SB
Maintenant nous ayons les quatre fonctions
Soi FONCtiONS ULtRA-ELLlPtïQtES ,
4'a = 0.71684 18735 &g^, 4^ = 0.87420 44824 565, 4t == o.5oi5i 9035e 614, 4'i =5 0.95885 14594 40,
au moyen desquelles on composera la somme
Le sccoacï membre est a très peu près la valeur connue de la constante 4i + î 4' i > ^*°si Ton aura exactement l'équàïîoh
2i}Q. Venons maintenant au système le plus simple de tous ^ celai de ft = 5 ; alors on devra supposer constantes les fonctions Ar et 6^x, ce qui donnera à 1 équation (2) la forme suivante ,
cil -^ 3C "4" ûC* I
où l'on voit que le terme x^ devant être le même dans lés deux membres, il faudra faire rz = 1 ; ainsi il ne restera plus a déterminer que le coefficient c. Pour cela, il f;iut Supposer qu'un terme de la Mile Ar'„ jc,, ar,, est donné et désigné par ^, et que les deux autres sont le^ racines de Téquatiori x^ — i)X + q = o. Ainsi le premier membre de l'équation (D') devra être identique avec le produit développé (x — f){x^'^px + ^), ce qui donnera les équations de condition
q+pt = -c{--^ (^->
qt î^ 1 — c\
On en déduit d'abord la valeur de c en fonction de t, savoir,
Cotte équation, où Ton considère c comme Tordonhée qui i^pond à Tabscisse t est celle de la courbe tracée dans la fig. 4^ ^ l'instar de celles qu'on a déjà construites pour les cas de fc ==5 et fc s 4*
TROISIÈME SUPPLI^MENT. 3o5
Si Ton prend dans le sen$ des abscisses positives ÂB = i et dans le sens des ordonnées positives ka = i ^ la courbe passera par les deux points B et a. Si ensuite pn prend 4B = AC=='7z -r- i, et que par l^s points C et D ainsi déjbsrmmés on tire la droite indéfini^ FDCI)^ cette droite sera une asymptote vers laquelle convergeront de chaque côte les deux branches MBG , Mm^ , dans lesquelles il Êiut remarquer particulièrement le point M où Fordonnée est un maximum ^ et le point K, où elle est un minimum^ les abscisses de ces points étant à peu près ^ = 0.29885 et t=, — 0.89647.
La courbe dont nous venons de déterminer les points principaux , et une courbe de même nature quW décrirait par l'équation* (So), en changeant le signe de m, sppt destinée^ .^ représenter tp9t.cs les sol^|JLOns réelles dont l'équation (5) est susceptible dans le système de /4;=:;;3.
En effet, si Ion prend à volonté uqe valeur de l'ordonnée c comprise entre le minimum Kk et le mcucif^um Mm, |a droite PQR parallèle à Taxe , menée à la distance c ^ rencontrera la courbe en trois points P, Qy R; si la distance c est moindre que Aa=i, les abscisses de ces trois points seront l'une positives , t = ci , les deux autres négatives , / = — € , t = — y, et l'équation des fonctions sera
^fy + 4'C — 4a == C.
Si la distance c est plus grande que An, il y aura toujours trois in-^ tersections; mais deux seront dans le sens positif t=: a, tzs^S, et une dans le sens négatif, où l'on aura ^ = — y; alors on aura l'équation
L'étendue des solutions réelles dépend , ^comme on voit» de la position des points M et K ; c'e^t pourauoi il importe de déterminer ces points avec
toute la précision qépe^^rê. E^t d'^l^^^ )d^ yert^ ^ 1^ condition j- ===0,
commune aux deux points M etK, on aura j'écpation
dont une racine positiye donnera l'abscisse du po^nt M , et une racine négative celle du point K. Mais comme on a plusieurs élémenp à déterr miner dans chaque cas^ il convient de conjjidérer ';l^s choses sous un autre point de vue.
L'équation entre t ^t c^ qui n'est autre fhose que Téquation (3o), peut se mettre sous la for^^e
5o4 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,
Appelons a l'abscisse du point M, et — - (? celle du point U, situé sur la même parallèle à l'axe que le point IVI; cette équation devra être identique avec l'équation o = (^ — a)* (t + S); ainsi on aura ces trois équations pour déterminer c, a, €,
€ — 2Ct =: — ^^— + c = A,
2CLh — a* = c H zss B,
Soo. Supposons, pour première hypothèse, €=1.21910 2 y on trouvera
et comme les deux premières équations donnent
on en lire
On a ensuite la troisième équation a*€ = c — 1, qui donne une seconde valeur de € que nous désignerons par C, savoir :
Il en résulte la différence ê' — € =. 0.00000 04696 706 , quil £int faire disparaître par une nouvelle hypothèse. Mettons pour cet effet c (^i ^ co) k la place de c, nous aurons les incrémens
tPA z=z ccû := û) (1.31910 3),
cTB =^^c« = «(0.75544 64717),
/C = Cû> = û) (1.31910 3); d'où résulte
J'S — scTa = û> (1.31910 3), (3^ — 2ct)J'a+2adS = 61(0.75544 647i7)f
/a = û) (0.00408 3i5), cTÇ = û) (1.33736 4^)0
TROISIÈME SUPPLÉMENT. 5o5
La valeur de € est donc € ^ eù(i .22726 4^).
Mais en faisant varier a^ é^ et C dans Téquation a^C = C, on en tire une nouvelle valeur de € que nous désignerons par C, savoir :
OU
Egalant cette valeur à la valeur ff + »(i .22726 43), on aura pour déterminer ai l'équation
o ^ o.ooooo 04696 706 + û»(i2.265]8 97);
d'où résulte
ft> = — . o.ooooo oo382 93;
donc les valeurs corrigées de c, ot e1 6 , sont
tf = 0.29985 36430 323, log-a = 9.47690 93296 094,
€ = 2-43684 32281 254, logf = 0.38682 75901 818.
Il faut maintenant calculer les valeurs des fonctions 4^ ^^ '^'^*
Calcul de 4* P^f" l^ formule (12).
Calcul de '^'€ par la formule (16).
^, 2) — 23 533oo 090
TOKB III. 39
5o6 FONCTIONS ULTRA-EIXIPTIQUES ,
là. ... 8.o6586 ao490 91 3) 11609 ^7°
