COS
il faut y substituer les valeurs k = ^ , bz^sin j5*, c = sin i5* ,
x =5 a = a. 55474 cjZS^ 5a, leg <& s 0.40754 ^685^5 307,
TROISIÈME SCPPLËMENT. 543
et l'on trouvera
log co« » = 9.99197 01771 85, » i:t= lô^ 98596 995, log(— CM {/) =: 9*84703 i5588 a5, «'st: 154,67682 891.
La taUe IX donne la fonction F (6, 10*} et ses différences successives comme il suit :
«TA
il en résulte
Pour calculer F (c, »'), j'observe qu'on, a F (e,. û>')-= aFV — - FÇ, en Baisant C = ^ — tt'=:4^%5a5i7 109. Or, la taUe IX donne F(c, 45^) et ses différences comme il suit :
«TA
cT'A
— iSa
il en r&ulte
D'un autre côté,
donc
aF'c = 5.19638 4oo4^
a. 40009 (9805* ¥(b, cû) =: 0.19381 09603
W^'cL = a.595io 39405.
Calcul de %|/'^.
Appliquant les mêmes formules que dans le calcul précédent, il faudra d'abord calculer les angles Cl et £i^ d'après les valeurs
cos ft = -i^l±i- , cosn>=/3-g
ffî (1+1/3) ^(V/i— I)
Voici ce calcul :
ff âs I. 76145 11861 ai |/5 =5 i.75ao5 oSùjS 69
= 5.4g548 19956 90, son log o.545a5 85091 5o
a.4ïaN)63r 56685 o5
^ — (/5 = 0.03958 05785 53 son log 8.46805 75873 €K.... 0.13395 38406 5 8.545ia 45465 7
cosa... 9.98535 68969 04 cos(9r— £!').• 8.48o58 55225, a=z=i5%55498 0675, 'TT — n'=88%267io 552.
La table IX donoe la fonction A:^ F (6 , 15*") et ses différences comme il suit :
JA
cf'A
cT'A*
de là résulte F(6, H) = 0.27428 71174-
Nous avons ensuite ^ .— n' = 88*926710 552 ; mais comme la table ne donne pas immédiatement les différences r(elatiyes à l'amplitude 88", on y sup{déera par celles de la fonction F (c, 85^), que la table donne comme il suit :
cTA
cT'A
cT'A
car, en faisant x= 5.26710 552, on aura la fonction cherchée par la formule
F(c,^ — Q0 = A4-x(crA4-^(cl^A4-^(cr'A+l=^^
d'où résulte
F(c, TT— n') = 1.56685 07085 On a d'ailleurs F(c, tt) = 5.19628 40042
donc F(c, n*) = 1.62945 52957
ajoutant F(6, Ci) = 0.27428 71 174
on aura M^'^ = 1.90574 o4i5i.
Maintenant, si nous ajoutons ensemble les quatre résultats trouvés
M-l'l = 0.68443 76414 FV = i.5g8i4 aoo2i i3
nous aarons la somme. ... 7. 56^48 9i58i
et l'on voit que cette somme ne diffère de la somme des constantes SF'e + F'fr que de 64 nnités décimales du dixième ordre, rapportées à un nombre total de plus de 7 unités. Cette différence sera jugée aussi
petite qu'il est possible ^ eu égard aux erreurs des interpolations d'où elle est déduite ; on doit donc en conclure qu'on aura exactement
ce qui s'accorde toujours avec la loi que nous ayons constamment observée dans la composition du second membre de Féquatitfn (3). ♦
Nous remarquerons I au reste ^ que l'équation- trouvée peut être partagée en deux autres relatives aux modules c et b pris séparément. En effets les termes de notre équation étant ainsi composés
M4^ = F(c, (p) 4. F(*, <p), M^'cL = F(*, a>) + F(c, a,'},
M4''4= F(6, fl) — F(c, fl'), M^'e = F(*, n) + ¥(c,a'),
si l'on prend séparément les deux parties
F(c, (p) - FCc, fl') + F(c, co') + F(c, no = P, F(6, (p) + F(6, fl) + F(6, a>) + F(6, H) = Q,
on trouverai en substituant les valeurs trouvées pour chaque terme ,
d'où l'on voit que la di£férence entre P et 5F'c est à peine de 6 unités décimales du dixième ordre , lesquelles appartiennent au onzième chiffre significatif, et que la différence entre Q et F'6 n'est encore que de 6 unités décimales du neuvième ordre , ce qui prouve la grande exactitude de nos calculs d'interpolation, ainsi que celle des tables qui leur ont servi de base, n s'ensuit encore qu'on a exactement les deux équations
F(c, (P) — F(c, flO + F(c, o)') + F(c, no = 5F'c, F(6, (P) + F(6, fl) + F (6, a>) + F(6, n) = F'6,
équations qu'il serait d'ailleurs facile de vérifier rigoureusement par les formules des fonctions elliptiques, puisqu'on connaît les valeurs exactes des cosinus des diverses amplitudes.
Exemple II.
5^7 . Soit A: = (a — y/ 5)* = tang' 1 5% on aura c = sin 3o* et 6 s= cos 5o*. Supposons de plus ^ = ? , et en appliquant les formules de l'art. 3^4 1 nous aurons
