V) AVERTISSEMENT

L'annonce de cette belle découverte analytique parut dans le n° 125 du Journal astronomique de M. Schumacher, où l’on trouve deux théorèmes particuliers concernant la formation des échelles affectées aux nombres 3 et 5, et de plus, un théorème général pour former l'échelle applicable à un nombre impair quelconque.

La démonstration de ce théorème général parut peu de temps après, dans le n° 127 du même Journal; elle mit dans tout son jour la grande sagacité de l’auteur et la fécondité des méthodes par lesquelles il avait su vaincre les difficultés de son sujet. Ce théorème étant établi pour tout nombre impair, il fut aisé d’en conclure que, pour chaque nombre entier ou seulement rationnel, on peut former une échelle particulière de modules qui donnera lieu à une infinité de transformations d’une même fonction de première espèce, lesquelles seront toutes déterminables algébriquement.

Onne mentionne ici que les premiers pas faits par M. Jacobi dans Ja carrière qu'il s’est ouverte; les espérances que ses premiers succès avaient fait concevoir ont été justifiées depuis, par les nouvelles publications qu’il a insérées dans le Journal de M. Schumacher, et dans celui de M. Crelle de Berlin; elles le seront encore plus complètement par l'ouvrage qu’il se propose de publier bientôt, sous le titre de Fundamenta novæ theoriæ functionum ellipticarum.

Il nous reste à parler des belles recherches sur la même matiére, que M. .Zbel de Christiania , digne émule de M. Jacobi, a fait paraître presque en même temps, dans le Journal de M. Crelle et dans celui de M. Schumacher. Le premier Mémoire de M. Abel, imprimé sous le n° 12, dans le tome IT du Journal de M. Crelle, forme déjà une théorie presque complète des fonctions elliptiques, considérées sous le point de vue le plus général. On y trouve, 1°. les propriétés fondamentales de ces fonctions et de leurs inverses, établies sur l’idée heureuse et entièrement neuve de l'introduction des imaginaires dans ces fonctions ; 2°. des méthodes pour construire, de la manière la plus simple, les formules qui servent à la multiplication et à la division des fonctions ; 5°. des développemens très étendus sur la réduction au moindre degré possible, et la résolution des équations algébriques qui servent à diviser toute fonction proposée, ou seulement la fonction complète; 4°. des formules nombreuses pour développer les fonctions en séries et produits infinis.

Un second Mémoire de M. Abel, imprimé sous le n° 11, dans le

AVERTISSEMENT. vi) tome III du Journal de M. Crelle, offre des résultats très remarquables, 1°. sur la division de la fonction particulière dont le module est sin 45°, laquelle représente des arcs de lemniscate; 2°. sur la transformation générale des fonctions de la première espèce, ce qui donne lieu à l'auteur de démontrer, d’une manière très simple et très directe, les deux théorèmes généraux précédemment publiés ou annoncés par M. Jacobi.

Nous n’entrerons pas dans d’autres détails sur les travaux de ces deux jeunes géomètres, dont les talens se sont annoncés avec tant d'éclat dans le monde savant; on conçoit maintenant que l’auteur de ce Traité a dû applaudir vivement à des découvertes qui perfectionnaient beaucoup la branche d'Analyse dont il est en quelque sorte le créateur. Il a formé dés lors le projet d'enrichir son ouvrage d’une partie de ces nouvelles découvertes, en les présentant sous le point de vue le plus simple et le mieux coordonné à ses propres idées. Tel est l'objet des deux Supplémens qui suivent, et de ceux que l’auteur pourra peut-être y joindre, par la suite, pour en former le tome III de son Traité. |