à l'échelle p prise dans un ordre inverse.

Cda posé, I*. si ;i est de la forme Hr, f?' et ;?' étant impairs, on pourra exprimer rationnellement tang cr par tang (p.

a*. Si /? est de la forme ^^ , on pourra exprimer rationnellement sin 7-

par sin (p.

3*. Enfin, si 2 n'entre ni comme multiplicateur ni comme diviseur dans le nombre p entier ou fractionnaire, on pourra exprimer tout-à-lafois sin cr par sin ^ , et tang cr par tang (p ; c'est ce qui résulte immédiatement des n^ 4' ^ 4^*

^i. Nous remarquerons encore que, quoique chaque échelle de modules soit composée d'une infinité de termes , algébriquement déterminables entre les limites zéro et i , cependant , si l'indice p , entier ou fractionnaire, surpasse le nombre 3, il n'y aura jamais à considérer qu'un très petit nombre de termes de l'échelle, quatre ou cinq au plus, qui peuvent donner lieu aux transformations de la fonction donnée, les autres termes

PREMIER SUPPLÉMENT. 5g

échappant en quelque sorte au domaine des calculs usuels par leur extrême petitesse ou leur extrême proximité de la limite i. En effet, il résulte de la

formule g, =:p g; , que lorsque le terme k peut déjà être considéré commie

très petit, auquel cas le terme suivant h est beaucoup plus petit, celui-ci se détermine par l'équation

—^ =p.^ /" (no 48, tome I-) ;

d'où Ton Ère 7 = (7 Y ('+7**)' ^^^^^ formule fait voir que, lorsque p

surpasse 3 , la décroissement des termes de Péchelle sera extrêmement rapide, puisqu'on a, par exemple, pour le cas de ^ = 5 ,

hd)'(-+i**>

Dans le sens contraire, les termes ne s'approchent pas moins rapidement de la limite i ; car si k est un terme déjà très peu différent de i , en sorte que son complément h' soit ti;iès petit, le terme suivant A, dans l'ordre croissant , aura un complément beaucoup plus petit k!y qu^on déterminera semblablement par la formule

Les mêmes formules font voir qu'il n'en serait pas de même si l'indice p était peu différent de l'unité, si Ton avait, par exemple, ^=| ou ^sjf; alors l'échelle des modules aurait une marche beaucoup plus lente, et l'on pourrait obtenir un grand nombre de transformatioDs , sans trop s'approcher des limites de l'échelle.

§ IX. JDe la transformation des fonctions elliptiques de la

seconde espèce.

72. Toute fonction donnée de seconde espèce £(A:, ç) peut être transformée dans les mêmes cas, et d'une manière aussi génémle, que la fonction de première espèce F (A: , f ) , et la formule de transformation pour passer du module k au module plus petit h sera , en général , comme dans les deux premières échelles, de la forme

6o FONCTIONS ELLIPTIQUES ,

ûL et € étant des coefliciens constans, et Y une quantité purement algébrique. On doit prévoir que le calcul de la quantité Y deviendra de plus en plus compliqué 9 à mesure que le nombre p sera plus grand; mais cette quantité disparait lorsqu'il s'agit de la fonction complète, et alors la transformation de la fonction E^k peut être faite généralement par une formule très simple.

Pour parvenir à ce résultat , il serait naturel de cliercher directement la valeur de l'intégrale /Vf4k^(i — A*sin*\|/), en y substituant la valeur de sin *>)., en fonction de sin ^, donnée par la formule du théorème V' ; alors on aurait à intégrer la différentielle

d^ . ^ J / i — k* ain^ç sin* <t, y / 1 — ib* sin* ^ siii*<t3 \ * /i — it"sin"^sin»«^^\*

Mais cette intégration peut présenter des difficultés, au moins par la prolixité des calculs , et il y a un moyen beaucoup plus simple de

parvenir au résultat ; ce moyen consiste à différencier l'équation

F (A, (p) = /i¥{hy 4)> P®^ rapport à A:, en regardant (p comme constante.

73. U Êiut d'abord , pour cet objet , trouver le rapport jj , en différen-

ciant l'équation des modules g> ^/^ g>-

Parla formule du n** 4^? ^^"^^ ^^'9 appliquée aux quantités K = F"A et K' = F"Â/, on a , en observant que dk'=z p- ,

dK = ^. (E>A - /^^F^k) ,

kk'

donc

K'dfL — KdK'= ^.{E'AF'/f + E'^F'* — F'A:F'A') = î^.

Par la même raison ,

U'dn — UdH' = ?^ ;

donc l'équation k'^^/^îT > ^^^^^ différenciée, donnera

AlÉL— >^^

et par conséquent ,

dh i hh^ hh'^W i hhf^ dk~' p' kk'^K'^ '^P' kk'^K^ ~' Pf'"' ^*'*'

PREMIER SUPPLÉMENT. 6i

74. Maintenant, il faut différencier l'équation F(A:, ^)=/tF(A, «4/), en faisant varier A: et A, et regardant ^ comme constante , mais non pas %{/, parce que l'expression de sin 4» par sin ^ contient les quantités et qui dépendent de A: , en vertu de l'équation F (k , a„) = — K. Quant au coeffi-

cient /J, y on peut le mettre sous la forme -^ ; mais nous le laisserons tel

qu'il est , parce que y dans les applications , il est lié aux modules k et

h par des équations algébriques qui donnent aisément la valeur de ^.

On appliquera d'ailleurs aux fonctions F (A:, <p)j F(Â, %[/) la formule générale de l'article cité , où l'on fait varier seulement le module

dF{c, ç) J. /p Â.i7\ f. sJP^cos^

on aura ainsi l'équation différentielle

dhr' \ p ,, I V 1-17/1 I \ h sin >|/ CCS 4 H

+ 5ftF(*' 4)+ |/(, A» «n« 4') ' rf5i'

Substituant la valeur de jt , et tirant de cette équation la valeur de E(A;, ^), exprimée par le moyen de £(A, 4) ^^ F(^) 4)» ^'^ ^^'^

(54) E(A,<p)=^E(A,>I,)+(^A:'*-^;i"+AA"|)F(A, 4H-V,

y étant une quantité algébrique ainsi composée

TT h^ sin y cos ^ i A*sin4co84^ ^^ fikh!^ d\f

~ V/(i— it«8in^ "" j^ ' ^7(r=rÀ^i^) "*" v/(i — A*sin*rl.) * ^*

75. Si l'on eût soumis à de semblables opérations la formule du théorème II, F (A, ->(,)=: jLt'F (Â: , cù)y on en aurait tiré le résultat

|e(a, «)=iE(A,4)+(Ç-^*-*^;^,) F(;i, 4)+ v,

^ ^1 ^, &*sin«»cos«» • A* sin 4 co» 4^ ^^'* ^

Il suit de ces deux formules, que p^{k, ^) — E(A, (ù) est égale à la quantité algébrique p\ — V; ce qui est conforme à la nature des fonctions Ë (n* 35, tome 1*'), puisqu'on a, dans le cas présent,

On obtient ainsi une nouvelle vénfication assez remarquable des formules de nos deux théorèmes , et Ton voit eu uiâme temps que ces deux théorèmes conduisent au même résultat dans le problème de la transformation des fonctions de seconde espèce.

76. Si Ton fait dans la première formule ^ = j9r et •>J/=/7.J-^, ou dans la seconde , » = 1 9r et Ap = ~ ^ , les quantités algébriques disparaissant y on aura la valeur de la fonction complète , comme il suit :

(56) E'(A:)=iE'AH-(p|uA'--^*H-MA'-S)F'A-

Dans cette formule, la fonction E^k est transformée en une autre E'A d'un module plus petit. On peut tirer de la même formule la valeur de E'A, exprimée par E'A: et F'A; mais cet objet sera mieux rempli par l'autre formule, où les quantités jj/, k se déterminent directement en fonctions de h' ou de A, au moyen des auxiliaires S. On aura donc, pour passer du module h au module plus grand k pris dans l'écheUe construite pour l'indice p , cette formule

(57) E' A = ;^E** -h (f^'A'* — ii^* + AA'» ^) F' A.

77. Il résulte de ces formules que les fonctions elliptiques de seconde es* pèce sont susceptibles d^être transformées d'autant de manières et dans les mêmes cas que les fonctions de première espèce ; mais les formules de tiuiaformation sont compliquées d'une quantité algébrique, qui est en général difficile à déterminer : cette quantité disparaît lorsqu'il s'agit des fonctions complètes , et alors les résultats sont exprimés , comme on l'a vu , par des formules très simples.

Toute échelle de modules dont l'indice p est entier ou fractionnaire ofiTre le moyen de transformer la fonction donnée £(A:, ^) , de manière que son module k soit remplacé successivement par tous les termes de l'échelle qui s'étend à l'infini , tant pour parvenir à la limite zéro que pour parvenir à la limite i ; mais on doit distinguer particulièrement Téchelle unique ^p , formée de la réunion de deux échelles qui ont pour indice /?, et dont nous avons donné la construction. La propriété principale de cette échelle étant que les termes également éloignés du terme moyen sin 4^*' sont complé* mens l'un de l'autre^ si deux termes de cette sorte sont désignés par m et m'y on pourra transformer tout-à-la-fois la fonction F(/7i, p) eu F(ot', %P) , et la fonction E(m, ç) en E(m', 4) et F(i»', 4), par des équations de

la forme

F(m, (p) = aF(iii', 4.),

E(/ii, p) = ÔE« 4) + cF(m', 4.) + V,

où a, i, c sont des constantes, et Y une quantité algébrique qui dépend des amplitudes ^ et 4-

Dans le cas des fonctions complètes , on aura simplement F'/ti = eF'm' et E'm=yE'/?i'+g^F*m', ^yf^g étant des constantes multiples ou sousmultiples àe ay b^ C'y d'un autre côté, on a l'équation des fonctions complémentaires E^mY^m' + E*n/F*m — F*/aF*i»' zs j^tc. On pourra donc exprimer les fonctions complètes de seconde espèce Ë'/n , £'/ii% par les fonctions complètes de première espèce F'/a, F'/»', ou seulement par l'une d'elles.

Mous avons donné plusieurs exemples de ces réductions dans notre Traité des Fonctions elliptiques ; mais ce n'est qu'après avoir découvert l'échelle unique \/py où p désigne un nombre quelconque entier ou seulement rationnel, que la proposition générale qui renferme tous les cas partîcuU#r^ pouvait être établie, comme nous venons de le Ëdre.

78. Les transformations dont les fonctions de preaûère et de seconde espèce sont susceptibles ne s'étendent point aux fonctions de troisième espèce; car on a déjà VU| dans le chap* XXXI, tome P', que pour l'échelle n® 3 , qui est la plus simple après l'ancienne échdle , l'application des formules de transformation à une fonction de troisième espèce, donnerait des résultats successifs, dont la complication augmenterait continuellement , et qui ne pourraient être d'aucune utilité. Il n'y a donc que les formules de l'ancienne échelle qui s'iqppliquent avec succès aux fonctions de troisième espèce, et qui peuvent produire des résultats utiles , surtout pour obtenir des valeurs approdiées de ces fonctions.

§ X. X)6 P équation d^ërentielle gui a lieu entre deux termes

consécutifs dune même échelle de modules.

79. Mous avons vu que l'équation transcendante ff^=^Pjp supplée , dans

beaucoup de eas, à l'équation algébrique qui existe toujours entre deux termes consécutifs A: et A d'une même échelle dont l'indice est py équation dont la recherche est difficile, même pour d'assez petites valeurs du nombre p entier ou fractionnaire. Nous allons voir qu'en disant disparaître les transcendantes de cette équelion , on parvient à une équation

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-lî.. :*î-. — â*^.

Î ddq ^ dy* . W — i dq qdk* y'rfî»"'" AA'» ' dk ^ï \ A«A'+ ) \ k'W)' ■

Substituant enfin les valeurs de ^ et -^ dans le coeflScient de K , qui doit se réduire à zéro, on aura

2qddq Zdq- (» + ^')- . (' +^)% >

ou , en remettant la valeur y =: ^ (*) ,

(58) 0= 4*.g 3(^:)+(i±|)- Q'(i±jy(S)-.

8o. Cette équation différentielle du 3" ordre^ entre les deux modules A: et A, a lieu pour toute valeur de ^, non-seulement entière ou rationnelle , comme l'exigent les échelles qu'on peut construire algébriquement, mais même irrationnelle \ elle doit donc être satisfaite par toutes les équations algébriques qui ont lieu pour une valeur déterminée de p^ entière ou rationnelle, entre deux modules consécutîË, qui se substituent l'un à l'autre dans la transformation de toute fonction elliptique de première espèce.

Ainsi, elle sera satisfaite, dans le cas de ^=::i, par l'équation A:s=-^t; dans le cas de /?=3, par l'équation {Jâif + (A:'A')*=i j dans le cas de /?=5, par 1 équation ( -7 r 1 = TZTî • r+Â ' ^^^'

Et, parce que ces équations deviennent de plus en plus compliquées , à mesure que p augmente, et qu'il parait comme impossible d'en trouver l'expression générale pour toute valeur de^, on conçoit qu'il n'est guère probable qu'on puisse intégrer complètement l'équation différentielle à laquelle nous sommes parvenus. Dès lors, on doit regarder comme un résultat digne de remarque que nous connaissioDs au moins une intégrale

particulière de cette équation sous la forme transcendante ^ := ^ =r7 ;

(*) Cette équation différentielle et son intégrale complète, qu'on Tcrra ci-* après, ont été données sans démonstration 'par M. Jacobi, daBS le tome Ht du Journal de M. Crelle^ page 194*

mais on peut parvenir à un résultat beaucoup plus général en observant, que le calcul qui a été fait pour éliminer K et H de l'équation

H* kk'^ dh

;? ^ = ^T = -rpi . ji , suppose R et H déterminés chacun par l'équation

différentielle qui lui est propre. Or, d'après ce que nous avons démontré ( n° 4? > ^ome I*' ) , on peut mettre «K + «'R' à la place de K , et ÇBl -{- ^'H' à la place de H , sans que les équations différentielles dont il s'agit cessent d'avoir lieu ; donc notre équation différentielle du troisième ordre est satisfaite par l'équation transcendante beaucoup plus générale

V^9> F ■" nH + /l'H'*

En effet y par cette équation , on aurait d'abord

ff (ffl — HdW ^dh ke^ (mH + iw^HQ*

et en comparant ce résultat à celui que nous avons trouvé par la simple sup-

position K' ^^ ^ ÏF > savoir ,

dh kk* H' dk • hh'^^PÉ^^

nous voyons que, comme on peut faire abstraction des facteurs constans qui disparaissent dans le résultat, la seule différence que peut présenter l'élimination de H, K, H', K', dans les deux hypothèses, consiste à substituer dans le calcul que nous avons fait mH -f- ^'ti! à H. Or, l'équation différentielle du second ordre qui détermine H étant telle qu'elle reste la même en substituant /tiH -{~ '^'H' à H, il est évident qu'on aura pour résultat la même équation différentielle du troisième ordre que nous avons trouvée entre k et h'y donc cette équation a généralement pour intégrale l'équation transcendante

K'~" /iH + »'H' »

où il y a trois constantes arbitraires — , — ^ — > et qui en est par consé-

quent l'intégrale complète.

En cela nous trouvons un nouvel exemple de l'utilité des fonctions elliptiques pour faire découvrir, en certains cas, des intégrales cjui seraient tout-à-fait inaccessibles aux méthodes vulgaires.

8i. Nous remarquerons, en finissant, que les termes A: et A, que nous

avons supposés se suivre immédiatement dans l'échelle dont l'indice est p ^ pourraient représenter deux termes quelconques de cette éclielle , pourvu que p fut remplacé par fT^ m positif exprimant le rang de h^ après k^ dans l'échelle;?) suivant l'ordre décroissant , et m négatif désignant de même le rang de h y avant k^ dans l'ordre croissant; car, dans le premier cas , on a

=7 = p^Wf y ^^ dans le second , => = p^^ 57 : et si l'on considère les choses

d'une autre manière, le terme h^ qui est placé à m termes de distance du terme k dans l'échelle p , suivrait immédiatement k dans l'échelle dont l'indice est p^. C'est ainsi que l'échelle dont l'indice est p peut être censée composée de deux échelles dont l'indice est ;?*, de trois dont l'indice est p^y etc. j et c'est aussi par cette raison qu'on a vu que l'échelle unique,

dont l'indice est s/p^ se compose de deux échelles dont l'indice est p.

§ XL Application des deux théorèmes généraux au cas

de p = 3.

82. Soient et, et ct^ les amplitudes qui^ pour le module donné k^ satisfont aux équations F(A:, a,) = ^F'A:, F (A: , a^z=s^ F'A:, amplitudes qui se trouvent assez facilement par les formules du n^ 2^^ tome V*. Soient sin ^=zx et sin «4/=^, les formules du théorème 1*', pour le cas de ps=:3, seront

F(A:,ip) = A*F(A, 4),

X sin' «a

^__^ X sin- «a

•^ ^ • I— *V sin* «, '

.1 -.VV f

On aura ensuite, entre les constantes k ^ h^ {jl ^ tt^^ a^y diverses équations, dont les principales sont :

i sin* il, 1 2 i. 1^ ' £

^ sm' il. ' A» sin il, '

h . h' C08*il„

•r- = 2 8ma,— I, 17- = p-#

kf€ * ^A« ces* il*

Celles-ci suffisent pour faire connaître les valeurs de A', h'% f^, A/% etc. , ex<primées en fonctions de ft, comme il suit :

68 FOXrriOKS ELLIPTIQUES,

De ces équations on déduit encore 3/t ^ i «f- 3 i /j- et - = 3 »/ -r — * ?

d'où il suit que l'équation entre les modules h ci h peut se mettre sous la forme

et ^ l'ou &it A: = 11^, A = i^ , elle deviendra (63) 2iip(i — tt*i^') = tt^ — i^^.

83. Au moyen des valeurs précédentes de Ar, sin <e, et cos a^j les équations des amplitudes pourront être exprimées par la seule donnée fx , comme il suit :

^ ^ 4a> — (i + ^yx-

(64) ^ (.-r)'= (. - '^)--4,-rr,.^;;-^^ig:^,p.

11 faut se rappeler d'ailleurs que le coefficient ft est toujours compris entre I et j, comme on le voit par les équations (62).

84- Par la 3* des équations (64) , on peut mettre l'équation difTérentielle ^^ . — T- = -77 ^ . , T sous cette forme

(i+^)(3^ — i) . , I — i — *^^-^ ^ sm*^

ou

d^'-^dip 2^