oo 9 ^'i
4iH-4'i= 2.8o54a 69025 64.
On voit que la somme des trois fonctions 4'H~4'^H~4'' difi^ très peu de la constante 4* H~4''S> ^^ "^ ^^^ P^ encore présentée dans les calculs précédens; ainsi l'on devra avoir exactement
5 1 1 . Telles sont les formules qui s'appliquent au cas de /« ^b 4. Voici maintenant celles qui s'appliqueraient au cas de /t = 5 :
TROISIÈME SUPPLÉMENT. 3a5
Soit t une valeur donnée de x prise dans la suite a:^, x^f x^, x^, x^f on aura l'équation
c + c,t ^ t^ = aX, X = ^^""^^ ;
deux autres équations semblables répondraient à deux autres valeurs j: = ^, j: = /", et, par le moyen de ces trois équations^ on déterminera les valeurs des coefBciens c ^ c^, a. Si ensuite on représente par x^ — ,ka^ + ftr — C = o Téquation qui a pour racines les trois valeurs données x z=zt^ j: = ^, j:r = ^', et par x* — px + ç = o Téquation qui a pour racines les deux autres termes de la suite x^^ x^, x^, x^, Xsj il faudra que le premier membi'e de l'équation précédente soit identique avec le produit développé
(x^ — Ax* + Rr — C) (or* — px + q).
Ainsi l'on aura pour déterminer petq les équations
/? + A = I — ac, — a% ç -f- pA 4- B = 2C + c*. — 2C, + û* ,
et Ton connaîtra les racines des cinq fonctions qui composent le premier terme de Téquation (3).
5 12. Le cas le plus simple est celui où deux des trois valeurs données de X sont nulles ; alors ces données t' et if' étant désignées par la quantité câ , supposée infiniment petite , il faudra que Téquation
C + c,« + «• = -»LL-i,
dans laquelle on négligera les ûà*, devienne identique. Cette équation se réduit à c + ^i^ = a (i 4- co); elle donne par conséquent a= c = c. , valeurs qui , étant substituées dans Téquation c ^ c,t ^ ^ =: a?< , donnent
ensuite on aura
Exemple.
5i3. Soit t = — I , on aura c = rfc [/vt ; prenant c =s y 2 , il en résultera p = -^ ^1/2, 9 = 4 — '^\/^f ^^ l'équation à résoudre sera
on en tire les deux racines négatives j:' = — a, x = — £, dont les
valeurs sont
n £&ut maintenant calculer les deux fonctions 4'^ » 4'^ ' T** doivent être jointes à la fonction donnée -^'i pour composer le premier membre de l'équation (5).
Calcul de 4'* pdf la formule (la).
i) a. ... g.jo3^5 96963 148 i) = o.5o4o3 384i3 4^63
et*. .. 8.51339 848i5 74 a) — i36 65971 0071
5) 5.35969 53420 . 52894 8oq6
■ 52068 5io5
Calcul de -^'C par la formule (i6).
TROISIÈME SUPPLÉMENT. 5a5
5) 4* 50077 38911 77 * 8. 16845 17407 84 9.76405 265oo 9
Oa voit que la somme des trois fonctions •>!,''« -|- •s{/'f + 4''i est égale à une constante qui coïncide presque entièrement avec la constante connue >|/i -I- 4' i = a.8o54a 69025 64 i ainsi l'on aura exactement
5i4* Après tant d'exemples calcula avec beaucoup de précision pour différentes manières de partager la fonction ^jc =1 — ^^ en deux facteurs , et pour tout nombre de termes admis dans le premier membre de réquation (5) , depuis trois ou même deux jusqu'à /ji , jj, pouvant être aussi grand qu'on voudra , on voit que les résultats ont été constamment conformes à la théorie que nous avons développée dans plusieurs points principaux. Nous nous sommes attachés particulièrement à la plus simple
■ ■ ^ ^ et
1/(1 4- x^) ^ ^* ^^'^ avons prouvé que la somme de plusieurs
fonctions semblables, prises avec des signes que Ton peut faire varier de toutes les manières possibles, est égale à une constante qui se compose toujours exactement des fonctions complètes 4 1 ^ ^P' 7 9 <{ui sont des transcendantes d'un ordre inférieur. Nous ayons fait voir ensuite com-
ment des fonctions de la première espèce on peut passer successivement aux fonctions plus composées comprises dans la formule générale
'^x = i- — J^^ y. y/ — X f et quelles sont les propriétés nouvelles que Ton
obtient constamment dans la comparaison de ces dernières fonctions. Le sujet de ces recherches est des plus vastes, et nous n'avons pu que l'ébaucher fort imparfaitement; mais nous en avons dit assez pour que la théorie des nouvelles transcendantes que nous appelons tdtra^eUip^ tiques puisse être regardée maintenant comme établie sur les fondemens les plus solides. M. Abel , enlevé aux sciences avant l'âge de 27 ans , avait faiit preuve d'un génie extraordinaire dans les savans Mémoires où il avait perfectionné si notablement la théorie des 'fonctions elliptiques; mais la profondeur de ses conceptions nous parait encore plus fortement empreinte dans le beau théorème qui donne naissance à une théorie beaucoup plus étendue que celle des fonctions elliptiques, et dont il n'existait aucune trace avant lui.
§ XI. Exemple du calcul de deux fonctions imaginaires.
3 1 5 . On a trouvé ci-dessus (348) qu'en supposant ^ = o et c = o , les deux auxiliaires qui doivent se joindre à la valeur donnée ^ =r o, pour former le premier membre de l'équation (3), sont les racines de l'équation
Ces racines étant imaginaires, nous les représenterons à l'ordinaire par la formule
a: = r(cos fl de ^ — i sin 6),
et nous nous proposons de calculer les fonctions correspondantes , ou seulement leur somme, qui sera une quantité réelle.
Yoici d'abord les élémens du calcul :
r = y/(m + 1) = 1.7989^ 74599 47^, log r = o.255oo 88179 56965,
cos fl = 4^/7^ ,) == \/(cT^)' ï-cos 9 = 9-35497 35461 29104, e = 8o«6'3i",i4oii28.
3 16. Considérons r comme seule variable dans la valeur
arc=r(cos fl + |/ — i sin fl), nous aurons, par la substitution,
dx dr (cos fl -H y/ — 1 sin 6)
|/(i — X*) ~ |/(i — r* cos 5fl — r^ sin 56 . y/— i) '
faisons ensuite , pour simplifier cette formule ,
a = 5fl — OT = 40^ 53' 55",7ood6 4 , 1 — r» cos « = f cos a<p, ^ ^ -^' ^;" * ..
H^ sin £t == f sin 3<p , '-'■^^^
et le second membre de l'équation précédente deviendra
dr (cos ô + 1/ — I sin 6) ^z* r /A ■ ^\ ■ / • /n . ^-,
.(l^-tX-isiart = 7 ^'''^ (fl + -P) + V^- 1 S'n (fl + ^)].
Changeant le signe de v/*— i ^ et ajoutant les deux résultats , on voit que la somme des deux fonctions 4^ correspondantes aux deux valeurs imaginaires de x^ donnera Tintégrale réelle
/î^cos(e + (p),
OÙ les quantités ^ et f sont censées des fonctions de r; cette inXégczit , d'ailleurs, devra être prise depuis r= o jusqu'à r= v/(to + i).
Ainsi, tout se réduit a chercher dans les limites désignées l'intégrale fjdr, dans laquelle l'ordonnée j = i£2îi ^ ^ ^^
et préalablement Tangle ^ se déduira de r au moyen de Téquation
sm ât
tang a^ = —
-. — cos et
OÙ Ton a
log sin CL ^ 9.81393 79630,
log cos CL = 9.88076 55oi6,
cos a = 0.75991 55083.
317. Pour résoudre ce problème de quadrature^ il £aiut d'abord prendre une idée de la figure de la courbe dont r est l'abscisse et j' l'ordonnée. {F^ojrez fig. 5.)
A l'origine des abscisses , où rs=o, ona^ = o^ et l'oidonnée
/iB = "• •,, • ette ï"^ "* p.r ">°
r ^ * . née»»" ' __ t« , «* '^
»o** «Waos. . -^rues egaJ s, û quatre
Va ^^^'^ \e«T àe* ** Iw. iV s^^^
55o FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,
^. ^ v deviendra / .. 4- a^^ » ^* ^* valeur
de celle intégrale, qui suppose x^\y se trouvera par la formule (16), où l'on devra faire
w = i = - (cos 9' + v/— I sln fl')-
La substitulion faile dans chaque terme de la valeur de — U donnera une partie réelle et une partie imaginaire, et, parce que la seconde valeur de X donnerait pour chaque terme de — U la même partie réelle et la même partie imaginaire avec un signe différent, il s'ensuit qu'en ajoutant les deux fonctio'ns correspondantes on aura une somme totale qui sera de la forme
I r" • cos - Ô' — P (A) r-5 cos - fl' + P(AO r-« cos - 6'
— P (A") r-» cos - fl' H- etc. ,
où l'on voit que les logarithmes désignés par CA), (A'), (A"), etc. , sont ceux cpi'offre là forpaule (i6) ; de sorte que cette dernière formule , adaptée à nos deux racines imaginaires, ne diffère de la formule ordinaire que par les facteurs a cos | 6', a cos -^6', a cos -^6', etc., affectés aux differens termes de la série. Voici maintenant le calcul détaillé de ces termes :
Ânglesdont lescosinus servent de facteurs aux differens termes delà formule.
fl' = 99053' a8"85988 7 a i 6' 49.56.44,43994 56
ffl' = 149.50.13,38983 08 (i) 5fl' 139. 37.34*39943 6
^fl'= 68.45. 1,8887038 (3) 139.37.34,39943 6
4^0' = ao8. 13. 36,18813 88 (4) 159.37.34,39943 6
^fl' =s 347.59.50,48757 48 (5) 159.37.34,399^5 6
On voit que la somme des deux fonctions imaginaires calculées immédiatement par la formule (i6) est — o, 47888 24859.6, résultat qui ne dififere de celui qu'on a obtenu par les quadratures que d'une unité décimale du quatrième ordre , et nous ne devions pas attendre une plus grande précision du premier calcul fait sur un assez petit nombre d'ordonnées. Ce second résultât est fort approché de la constante connue -4/1 — -j -nJ,'^ = 0.47888 24869 455 , et Ton doit même être étonné que l'approximation soit aussi grande, malgré les difficultés de ce calcul ; on aura donc exactement
^^ [r (cos fl + |/— I sin A)] ) t + 4[r (cos 9 — /— 1 sin fl)] i "" '^
319. Il résulte de ce seul exemple que les fonctions dont les racines sont imaginaires peuvent être calculées par les mêmes formules que les fonctions dont les racines sont réelles; il n'y a donc pas lieu d'exclure, comme nous l'avons fait dans les recherches précédentes, les solutions dans lesquelles il se- rencontre un ou plusieurs couples de racines imaginaires , et l'on trouvera dans tous les cas que la son)me des fonctions tant réelles qu'imaginaires , s'exprime toujours par une quantité véeUe dont la forme est donnée par celle du second membre de l'équation (3);. et, par cette propriété, la théorie que nous avons déve-^ loppée acquiert une beaucoup plus grande extension.
S XII. De la transcendante ^x ■== f^^^-^—^^^-—-,
520. Cette transcendante appartient à la seconde classe, puisque 5 e^ le* plus haut exposant de jc dans le polynôme compris sous le radical ,et elle fait partie de la première espèce , ou plutôt elle est la plus simple des fonctions de la première espèce dans cette classe; elle jouira donc de la propriété en vertu de laquelle étant données ft — 2 valeurs particulières de Xf on pourra par leur moyen en déterminer deux autres , de manière que les /m fonctions qui en résultent satisfassent à Téquation (3) , c'est-à-dire que la somme de ces jm fonctions, prises avec les signes convenables, sera égale à une constante déterminée.
Mais ce qui est surtout digne de remarque , c'est que la transcendante dont il s'agit, quoique appartenant à la seconde classe, est généralement réductible à la première, en supposant A: < i ; on fera voir, en effet, qu'elle peut toujours s'exprimer par deux fonctions elliptiques de la pre-* mière espèce : considérée sous ce double rapport, cette transcendante mé« rite d'être examinée avec soin , parce qu'elle peut conduire à de nouvelles propriétés des fonctions elliptiques!
Nous observerons d'abord que la transcendante 4*^ P^^^ f ^^"^ cesser d'être réelle, prendre trois formes différentes. La première, qui continuera d'être désignée par -^x, s'étend depuis a: = o jusqu'à a: = i.
La seconde, désignée par 4''^, suppose qu'on a changé x en -^x; de
qui s'étend depuis x= 1 jusqu'à jci = t-
Enfin, la troisième, désignée par -^"x, suppose que la variable x est positive, et qu'elle s'étend depuis ^=^j jusqu'à x = -; on a dans ce cas
dx
Il n'y a pas d'autre hypothèse qui rende réelle l'intégrale primitive -^x, tant qu'on suppose le module k plus petit que l'unité.
Faisons voir maintenant comment notre transcendante sous ces trois formes peut être exprimée par deux fonctions elliptiques. Le procédé que nous suivrons pour cet effet est le même dont nous avons déjà fait usage dans l'att. 149 du tome P'.
554 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQXJES,
Première forme , ^ar = /|/[(, - x'jT- *'^')] ' Limites jc = o, j: = i.
321. Le polynôme soiis le radical étant i — (i + â:*) j:'+A:'a:r*, nous supposerons i + or' = par , p étant une nouvelle variable , d'où nous déduirons successivement
I + k^x^ = (/>• — 2*) a:% (i ^) (i — k^x^) = j:*[je,» — (i + A:)*] ,
x'^dx x~*dx
t + k^x =s x^\/{p + aA:»), 1 — k'x == x'\/{p — aA:'),
donc
4ar = — - /^ ^-^ ^- r ^^ -— .
Les deux nouvelles intégrales qui composent la valeur de 4'^ i>e difiRîrant que par le signe de h , il suffira de considérer la première ,
Pour réduire celle-ci , soit d'abord p = z^ — aA* , on aura la transT* formée
Soit ensuite z = , on aura , en faisant c' = ^' "^ / ,
COS «r ' ' 2 + 2k ^
V/(2 + ait) V V/(i — c» sin»^/
Enfin y pour donner une forme positive à cette dernière, on sç servira de
la propriété F (c , â>) + F (c , ^) = F'c , à laquelle on satisfait eu faî-
saut cos cù = —77 r*^a-~\> et Ion aura
V/(i — c*»in'^)
Mais y pour faire usage de cette dernière formule , il importe de passer directement de la variable j: à la variable (p ; c'est ce qui se fera par les équations
= z* — 2** = — ik* +
d'où l'on déduit
On voit donc que tandis que la variable a: croit depuis j? = o jusqu'à ûc = i, l'amplitude ^ croit de même continuellement depuis ^ =: o jusqu'à (p z=z {tt.
Maintenant, si dans le résultat qu'on vient d'obtenir on change le signe
de A:* , la valeur de c* deviendra celle de 6*, et l'amplitude ^ restera tou-* jours la même ; d'où il suit qu'en réunissant les deux parties de la valeur de 4^^ on aura ce résultat très simple
Ainsi l'on voit qu'en eflet la fonction 4«^ s'exprime par deux fonctions elliptiques de preniière espèce, qui ont la même amplitude ç, et dont les modules sont complémens l'un de l'autre; de sorte qu'on a
Puisqu'en supposant ar=i on a ^ s=z j^tt, la valeur de la fonction complète 4' ^^ ^^^ exprimée
mais on peut aussi trouver la valeur de 4 < P^i* un autre procédé qui dépend des fonctions F.
356 FOXCnONS ULTHA-ELLIPTIQUES,
prise depaÎB x=o jiuqa'îi x= i, si l'on- appelle T' J'intégrate
/—r, r, prise entre les mêmes limîles , on aura
4i = T-H- lA-T'H-i^A^T' + etc;
■mais en mettutt x- à la ^ilace de x, Tîntégrale appelée T' devient \fx~dx{i — a:)~», el ses limites sont toujours x^ o et x^ i. (h", par les formules connues. L'intégrale T', sous celte dernière forme, a pour valeur
T' — • îlli±ii£i
— ;■ rc. + f) •
Dans le cas de i = o, on a T* ^t t. i~ ^^= Dj/a , en supposant. . . D = F' £sin 4^*^'; ensuite on aura
T'^VT-, T« = -T', T' = -âT«, etc.; ^onc la foDCtioD cherckée
et l'on a par conséquent la formule igénérale
F'c 4- F'i kr,/ ■ ,r«\f ■> 't. ' 1 ï-3u i-5t , 1.3.5,. i.5.q , \
^^iijj = =.-P(sm45-)(.+j*-.5+j||i'.^+^^'.3-^+elc.). &J'on.&it kxsi Oit -oa AC ^ b, et l'éqnatîonidBvîeDt identique.
Limites x = i^ x = t.
■Saa. Soit'cneore i +x*=px, on«nra
(x' — i) (i — Ar-x*) = x'(i + 3* 4- A' - ;)')
mars, en vertu de Tëquation supposée, on a
le signe ambiga là oa tire
étant + 10 l'on a x< ^, et — si Ton a J!> jijjde
et eofia
jir U première partie, soit d'abord /i = u" — a*'.
Ponr avoir L , — ( +*')«»*' °° '""^ *^'^ partie
on aura ambiguïté
r> __^ F(fr, a.)
de même la seconde partie F = ^,'^'^l^■, , ce qui donne sans
.nifles et »'. ils se déduiront immédiatement de x an moveo Quant aaï a^gi" j
des équations
, avons mis dans la formnle r(<:, •'), sans ambiguité de signe,
°^ o ■' — '" "' déduit de cos a', croit contiauellement deonia parce que ^jH^ *^
■^^^" =o, jusqu'à ^ = j, où l'on a ai' = T; la valeur
kJa(aigjj.V = j T. U n'eu est pas de même je
J jusqu'à .r=;. Dans crttoi .' = «; d'où il suit qn,J,.|,,,aj„
558 FONCTIONS ULTRA-JELLIPTIQUES ,
Une autre manière de trouver la valeur de cette fonctionest de £aice la^ubs-
titution a:'=cos'G+|îSÎn»fl dans la formule 4'^ '= f^if^Zilt^— k^x^)y
a en fésultera Tintëgrale /A:^rf8(r— A^*cos*9f % où l'on a fait kf^=:i—k^. Cette formule étant réduite en série , puis intégrée depms 6 =: o jusqu'à
9 = -9r,*on aura cette seconde expression de 4' ï ^ on doit donc avoir, en général , la formule
I 11 * (» — ^O' laquelle supposa c' :» -^ . ^ ,
Troisième wiemb, ^"a: =/^^^^p-^j^-^.
Limites a: = t, x s=s -.
3dS* Bar uae analyw semUableà^ cdle des deu:s cas précëdens^ on tA>uyera qu'en supposant
cos fl = ^^-7 ' — 9 C0S 9'= ^ T f
on 9>
ut F(fr, a)^F(i?, y)
Les deux angles 9 et 9^ croissent continuellement depuis la pi^mière limite oc :=: j, où ils sont nuls, jusqu'à la dernière x=s-, où ils sont égaux à -^. Aiiosih FcxfNresmn de k fonction complète est
II y a un Mtre mtoyen de trouver la valeur de cette fonction. Soit X = 7— î — j l'intégrale primitive deviendhi
/A:^£to((BÔi i#)^(i — À* eos* û>)" S
TROISIÈME SUPPLÉBfENT* 339
ou
k" fdm (co&»)^(i + iA«co8*^ + i^**cos*« + etc. Y
Cette intégrale doit être prise depuis û> = o jusqu'à ai = -^ tt. Soit
cos 09 = z; on aura y ao» (cos û> ) • =5 — f:^dz(i — 2')" *, intégrale qui doit être prise depuis 2=1 jusqu'à 2 = 09 ou^ en chaivgeant son signe ,
depuis z = o jusqu'à z= i ; mais en mettant z^ au lieu de z, les limites seront les mêmes , et Ton aura la nouvelle intégrale
D'un autre côté, on a trouvé (tome II, page 455) ^'7 = 4'"''*^** C^în 45**) et r 7 r 7 = -^7§i ; donc llntégrale cherchée
fdcù (cos <»y = -i .
2«F'(8in45»)
Cette intégrale étant trouvée , si on l'appelle P , on aura les intégrales successives
fdm (cos â^)^ ' = g P, fdu (cos (ùy ' = 5^ P> etc. ; donc la fonction complète 4'" ^ a pour seconde expression
Ainsi l'on a la formule générale
On doit voir maintenant que si plusieurs fonctions 4^ ^^^^ réunies avec les conditions nécessaires pour former le premier membre de l'équation (3), cette somme de fonctions , multipliée par le nombre M=v^(2 •+- aA:), d^ vra être égale à une constante composée exactement des constantes F' 6 , F V. C'est ce que nous allons vérifier dans les exemples suivans, après avoir établi les formules générales qui se rapportent au cas de )U= 3 et jLe=s 4- 324. La fonction ^cc étant égale au produit jcr (1 -^ x*) (i — A'o:*) , on peut la partager en deux facteurs
<p^x =1 — A*x*, ^^x = Jtr (i — x')j
ensuite , si l'on prend 6^ = a et OiOr = i , l'équation (2) 9 réduite à la
54o FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES ,
forme la plus simple , sera
(Af) , a'(i — A:*J?') — ar (i — x*) = (a: — a:,) (j? — x^) (jc — j:,) :
elle suppose par conséquent jjlz=z5, nombre le plus petit possible.
Soit t le terme que Ton suppose connu dans la série des valeurs particulières x^, ûc^, jc^; en faisant a: = t, le second membre de l'équation (A'j devient nul, et du premier on tire
Soit ensuite x^ — px 4- ç s= o l'équation du second degré , dont les racines sont les deux autres valeurs particulières de x; il faudra qu'on ait
a' (1 — k^x^) — x(i — x^)=i{x — t) (x^ — px + q) ,
ce qui donne trois équations de condition , d'oxi l'on tire
On connaîtra ainsi les deux racines x =: a, x= 6, qui, avec la racine donnée ors ^, serviront à composer les trois fonctions comprises dans le premier membre de l'équation (3).
3^25. Si l'on veut comparer entre elles quatre fonctions, il faudra satisfaire à l'équation suivante, qui suppose ^6 = 4»
(i — ^)Cn — ^) — (^ + c^xyx = (x — x^) {x — x^)(x — Xs) {x — x^).
Soient données les deux valeurs particulières x=it, or = <'; on aura pour déterminer c et C| les deux équations
Ensuite, faisant (x — <) (jtr — <') = ^ — Ax + B, et appelant a e%€ les deux autres valeurs particulières de x qui sont les racines de l'équation x^ — px + ^f = o , on aura pour déterminer petq les équations
B+A/l + 9=: — I— p — 2CC, ,
la seconde pouvant être remplacée par f^Bq = i . On connaîtra donc les quatre fonctions 4^^ 4^'> 4*> 4^* ^^^ doivent composer le premier membre de l'équation (3).
Exemple /".
5^6. Supposons A: = «^ , ce qui donne exactement c = sin 1 5^ et b := cos i5°; supposons de plus t=s^ et t'z=z^; les formules de Tarticle précédent donneront pour déterminer c et c, les équations
c + |c. s= iv/(3io) = 3.62284 41876, c -H 4c, = ^\/{ioS) = 5.12347 5385o;
d'où résulte , en prenant positivement les deux radicaux ,
jc= =fc 0.39665 47735 645 1 — 2.i58o8 59596 8546.
Désignant ces deux valeurs par x:= — a, ^ = — 6, on aura
a = 2.55474 07332 5o, log a = 0.40734 68325 207, e = 1.76143 ii86i 21, log ff = 0.24586 568i2 546.
Il faut maintenant calculer les valeurs des quatre fonctions 4x9 4'^4^
Calcul de '^l.
Les valeurs A: = j et or = ^ étant substituées dans la formule
on aura sin* (p = if , log. sin (p = 9-94o95 03439 61 et
D'après cette valeur de (p , l'interpolation de la table IX pour les modules c = sin i5^, 6 = sin 75^, donne les résultats suivans^ où Ton a fait M = |/(a + 2A) = »/f,
F(*, <p) = 1.50924 19440, M4i = 3.38iao 8i65i.
Qilcul de 4"4- Pour la fonction -^"x les formules générales sont
* (i — kyx* «, (i+Aï)ar«
cos 6 = ^-i — f cos 9= ^—r- — - — »
M4"x=5F(&, fl) — F(c, 8').
343 FONCTiOlfS ISmU-ELUrOIQUES,
Substituant les valeurs A; =: j , op = 4j ou aura
«>s9«^J^. CQsfl'a»^!^, co«flco.«'«^;
et comme on a j/S = 2 sin 60° bp i^, 75ao5 0807^ 68878, il en résulte
cos 9 = 0.64556 191 II 85656, logcos fl = 9.80993 78986 5o58, 6 = 49% 79a 18 128, logcos fl'=r 9.97920 87360 5475, 6'= i7%58795 3763.
Dans la colonne de la table IX qui répond au module b = sin yS*", on trouve le terme A = F (6 , 49°) ^t les suiyans , qui donnent les différenœs de A comme il suit :
«TA
