AVERTISSEMENT

Dans le Discours placé en tête du premier volume de ce Traité, on a fait connaître les principales améliorations que l’auteur avait apportées à la théorie des fonctions elliptiques, publiée précédemment dans ses Exercices de Calcul intégral. L’une des plus considérables est la découverte d’une seconde échelle de modules, différente de celle qui était seule connue à cette époque; l’auteur la développée dans le chap. XXXI du tome I, et l’on doit observer que cette découverte date du commencement de 1825, puisque le tome I, qui la contient, a été présenté à l'Académie des Sciences dans sa séance du 12 septembre de la même année. La seconde échelle dont il s’agit complétait, à beaucoup d’égards, les travaux de l’auteur dans cette théorie; elle offrait une route facile pour parvenir à plusieurs beaux résultats d’Analyse, qu’il n'avait pu démontrer jusque là que par des intégrations très laborieuses; la nouvelle échelle des modules pouvait se déduire d’un module donné, par de simples extractions de racines quarrées et cubiques, ce qui fournissait des approximations beaucoup plus rapides que celles qu’on obtient par l’ancienne échelle; enfin, par la combinaison des deux échelles, on pouvait multiplier d’une manière prodigieuse les transformations des fonctions de la première espèce, ce que l’auteur avait rendu sensible en construisant une sorte de damier, infini dans ses deux dimensions, dont toutes les cases pouvaient être remplies par les diverses transformations dont est susceptible une seule et même fonction. Il n’était donc guère probable qu’on püût aller plus loin dans cette partie de la théorie des fonctions elliptiques.

Cependant un jeune géomètre, M. Jacobi de Koœænigsberg, qui n’avait pu avoir connaissance du Traité des Fonctions elliptiques, dont la publication ne date que de janvier 1827, était parvenu, par ses propres recherches, à découvrir non-seulement la seconde échelle dont nous venons de parler, qui se rapporte au nombre 3, mais une troisième qui se rapporte au nombre 5, et il avait acquis déjà la certitude qu'il doit en exister une semblable pour tout nombre impair proposé.