Nous avons trouvé ci-dessus les formules
9 (g, x) = C(i—2gcos2x 49°) (1—2q$cos2x+ 95) (1—24$cos2x+-q"*) etc. A (g,x)= 2° Csnx(1—2q *cos2x+-gt)(1—29#cos2x+-q8\ 1—2q%cos2x+-q"*) etc.’
où l’ona
C=—g Gi (24KY.
Chaque facteur de A (g, x), désigné par 1 — 29%" cos 2x + g#", se décompose en deux autres 1— 2q" cos x + qg°", 1H 2g" cosx + g°", de sorte qu’on aura
A) ee CA DAS — 2q cos x +- q*) (1— 2g°cos x + gt) (1 — 29° cos x +- g°) etc., A PA cos? x (1 + 29 cos x + g*) (1 2g°cos x + gt) (14 29° cos x + gt) etc. ; mais en mettant g° à la place de g, et + x à la place de x,ona A (5, x) =C. 2q% sin zx (1—2g cos + g°)(1—2q° cos x + gf)(1— 27°cos x +-g°)etc., A Gene) CA 24% cos + x (1+ 29 cosx + g*)(1 H2g° cos x + qf}(1 H-29cos x +qf) etc. Donc :
ne 1 ; La constante C' est ce que devient C lorsque g se change en 9°, ce qui change en même temps #, #', K en #4,, #”,, K,, À, étant le module qui précède # dans l'échelle dont l'indice est 2. On aura donc............,
C'= MONE ÿ. ou en substituant les valeurs K, — (1 + #) K;
ak CAL SAT ON En k RU, =, C=g (CE) GARE # De Th...
C __2RKE\Tà | & —= (=) — ——- — D. D'après cette valeur de D, on aura Îa G 7 ®(g, 0)
formule
(34) A(g,x)=DA(g",5x)A(g",ir—%x); on trouverait de la même manière
(35) | @(g,x)—DO (7,:x)@ (g', 37 —3x).
Les fonctions @ et A, qui se rapportent à la quantité 4 ou au module #,
peuvent donc être exprimées chacune par des fonctions semblables qui se L . » \ L.d
rapportent à la quantité 9°, ou au module #, qui précède # dans l'échelle
dont l'indice est 2.
148. Pour parvenir à d’autres formules, prenons à volonté les fonctions F(k,®), F(k%, Ad) et les variables correspondantes x et y, telles qu’on ait 2Kx . 2Ky = F(4,@),. DR F (4, +).
Désignons de plus par w et y les amplitudes qui satisfont aux équations
120 FONCTIONS ELLIPTIQUES, K (x / RELIEF, n)= FH 0) + (4, Ÿ), K(x — 2 (5) DEF(E,V1)=F(k,0)—F(, d) nous aurons par les formules connues
sin? ®@ — sin? À - 1 — &* sin“ @ sin° 4 ?
___ cos” ? cos? Ÿ — £'? sin° @ sin COS LH COS = NT URI ee dan LE 1 — £* sin° @ sin° À
sin {4 Sin ? =
Substituant les valeurs
ine=(} nya cse=(#) Lois 37)
et les valeurs semblables des autres sinus et cosinus , on aura les deux équations
A(x+y)A(x— y) __ AxO°y — A°yO'x
O(x+y)O(x— 7) 10° — AxA°y ?
£ A(x+yt+ir)A(x— y + 27) — G+i 7) A (y +2 7) AaAy Fa O(x+y)O(x— 7) ©°xO°y — A°xA°y
Dans les premiers membres de ces deux équations, on connaît les facteurs trinomes des deux termes de chaque fraction; et par l’expression générale de ces facteurs, on trouve aisément que chaque fraction est irréductible. Il en sera de même des deux fractions qui composent les seconds membres ; car, Supposons, par exemple, que le dénominateur @*x@*y — A’xA°Yy
. . ; Q A ait pour facteur y — à ; si le numérateur A’x@°y — A°yO’x avait le même facteur , il faudrait qu’on eût tout-à-la-fois ©°x = b*A°x et A°x = bO°x,
. Ac .
en faisant d = 5 ces deux conditions ne s’accordent qu’en supposant œ b=Æ 1; mais alors on aurait @x= A°x, équation impossible dans tous L LA "à Ax e 0 L4 les cas, puisqu'on a généralement = —= Ar sing, et par conséquent
A°x<KkO°zx. Si l’on supposait, en second lieu, que le facteur commun aux deux termes de la fraction est une fonction de x et y, désignée par f Tr) alors, en donnant à x une valeur déterminée 6, l'équation f(x,7)=0 serait satisfaite par une valeur aussi déterminée y =@, et l’on retomberait dans le cas démontré impossible
149. Cela posé, on ne peut satisfaire à nos deux équations que par le système des trois équations suivantes, dans lesquelles A est supposé constant :
DÉUXIÈME SUPPLÉMENT. 121
AO'r-HY)O(œ—7) = 0107 — AA y, 66) AAG&HTIA(E —ÿ) = AO — AYO'E,
L AA(-HY + 2m) A (ay 17) = A7) Ar) AA.
Pour déterminer A, nous supposerons, 1°. dans la première équation, æ—=0 et y —0; 2°. dans la deuxième, 7 —0; 3°. dans la troisième, xæ—o et y—o. Ces trois suppositions donneront également pour ré- 2K4 ( sultat À —@°0 = —.
150. Au moyen de l'équation (34), on peut donner à la seconde des
équations (36) la forme suivante, en observant que AD°—:,
2.02 2402 : 3+Y : LT à Ad / Ë Tnt A°xO°y — A'yOx = A( + 2) 4 (7 ; 7) 4( x >) 4 (4 | ———) Le premier membre de celle-ci est composé des deux facteurs AxOy—AyOx et AxOy + AyOx. Quant au second membre, on peut essayer différentes
manières de le décomposer en deux facteurs qui répondent aux deux précédens ; mais la seule combinaison admissible est la suivante :
NE DEN NEE RE ne Ee ) cu A(g, x)®(g, y) + A(g, y)®(g, x) =A( 4 2 à (x À = 2)
où l’on voit que les deux équations se déduisent l’une de l’autre, en changeant simplement le signe de y.
Si, dans la seconde, on fait y = 2x, on aura
Or, de la valeur A (a; =) = VE 2) ), on déduil A4, z) ui? VE) — / (S; donc,
KyAY,, :
Cette formule, la plus remarquable de celles que nous venons de rassembler, offre le moyen de déterminer très simplement la fonction ©(q, x), en supposant connues les fonctions À, puisqu'elle donne
(38) @{q; x) = (EM A(g?, A(g; x)
7 Ag» &) Tome III. 16
122 FONCTIONS ELLIPTIQUÉS,
Au reste, on peut démontrer cette formule d’une manière directe, qui servira de vérification aux calculs précédens.
En eflet, on a
A(g ; x)=C.2gisinx(r—2q°cos2x-gt)(1—2gcos2x+-f)(1—2q6cos2x+-q"") etc., A(g°, Li C'ag$sinx(1—29 cos2x+q")(1—2q°cos2x+g4)(1 —2g°cos2r+-qf ) etc.
Et puisque tous les facteurs trinomes de A(g, x) sont CODDS parmi les
facteurs trinomes de A(q° , &), il s'ensuit qu’on aura
AG, x) C x , AGE Ps = q TECE ag cos 22 q2)a 27 cos ar ot)(r 2 245 dos 2.0 + q°) etc.
Ainsi, pour que l'équation (38) ait lieu, il reste seulement à démontrer
qu'on a C= FRE = ñ or, c’est ce qui résulte des valeurs connues de C et C.
151. D’autres combinaisons des formules déjà démontrées conduiraient à de nouvelles formules, dont l’application peut être -utile. Prenons, par exemple, dans les art. 128 et 129, les deux formules
2 À AFx@(irLix) sin ® = tang lp ser se 7e Ars G) 4 817 Toira(irpix)?
2tang 7 @ 1—+tang+0 ?
donnera la nouvelle équation
puisqu'on a sin® — la substitution des valeurs précédentes
Ft Ar __ 2 A;mO!DA(ir+ix)O(irtir) OL Aix O(irt ir) HE’ ix A'(ir+ix)?
dans laquelle toutes les fonctions © et À se rapportent à une même valeur de g. Maintenant, pour réduire le numérateur du second membre, mettons g* à la place de g, dans les équations (34) et (35); ces équatons deviendront
A (g°,x) = D'A(q,1x) A (g,37—1x) ® (°,x) = D'O(g,ix)O (q,i7—4r),
et la valeur de D’ se déduira de celle de D — ( ns V4 en mettant 2 à Ja F
place de k, ce qui donnera D’— ETS = (= v£ ÿ.
Multipliant ces deux équations, et observant qu'on a @(ir—:x) = O(ir+ix) et A(tr—ix) = Air 4x), le produit sera
A (g,3x) @ (g,2x) N(g,.2xH5r) O (g,:x+Er) K = (5) A(,x)0 (7 x)= PV. A (gx) O(g',x).
Mais par l'équation (38) on a, en mettant g* à la place de g et k au lieu de 4, HY/A\3 KA\3 A (gx) © (gx) = (A) A (Ge) = (EE) A (gx);
donc le second membre de l’équation précédente se réduit à K\° (=) GA} A (gx Cela posé, l'équation que nous voulons réduire deviendra
2K£ f2KE
) Ox—A 1 xO(ir+:x) HO" ixA (ir +ix); mais par les équations (32) et (33), on a
A'LxO* (17 1x) +O'1x A (im bix)= RO — Al x)
4 À 2Kk/\?2 Donc enfin si l’on fait C/— 0 — (==) > on aura
(39) C'Ox=Oftix — Afix, équation dans laquelle les fonctions sont rapportées au même module #, ou à une même valeur de g. Cette équation serait utile dans la construction d’une table des fonctions @x et Ax , puisqu'elle servirait à déterminer la fonction ©x par deux autres fonctions rapportées à une variable plus petite 2x. Il est possible aussi d'obtenir un semblable résultat pour les fonctions Ax.
192. En effet, si dans l'équation ) A (rx) 1—tang°1@ ( a 1+ tang” ,® on substitue la valeur de tang ! @, et qu’on ait égard au résultat précédent, on aura cette nouvelle formule,
À Ep ae ER
cos P =
combinant cette équation avec l’équation (39) et avec l’équation (32) mise sous la forme Ax= k©'x— KA (Gi 7—x),
on voit la possibilité de calculer les fonctions @x et Ax par le moyen des fonctions O =x et A:x. Ces formules résolvent donc assez simplement le problème de la duplication de la variable dans les fonctions x et Ax.
Réciproquement, an pourra résuudre algébriquement le problème inverse, qui consiste à déterminer @ixet Aix, par le moyen des fonctions @x et Ax: En effet, soit Ox = a, Ax=Dd,A(i7—x)=—=c, on déterminera c, au moyen de & et b, par l’équation (32), qui donne k!c? — ka? = m:
Soit ensuite ®° — et A° = À, on aura les deux équations à résoudre
Ce () — À: — 782 + A#,
ou en faisant — }°2,
AM(Z— 1) = Ca,
M(2—E 2H: )= Ce n).
ha+o(y nue vd'aifs a— ÿ/ (a — El) CURE
De là résulte
Le
ainsi l’on connaît Z et À, et par conséquent aussi 8 — 14/Z.
153. Il nous reste à déterminer les fonctions x et Ax pour de très petites valeurs de æ.
Pour cela nous développerons les valeurs de @x et de O(7 + x), en négligeant les quantités de l’ordre x‘, ce qui donnera
Ox = Oo + 4x° (q— gt + ag? — 16q'$ + etc.), O(x+ir)—=©Oi7— 42° (q + 4gf + 0q° + 16q'$ + etc.)
Les suites qui multiplient 4x° ne sont point comprises parmi celles qui ont été déjà sommées ; elles pourraient cependant se déduire des deux premières formules du tableau (23), en les différentiant par rapport à g ; mais on trouvera ci-après, $ VIF, les valeurs cherchées |
DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 128 K? EL! 1 on nie ae (: —+) Vs), q + 4qf +99 + 1695 + etc. — Pc a (R—#") V o
Donc, si x est assez pelit pour qu’on puisse négliger les quantités de l’ordre
x‘, on aura Ox = O0 Li+ aise el
O(:7 x) =O; rfi? sd ke) |. 1
Pour avoir une semblable expression de Ax, sans être obligé de sommer une suite que nous n'avons pas encore considérée, je reprends l'équation
. 1\3 Ax 2. s : ; à sin ®—(;) —, d’où résulte Ax — k* Ox sin @. Mais on a l'équation &/ ©x?
abs = F (4, ®), dans laquelle la supposition d’une amplitude @ très petite
donne Es —çg(i+zk"e"); de là résulte ® — 2e (1 — 5 #4) —
2 ET , etsinpæ=q(i— 30) = 1 — a (z + #) æ° |
Es cette valeur et celle de @x dans l’équation Ax = À° @x sin ®, on aura
(42) Pi ei (4k'}° Te LEE 5 La BV
Ces formules supposent qu’on peut Pa les quantités del’ordre K{x{, ou celles de l’ordre @f par rapport à l’unité. Aïnsi, si l’on veut qu’elles donnent dans les valeurs numériques dix figures exactes, 1l Aude que @ n'excède pas 10° 53", ou que la fonction F(£, ?) n’excède pas de la fonction complète K.
31 ré 154. Considérons encore la formule
Ox = Cr — 2q cos 2x + q*)(1— 2q° cos 2x Hg) 1— 2q9$cos 2x + q'°) etc.,
dans laquelle le second membre est composé d’une infinité de facteurs de la forme 1 — 2q" cos 2x + q"", m étant un terme quelconque de la suite 1515 ,:28-7YeLC,
On sait que la quantité 1 — 24 cos 2x + 4° peut être regardée comme lun des z facteurs qui divisent la quantité 1 — 24" cos 2nx + a”, Ces x facteurs sont
126 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 1 — 24 COS 2X + 4°, 1 — 24 COS (2x + a) + a”, I — za cos (2x +1 R) a”
1 — 24 COS (x + — — r)+ a.
Si donc on fait le produit des 7 fonctions O10 (x+7)0(x+7)0(x+%)....O(x+ 7), ce produit sera égal à
C7 (1—29"cos2nx 9%") (1—2q%"cos2nx+q") (1—2q5"cos2nx+-q"°") etc. Or, 2 étant un nombre impair à volonté, si l’on suppose que h est le mo- Atle qui suit # dans l’échelle dont Pidbee est 2, la quantité qui est q pour le module #, sera g" pour le module k, et la DRE © (g", nx) sera ainsi exprimée © (g'",nx)=C(1— 29" cos2nx + qg°") (1— 29° cos2nx +qf")(1—2q°"cos2nx +ç'°")etc., C/ étant ce que devient C lorsque # se change en k et g en g”. On aura donc la formule générale
(4,x)O(q,x +7) 0 (x +)... O(q,x + r)= 6 O(q", nx); on aurait de même A (gx) A (g,x +7) A (ax +2). A (ga + œ A(gy na);
car la démonstration relative à cette seconde formule ne diffère de la précédente qu'à raison du facteur 2 sin x qui se trouve dans A(g, x). Or, en vertu de la formule connue
2" sin æT Sin (x + 2) sin(æ+ 2)... sin (x + r)=2sinnx,
la loi du produit général sera toujours la même.
K 155. Maintenant nous avons la formule k° sin À (= =) = , dont
Papplication répétée z fois donnera
Æ' sin 45 Sr: ES si D ASH... sin tent +=) … A (q, x)A (a x +°) A(gx +)... A (9 EG (rx+")0 (gx +2)... (4 Or, il résulte des formules précédentes que le second membre se réduit à
A (g", nx) ; À s Te (=) (gr, rx)? qui est la même chose que k* sin 4 y)
Donc, on aura enfin
(43) sin 4 (ES ls sin 4 ( S) si n À es) A(ÈE ss 6
formule qui s'accorde avec celle du n° 10 du I* Supplément, et d’où l’on déduirait aisément l’équation des amplitudes marquée (32) dans ce même 2Kx
RER PRTeUE Une semblable analyse , appliquée à la valeur de cos 4
a) cts conduirait à l'équation des amplitudes marquée (34). Nous remarquerons ici que c’est par l’application des formules du théorème II que nous sommes parvenus à exprimer les fonctions trigonométriques de l’amplitude par le moyen des deux fonctions © (q, x), A(q,x), et que réciproquement les propriétés de ces fonctions nous conduisent aux formules principales du théorème I. Nous obtenons ainsi une confirmation très satisfaisante des deux théorèmes généraux qui renferment toute la théorie de la transformation des fonctions elliptiques de la première espèce.
$ VII. Nouvelle formule relative aux fonctions elliptiques de la seconde espèce.
156. Nous avons fait voir que les fonctions @x et Ax donnent les moyens d'exprimer les fonctions trigonométriques de l’amplitude qui répondent à
k 2Kx : . / une fonction donnée F@ — -— ; ces mêmes fonctions vont nous fournir des
formules nouvelles pour exprimer les fonctions de la seconde espèce, et
même celles de la troisième.
E(x +. Es 7),
Reprenons pour cet effet l’équation Ag — (4Y dont la différentielle logarithmique est
— k* sing cos@ de dO(x+ix) dOx.
1—ksin® ‘dr E(x+isr) Ox ?
si l’on y substitue la valeur Has 7e AY, qui résulte de équation Fo — $ dx F ? SEtdu T on aura Lu eKy sing cose __ de (x + LRU dx F A TT O(w+ir)dx Oxdx
Soit FZ une seconde fonction telle, qu’on ait
2K F = — (œ+ir)=Fo+ TE, on aura, par les propriétés connues ,
EE + Ep — Eh sing sing = 60e;
; : E' » . : QE et si l’on faite, EÉ’ désignant la fonction complète L'Æ, on déduira de
ces deux équations,
£° sin ® cos® RE D (Ep — 6) — (EC — Fé).
Combinant ensuite ce résultat avec celui qu'a donné la différentiation, on trouve l'équation
do d3 + ir) À (EP — F0) — = (Er
dans laquelle il importe A remarquer que les deux membres sont des fonctions semblables, l’une de x, l’autre de x +17.
Nous conclurons de là que chaque membre est une quantité constante (*);
et comme le premier membre s’évanouit en faisant x = 0, et par suite, ®—=0 nous aurons généralement
(44) É(Ep—Fp)= EE — ainas— Sgen fet ragisinbe ele
Oxdx 1—2gcos2x + 2q4 cos 4x — 2q9 cos 6x + etc. *
formule qui servira à déterminer la fonction de seconde espèce E® , au
: : K moyen de la fonction de première espèce F9 = L \
de sorte qu’on aura cette expression de É® en fonction de x,
q sin 2x — 2g! sin 4x + 399 sin 6x — etc.
1 — 2g cos 2x + 2q+ec0s 4x — 2q%cos6x + etc.”
