IO

6) 0.96709 57790 8.652XO 89506 9-88582 50932

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 3ig

i) = « == 0.53755 36190 6256 a) ' aoi 07 102 6288 3) 3 69214 0964

8) etc. n4

Calcul de 4'^ P^^f ^ Jôrmule (12).

On voit que la somme des trois fonctions ne difière que très peu de la coas-> tante connue 41 + ? 4' o = 2.02857 87656 90; ainsi l'on aura exactement

o.55oia 65i62 0648 14701 5226

o.55oi2 50946 6997 0.53960 aaagS 7127 0. 93885 14594 40

et la loi générale est confirmée dans un des cas les plus compliqués du système de )Et = 7 , comme elle l'a été -dans tous les autres exemples relatifs à de moindres valeurs de fc.

Autre série de formules pour la comparaison des mêmes transcendantes.

3o8. Jusqu'ici les formules que nous ayons développées supposent que la fonction (px = i — j[r^ est partagée en deux facteurs , l'un du second degré y lautre du troisième ; mais cette fonction peut aussi être partagée en deux facteui^, l'un du quatrième, l'autre du premier degré , savoir : ^^x =i+j: + j:* + a^ + :r^ et ^^x = 1 — x.

Dans cette nouvelle supposition, on pourra former une autre série infinie de formules correspondantes à toutes les valeurs du nombre fc , au moyen desquelles l'équation (3) offrira la comparaison des fonctions ^x dans une infinité de combinaisons nouvelles. Nous pourrions donc ici recommencer une nouvelle série de calculs qui conduiraient à des résultats analogues à ceux que nous avons déjà obtenus, et qui confirmeraient également toutes les propriétés énoncées dans notre théorie; mais nous nous bornerons à établir les formules qui se rapportent aux deux cas Jes plus simples, celui de )x = 4 et celui de fe = 5.

309. Dans le premier cas, si l'on prend Oj:= i et fl,x = c + c^x ^ il faudra satisfaire à l'équation

Soient données les deux valeurs j: = ^, j: = ^, avec lesquelles on forme le produit [x — /) (or — ^') = j:* — A or + B , et supposons que les deux autres termes de la série or,, j:., jc,, x^ soient les racines de l'équation o = j:' — px + q^ il faudra que le premier membre de l'équation (K) soit identique avec le produit développé (a:' — kx + B) [x^ -^ px -f- a) ce qui donnera les quatre équations de condition

p + A = — I — c*. , ç + /;A + B = I — c*. 4- 2CC, , /iB -f- ^A = — I + acc^ — c*,

çB = l — 6^

Deux de ces équations peuvent être remplacées par les deux suivantes :

c + c.< = X = ysi^z^.

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 5^i

qui donneront immédiatement les valeurs des deux coefBdens c et c, ; on prendra ensuite deux autres équations pour déterminer les coefficiens p et ^ , au moyen desquels on connaîtra les racines a et € , qui doivent être jointes aux racines données x=,tj x:=zt' : on connaîtra ainsi les quatre fonctions qui doivent composer le premier membre de l'équation (3).

Le cas le plus simple est celui où Tune des données t et t^ est nulle ; soit alors ^ = o , on aura c + c,^ = A et c = i , ce qui donne

c, = . Dans ce cas^ on a B == o, A z=: ^ , et les équations pour

déterminer p et q sont

q = —pt+ I + ac. — c\.

Quant à la valeur de ^ , on peut la prendre à volonté , excepté ^ = i , parce que ' le premier membre de l'équation (K) ne peut jamais être divisible par X — I .

Exemple.

5io. Supposant ^ = — i, et prenant la valeur de A négative^ savoir,

A = — W^9 ^^ ^^^^ ^1 = ^ -f-lv/^i /> = — I — i/3et9 = — v/2. L'équation à résoudre sera donc

on en tire les deux valeurs j:=a, j?==— •€, savoir : * = - I - î/^ + \/(^ + Jv^O = <^-4»^ 3959a 6907,

Calcul de ^^et par la formule (la).

1) et. ... 9.62704 aooi4 67a 2.32340 20625 3