oo

*:^ JT7-1 TT 5) 595 08922 68

6) 5.98741 or)3i4 6 7) a 83821 16 9.56429 9005 I 4 8) 85778 75 9.90133 53594 9) 26582 64

7) 5.45304 4:745 o »«) 8598 46 9.56429 ç)Oo3i4 »0 ^69458

^— ^ i3) etc. 427 63

Calcul rfe 4^ p^^ la formule (i 3 ).

ff 9.94980 66258 228 5.5o383 08660

5) 7.86()35 92806 i3 12) etc. 4.06732 34.

4) 7.55264 27474 55 2) 5ioi 65582 97 9.64257 47208 76 5) 755 12177 24 9.86-57 91553 6 4) 2i5 101 i5 71

n sait de ces calculs qu'on a

4^ ^0.94715 5i852 95 a^'et = 1. 72198 53126 96

a-^'ct — 4^ =^ o« 774^4 81274 01.

3io FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,

Comparant le second membre à la constante connue

j'^'^ = 0.77484 8i388 755, on voit que la différence n*estque dune unité décimale du huitième ordre, degré de précision qui n*auràit pu être passé qu'en calculant un plus grand nombre de termes des formules (i5) et (i4)* Ainsi l'on doit regarder comme suffisamment établie l'équation

2>|/'a — •vj^b = j *>[.' ^.

3o2. Si nous revenons maintenant à l'art. 299, nous Toyons que toute parallèle à l'axe 9 telle que PQR, menée à une distance c plus petite que Aaz=z I , donne lieu à trois intersections^ dont deux dans le sens négatif et une dans le âeiis positif, lesquelles satisferont en général à l'équation

En effet, cette équation , appliquée à la parallèle qui passé par le point K, se réduit à l'équation précédente 2N[/'a — 4^= l-^'i* Si la parallèle passe par le point a, on aura € = 0, et l'équation des fonctions sera simplement

En effet > dans le cas de ^ = o ou e s= i , on a ( article 298 ) p:=z — i — (^— -^) = — (^~) ' 9 = — C'" — 0* «* réquation à résoudre est x* -| x — m + i = o , d'où l'on déduit les deux va-

la

leurs a: = a> x = — >, savoir: x = qp (—4-^) + Jv^(ï8m — lo)-

Ces valeui^s sont comprises dans le tableau de l'art. 264 f où Ton trouve l'équation 4'> — 4^ = 1 4''5 conforme au insultât précédent.

Enfin , lorsque la parallèle PQR s'élève au-dessus du point A , on a deux abscisses positives a: = et , a: = ff , et une abscisse négative ar = — ^, lesquelles donnent l'équation des fonctions 4 V "^ 4^ — 4* = • 4'i 9 ®^ation qui, au point du maximum M, devient 4V — 24*=^ï4'i#<^™'ûc nous l'avons trouvée sous une autre dénomination.

Il suit de tout cela que la même constante C^ = |4'^ règne dans toute l'étendue de la zone comprise entre les deux parallèles à Taxe qui passent par les points M et K du maximum et du minimum, mais que l'équation des fonctions stibit une légère modification dans le signe d'un de ses termes quand la parallèle passe de la région supérieure de la zone à la partie inférieure.

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 5i i

§ X. Formules pour la comparaison des marnes transcendantes^ dans les systèmes de /^ = 6 et f^ ^= 'j. Autres formules ré-sultan t d'une seconde manière de partager (pjc en d^ujc facteurs.

3p5. Jusqu'ici nous avons développé quelques-unes des formules relatives à la comparaison des fonctions 4-^ dans les systèmes de /4 = 3, jL6 = 4 et /u = 5 ; ces recherches peuvent être continuées à l'infini , mais nous nous bornerons à établir les formules qui se rapportent aux systèmes de ft = 6 et ^c = 7 , et nous considérerons particulièrement , comme nous l'avons fait jusqu'ici, le cas le plus simple ^ c'est-à-dire celui où il n'y a que trois transcendantes comprises dans le premier membre de l'équation (3).

Supposons d'abord qu'on ait /t* = 6 , c'est-à-dire que chaque membre de réqùation (2) soit un polynôme en x du sixième degré; il faudra prendre

fl,x=:a + a.^r , ^,:r =(1 — x) U — x. ^ ~ ' + a^\

et l'équation (2), à laquelle il faut satisfaire, sera

— (a+a,xy{\'-x)[i—x.—^ — H^7)

Puisqu'il y a dans cette équation quatre coefficiens indéterminés a, a^ , c, c,, il faudra supposer connus quatre termes de la suite x^ , x^ , X3 .-..^e, qui seront désignés par x=it, f, if', t"', et l'on en déduira L'équation o = r' — /^«^ + 9 * V^^ contient les deux autres racines ; ces six valeurs de x seront les racines des fonctions -^x ou '^'x , qui composeront le premier membre de l'équation (3).

Soit donc x = / , et l'on aura l'équation de condition

c -}- c,t +. «• = (a 4- a,t) A , dans laquelle

5i2 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,

On aura trois autres équations semblables en mettant successivement ^^ t", t'" à la place de ^, et, au moyen de ces quatre équations linéaires, on déterminera les quatre coefficiens c, c, , a, a. en fonctions des quantités connues t , t\ f, t'".

Soit ensuite fo:— 0(^—0(^—0(^—0=^— A^+l*^—^+ï>* il faudra que la quantité

(c+c.x+xr(.+x.^+x')(a+a.x)'(,-x.îî^+x'=^-«»),

développée suivant les puissances de x , soit identique avec le produit développé

a^ — hx^ + Bo:* — Cx + D) {x^ — P^ '\' i)i ce qui donnera pour déterminer /> et g les deux équations

9^ +pA + B = I + 2C + c\ + (m + i) c, — (^^-^) «'■ + 3jaa, , Tune des deux pouvant être remplacée par l'équation

On connaîtra ainsi les deux fonctions qui doivent se joindre aux quatre fonctions données pour composer le premier membre de l'équation (3).

Ce résultat, pour un même système de quatre racines données t^ iff i\ t''\ est susceptible de 2' ou huit formes différentes; car, à Texception de la quantité A , dont le signe est indifférent^ puisqu'il est lie à ceux de a et a, , qu'on peut changer à volonté , les trois autres quantités analogues A', X", X'", qu'on peut prendre avec le signe + ou avec le signe -^^ donnent huit combinaisons: on obtiendra donc en général huit solutions, et ce nombre serait doublé si l'on donnait successivement à m les deux valeurs + v^5 et — y/S.

5o4* Telle est la solution générale du problème où Ton prend arbitrairement les quatre quantités t^ t\ t^'^ t'" ; mais nous nous bornerons à développer le cas le plus simple , celui où de ces quatre quantités trois sont égales à zéro. Alors on a l'équation

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 5i5

(c + c^x + x^) fi + x.^^-^ + x"^ — (a + fl,jp)|/(i — a:*) = o,

où l'on peut négliger les x^, et par consécpient mettre i à la place de ^{i — x^); de sorte qu'en égalant à jséro les coefficîens des trois premières puissances x^, x*, x^, on aura trois équations^ d'où résulte

Ces valeurs étant substituées dans l'équation

on en tire

ou, en faisant passer l'irrationnelle au numérateur,

f ■*- (3 — m) I — (m — i) r d: t/Çi — <^)

Le dénominateur de cette formule s'évanouit pour les deux valeui^ de t déjà connues

t = — (^^) — i/(^^) = — '-55755 65i58 = - ^. Ces valeurs cependant ne rendent pas c infini , car la formule étant écnte

ainsi ,

on. voit que le numérateur m{i — <*)=fcv/(i — <*), pris avec le signe inférieur , s'évanouit lorsque t=^a, et qu'avec le signe supérieur il s'évanouit encore lorsque t=z — €, ce qui résulte de l'équation identique

On peat donc mettre c-j-i soas cette forme

TottE III. 40

3i4 FOKCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,

et alors pour / = a on aura la valeur

^ "*" ' ~ m(i — ùL^) + ^ii^^:^ »

et pour ^ = -— f on aura la valeur

dans lesquelles le dénominateur ne se réduit pas à zéro. Mais parce que , dans ces deux cas, on a tout-à-la-fois

m\/(i — a*) — v^(i — a*) = o et m(i — if*) + V^(i + S^) = o,

il est visible que les formules précédentes donnent

- , , I i I + 3at 4- tf*

ou plus simplement

^ — "" 2 ■*" "^(i+ct) — ^'

Dans les deux cas on a donc ^ == o , résultat qui se trouve immédiatement^ en observant qu*on a

Connaissant le coefBcient c pour une valeur donnée x^st, on aura les autres coefEciens

ensuite , l'équation ûc^ — • px -|- 9 = o se formera au moyen des coeflSciens p eXq, dont les valeurs sont

p = — t — c*+ (im -^ 2)c-\-m — 5 ,

î = — pt + c^ (5 — m) + (6 — am) c — m + i ;

et l'on aura les deux racines, qui devront se joindre à la racine donnée

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 3i5

a: = /, pour former les trois fonctions dont la somme est égale au pre-' mier membre de l'équation (3).

Exemple. tz= — i .

On aura alors c = — i ± v^a , ensuite

p ^= — m — 5 d= amy/a, •

Ces valeurs de p et g sont les mêmes quç dans l'art. sSa ^ ainsi l'on parviendra aux mêmes résultats.

Les suppositions ^ = o , / = i mèneraient de même a des résultats déjà connus.

3o5. Passons maintenant aux formules qui doivent avoir lieu dans le système de ft = 7. On pourra alors prendre

ftr = cr + c,jc + c.ar% (p^oc = i + oc. — -"^^ -J- jc% et il faudra satisfaire à l'équation

Pour déterminer les cinq coeiHciens c, c^, c^, a, a^, il faudra prendre arbitrairement pour x cinq des termes de la suite x^ , x^, x^....Xj. Soit t un de ces termes, on aura l'équation

cr + c,i + cjt^ = (a + a^t + ^') A , daos laquelle

et y au moyen de cinq équations semblables, on déterminera les cinq coefficiens dont il s'agit. Supposant ensuite que les valeurs prises arbitrairement pour X soient les cinq racines de l'équation o = jc* — Ax* + Rr* — Cr*+Djc — E, et désignant, à l'ordinaire, par x*~^px^qz=:o l'équation qui contient les deux autres racines , il faudra que le premier membre de l'équation précédente soit identique au produit

(j:* — Ax* 4- Bj^ — Car* + IXr — E).{a?* ^ px ^ q).

5i6 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,

De là on tirera les deux équations nécessaires pour déterminer p et q f et l'on connaîtra ainsi Texpression des sept fonctions qui doivent composer le premier membre de Téquation (3j.

En général, on pourra obtenir 2^ solutions par la combinaison des signes des quantités A, et ce nombre pourra même être porté à a^ ou 5a si Ton donne à m les deux valeurs +v/5 et — v^5.

3o6. Le cas le plus simple est celui où quatre des valeurs de a: prises arbitrairement seraient égales à zéit); alors le premier membre de notre équation générale devrait se réduire à 4r*(j: — t) (x^ — px + ç). Il faudra donc égaler à zéro les coefliciens des puissances de x inférieures à la quatrième , ce qui donnera les équations nécessaires pour déterminer les quatre coefliciens a, a,, c., c^ par le moyen du cinquième c.

Mais pour rendre cette détermination la plus simple possible, il fiiadrm établir l'égalité

en développant cette équation , dans la supposition que x est infiniment petit jusqu'aux x^ inclusivement ; cela équivaut à rendre identique l'équation

en négligeant seulement le terme c^x^ du premier membre. Par ce moyen 9 on obtiendra les valeurs

et il ne restera à déterminer que c. Pour cela, il suffira de sobatitaer les valeurs précédentes dans l'équation

c -f- c\t + cj^ = (a + a,t + <•) A,

et Ton aura la formule

IA(i+|) — l + ^-if-

puis, fidsant disparaître Tirrationnelle du dénominateur, on aura ]ilu8

simplement

expression dont le dénoroinatear ne se réduit à zéro pour aucune valeur

de t.

Maintenant, puisque le premier membre de l'équation générale doit se réduire à x* (jcr— i) (a:* — /^«a: + j), on en tire, pour déterminer p et q, les équations

p+ tz=i — 2a, + "^^^^ — (^.)%

dont les seconds membres peuvent être exprimés en fonctions de c seule , ce qui donnera

;i + i = — (5 — m) — 2C (m — a) — ("v^) ^* p q ^pt= — (m — i) + ac (m — i) + (a — m) c*.

Exemple /*.

SoitfA = i, on aura c = — (^^), /) = — (^^), 9 = — m + i, x = — (^^^^) ±7\/(i8/îi — 10), valeurs qui conduisent aux mêmes résultats qu'on a déjà trouvés art. ^48.

Exemple II.

m -a* •^ ^ 3 + m+ai/a * !•