EE

On peut aussi remarquer que, dans cette formule, l’arc x est la même chose

que la limite désignée par ® (n° 69, tome I) des arcs +, Fe gr etc. . : : - : 2Kx 157. Si l’on suppose æ infiniment petit, ce qui donne Ep = = ——,

on aura K—p—2" 2 49t+ 99 — 167 + etc.

OK 1— 29 + 2gf — 2qg9 + etc. ?

et en substituant la valeur connue du dénominateur du second membre, on obtient la somme d’une nouvelle suite fort remarquable, savoir,

(46) g— 49 + 9q9— 16q"°+ 259% — etc. — me 2) /C);

c'est ce qu’on trouverait également en différentiant par rapport à # la seconde des formules du tableau donné ci-dessus, n° 23.

La même formule peut encore se vérifier en substituant dans le second membre les valeurs des fonctions complètes E' et K, développées suivant les puissances de k* dans les formules de l’art. 48, tome I. On trouverait ainsi , en négligeant seulement les quantités de l’ordre gf,

me G+IE+ ae)

ce qui est la vraie valeur de q.

Enfin, la même équation peut être vérifiée jusqu'a la douzième décimale, pour le cas du module 4 —sin 45°, au moyen des valeurs connues

() Poyez le $ XI, où cette conclusion est rigoureusement démontrée.

Tove III. 17

1 30 FONCTIONS ELLIPTIQUES g=e ", log K=—0.26812 72224 12, et K — E' — 0.50343 07962 53. 158. Soit Fo la fonction qui sert de complément à F@, en sorte qu’on ait F® + Fo = F'k, ou, qu’en faisant Fo = A onatx+y=3:7. En vertu de cette supposition, on aura Ep + Eco = E' + sing snç = E' + ET.

mas, d’après la valeur y = 7 — x, on aura 2 2

g sin2x + 2gt sin 4x + 3q9 sin 6x + etc.

1 + 24 cos 2x + 294 cos 4x + 2q9 cos 6x + ete.”

RE D F4 ue

donc, en ajoutant ces deux équations, et réduisant, on aura la formule sui vante, qui coïncide avec celle que donne immédiatement la différentiation (art, 10

27 qsin2x —2q{ sin 4x + 3q9 sin6r — etc.

47) Rsingcos® K'1—29cos2x + 2qcos 4x —2q°cos6x + ete. (47 Ag Eat nt gsin 2x + 2gfsin 4x DE sin 6x + etc.

; ; k $ Kx Soit æ infiniment petit, le premier membre se réduira à 4° ou #.—

sn 27 et en divisant de part et d'autre par —=.2x, on aura

K IS re q— 4qf + 999— 16H etc. | q + 4qf + 9q9 + 16q'6 + etc. 27° 1—2q + 2qt — 299 + etc. 1 +29 + 2q4 + 299 + etc. |

. . K La première partie du second membre = 52 (K—E"); donc, on a la nou- F

velle formule Le Lu 4 4qf + 95 + 169 + etc. K ep pis ago pag pee (PAR),

; : ; 2K ou en substituant, au lieu du dénominateur, sa valeur V=

(48) g +49 + 99° —+ 16q"° + CLONE LE — k®%K) Ve.

On obtiendrait ce même résultat, en différentiant, par rapport à #, la première formule du tableau (23).

159. Soit L une amplitude qui satisfasse à l’équation F4 = 2F9, on

aura

pet 2Ep — Ed = # sin*@ sin = HER

1— k? sint®

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 131 Quant: à la valeur de E4 , elle se déduit de celle de Eg de l'équation (45),

en mettant dans le second membre 2x à la ES de x; on aura donc

——… re ee es ————

2k? sin cospAP __ K'1—2qcos27+ a cos 4x — 2q9 cos6x ages etc. 1— sn — 2x qsin4r—2qtsin 8r+ 3q%sin127—etc.

K'1—2gcos4x+ 2qtcos8x—2q9cos 12x-+ etc.”

4Kdzx

. . AA d À c'y . »

Multipliant d’un côté par —, de l'autre côté par ——, et intégrant,

on aura log A’ — log (1 — k*sinf®) = 4log Ex — log 2x, ou

Oix(1 — 4 sint?) — A'O2x.

On déterminera la constante A’ en faisant @—=0 et x = 0, ce qui donne INSECTES ee)

Cette formule apprend déjà que si l'on peut négliger siné @ par rapport à l’unité, on aura d’une manière très approchée @fx = A’O2x, ce qui donne un moyen très simple de déduire @x de O2x, ou @2x de Ox, lorsque x est très petit.

Si ensuite on substitue, au lieu de sm, sa valeur(1) 4 Sp On aura l’é-

quation A'O2x = Ofx — Afx, qui s'accorde avec la formule (39) déjà trouvée.

160. La fonction @x étant développée en facteurs trinomes, comme il suit, Ox —=C(1—2q cos 2x + g")(1 — 2q° cos 2x4 g°)(1 —2q° cos 2x + g'°)etc.,

on en tire, par la différentiation,

(dex) __ 4gsin2x 4g° sin 2x MN te sin 22 Ordr — 1—2q cos 2x + g* +7 1—2q pe Per 1— 29 $cos2x + gro + etc. ;

mais par une formule connue, on a

gsin2x

ee ——t Es a ke que ü 1— 2q COS 2X + q* — 4 sin 2x + q°sin {x + g'sm6x + etc. ;

donc, le second membre de l’équation précédente peut se développer ainsi :

4g Sin2x + 4q* sin 4x + 4q sinGx + 4gfsin8x + etc.

+ 4g$sin2x + 4q$sin4x + 4g° sin6x + 4g'sin8x + etc.

+ 4g°sin 2x + 4g"sin4x + 4qsn6x + 4g*sn8x + etc.

+ eic., et si l’on fait une somme de chaque ligne verticale, cette ni) deviendra

fg;; (CRE kg Âq Fa in 2 et 4x + pa Le Th HS

D | À sinôX + etc.; donc enfin, l’équation se pourra s’écrire ainsi :

(49) Ep x + (- Pr sin 22 + À sin 4x + : TL sin6æ etc.)

s : : . ; : K Si l’on fait x infiniment petit, ce qui donne Eg = 9 = , on aura

la formule

E =Kk—7 il + LES Ts +ete.),

Dan 0 = qui servira à calculer la fonction complète E', par le moyen des fonctions de première espèce K et K’, avec lesquelles on peut déterminer g. On déduit de là la somme de la suite

(Éc) tt tt a Se M AS (RE)