Si l’on différentie la formule (49), on en déduira

a, La */gcos2x | 2q°cosÂx 3qcos6r ) (52) M tre LH fes Cr ANRT —- etc. ).

Le cas de ®@—0 a déjà donné un résultat au moyen duquel cette équation peut se réduire à la forme

6 7m fqsin®x , 2q°sin°2x , 3q°sin°3x MEN ke er us es + etc.) ;

nouvelle expression assez élégante, qui peut servir à déterminer l’amplitude par la fonction.

En supposant @ infiniment petit, on tire de cette formule la somme d’une nouvelle série, savoir, 2°q* Sn GRH HS + ete = TE;

la même somme a lieu, d’après le tableau (23), pour la série qui résulte du développement de AE EE as NE te AE, LE.)

Ainsi ces deux fonctions de g doivent être identiques, et lon peut dire de combien. de manières un nombre donné N sera la somme de 8 nombres triangulaires. Si le nombre N+ r cest premier, le nombre de combinaïsons dont il s’agit sera (N + 1) + 1.

162. Si dans la même équation on fait P—=:37, et par suite x = 27, on aura la formule remarquable

q D 4 EK° EH) pete site =

Et comme le second membre est aussi es de la puissance. ,....

q'+ (gi + q° + g + "Es —- etc.)*, suivant l’une des équations (23), il s’ensuit qu’on a l’équation identique

ET etc, = (+ gg ete.) ; ou, en mettant te à la Fe de f O»

(56) - — ar RP + 19 I ete. = (9° 99 + 9 + gi ete.)

Te ES

(*) Il suit immédiatement de cette formule, que tout nombre 8n + 4 est la somme de quatre carrés impairs, et de plus, qu’il est autant de fois de cette forme qu’il y a d'unités dans la somme des diviseurs de 27 + 1. De là on conclut aisément que tout

Enfin, si dans l’équation (52) on suppose successivement x = + # et x=2:7, 00 aura les résultats suivans :

a 3 3 2 JT —1- — 2 — 1 — etc, = as. K — A") (57) q Leg fre 27% RE RUE nt AMOR rm dE 77 4 K

La première de ces équations étant soustraite de l’équation (55), donnera encore ce résultat

5 A NT HRNR ER PAU É LB (58) + 8 ne TE ge etc. = 27° I 2 K L’équation (55) transportée au module 2 qui suit Æ, et pour lequel 4 devient g* dans l’échelle dont Pindice est 2, donnera AE RO tn parie et si l’on soustrait de celle-ci la seconde des équations (57), on aura

% 2q{ : 6Ga'? K+ 1+k\s E' (6o) Ten Âg RS + + etc. 4 LC) TE

K° etc = (i—#);

Voilà de nouveaux exemples ajoutés à beaucoup d’autres, qui prouvent qu’on peut sommer, à l’aide des fonctions elliptiques, un grand nombre de suites qui seraient très difficiles à sommer par d’autres moyens. On aurait encore par la différentiation de 1 — Æ* siu°® , cette formule

(G1) À —— Eh ® cos PAP —= TRE Figure PE He + AT — + etc.;

d’où résulte, en faisant x =2?#, la somme d’une nouvelle série, savoir :

32q3 52 K3 62 D RARE ser g — etc. = =" W 1— #).

Gr) ir + M G—#) 163. On a pu remarquer dans le Traité précédent que les formules pour calculer par approximation la fonction de seconde espèce E®, sont en gé-

nombre impair 271 est la somme de quatre carrés, et qu’il en est de même d’un nombre quelconque. On aurait aussi, d’après la même formule, lidentité 1 3 5 A Tee + ete. = (1 + gt + 9 + + q'° + etc.)f, d'où il suit que tout nombre N est la somme de quatre triangulaires , et qu’il l’est autant de fois qu’il y a d’unités dans la somme des diviseurs du nombre 2N +1.

néral assez compliquées , surtout si le module est très peu différent de l'unité. Celles que nous avons données ci-dessus, sous les n° 45 et 49, seront préférables dans beaucoup de cas, à cause de la loi très simple qui règne dans les différens termes de ces formules.

Elles supposent qu’on connaît les fonctions complètes K et E’, ou F'#£et E'#, et de plus la quantité g, pour laquelle il faudrait dresser une table particulière, comme on en a une des fonctions complètes , afin qu’étant donné le module ou seulement langle du module, on puisse trouver dans celte table la valeur correspondante de g, ou seulement son logarithme,

are LUE, : 7 F(E Avec ces préliminaires, si l’on prend pour x la valeur TX. Dee F

déduite de la fonction donnée F (4, @), ou, ce qui revient au même, si Pon F x à e 3 @° °° (he , } fait x égal à la limite de la suite nor me etc., calculée selon la méthode ordinaire d’approximation appliquée à la fonction F(#, @); la valeur de Eg pourra se calculer , avec tel degré d’approximation qu’on voudra,

par l’une ou l’autre des formules citées, savoir : q sin 2x — 2q! sin 4x + 399 sin 6x — etc.

4 EN nu ni CERN Er ner” —————————————————— LRSEUE 17 K'1— 29 cos 2x + 29+ cos 4x — 2q9 cos 6x + etc. ?

Eo — < E' + . > sin 2X + : sin 4X + T sin Gxetc.)

Lorsque À — sin 45°, on a q < 5; lorsque £— sin 80°, on a qg < —". Ainsi, dans ce dernier cas, la première formule peut encore donner dix décimales exactes, sans aller au-delà des termes affectés de q°, ce qui suppose qu’on rejetle seulement les termes affectés de g'f.

164. Nous remarquerons ici que si lon a une équation quelconque entre les élémens Æ et @, qui servent à composer les fonctions F(£, @), et les élémens g et æ qui servent à composer les fonctions @(g, x), A(q, x), on peut, dans cette équation, changer Æ et @ en Æ° et @°, pourvu qu’on change en même temps g en g* et x en 2x. On obtiendra ainsi d’une manicre très simple une transformée qui se rapporte aux élémens #° et ç° de la fonction F (4°, °), comme l’équation donnée se rapporte aux élémens # et @ de la fonction F(Æ#, @). On obtiendrait de même une seconde transformée si l’on changeait Æ° et @° en £°° et 9°, et si en même temps on mettait g* à la place de q, et 2x à la place de æ. Cette troisième équation pourrait aussi se déduire immédiatement de la première en mettant tout d’un coup #%, @%, gf, 4x, à la place de £,®, q, x, respectivement.

Et l’on voit que la série de ces équations peut être prolongée à l'infini , sans qu'il y ait aucun caleul à faire pour leur formation successive.

Comme le but de ces transformations est de déterminer la valeur approchée de la fonction E(k, @), ou de toute autre fonction contenue dans l'équation primiive, il faut supposer que la nature de la question fournira dans chaque cas les relations nécessaires pour que la fonction proposée puisse se déduire facilement de l’une quelconque de ses transformées successives ; c’est ce que nous allons faire voir dans le cas de la fonction Eg.

165. Appelons G(#,@) la fonction complexe E(Æ£, ®)— &F (4, @), où

Von a e— 5; lorsque k et ® se changeront en #° et @°, cette fonction des o © LA . 6 Et Q viendra G(4°, p°) =E(X°, @°) — e F(X°, @°), € étant mis pour FU ‘Nous suivons ici les dénominations usitées dans l’ancienne échelle pour désigner les modules décroïissans Æ, 4°, #*%, 4°%, etc., et les amplitudes croissantes ®, @®°, °°, @°®, etc. On a vu que æ est égal à la limite de la suite

o 00 000 ; ur : 00 000 L, Le es etc.; de même x° serait la limite de la suite £., T etc., ce qui prouve qu’on à X° = 2%.

do (q, x) dx

@'(q, x) = 4q sin 2x — 8gf sin 4x + 125 sin 6x — etc. ; l’équation (44) sera ainsi représentée

sn eV ET GE, sise

et d’après l’observation contenue dans l’article précédent, on en déduira cette série de transformées

0 m° Lune" (9 2x) 00200) 2 7 @" (g', 4x) GA,9)= ER ° 5 (9, 23)? G(4 ,® )= eat etc.

166. Pour avoir la relation entre G(#%,@) et G (4°, @°), il faut recourir aux formules connues GHA)L(,p) = EE, p)— 5 (1 — 4%) F (4°, p°) + Æ° sin y’, (1 + RE = 2E'4 — (1 — ke) F'X, F(4,9)=3 0 +#)F (4, @°), F'£—= (1 + ke) F'x;

d’où l’on tire ces deux équations

(x +R) eo — (à — k°), (r+ ke) G (4, p) = G (4°, o°) + Æ° sin g°.

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 137 Pour simplifier la première, soit e— 1 — k*p, et par conséquent € = 1 — k°°p°, on aura 1= 2p == k°p°,

d’où résulte

ARE a à is TPE DA et par conséquent

ko &°X05 4000 e—mi— (+ +7 HA Ales + 5 +ete.).

Cette valeur de £ s'accorde avec ju qu’on a trouvée pour la quantité L, arl. 00, tome 1; et en eflet, ces deux quantités représentent également le

FRET rapport & FT" 167. Maintenant, comme on a K—(1+#°)K°, l'équation entre G (4,9

et G(#°, @°) pourra être écrite ainsi :

KG (Æ ,?) = K°G (%, p°) + K°#° sin @”, et 1l en résulte immédiatement KG (£, ®) = K°£° sin g° + K°£°° sin g°° + K°°%°% sin °° + etc.

De sorte que la fonction G (£, @) est exprimée par une suite infinie très convergente, et qui se réduira toujours à un très petit nombre de termes, à moins que le module # ne soit extrêmement peu différent de l'unité. Il est facile au reste de s'assurer que cette formule pour déterminer la fonction E(£ , @), ne diffère pas de celle que nous avons donnée art. 90, tome I.

Ce n’est que dans les cas particuliers qu’on pourra décider laquelle des deux valeurs de G(#£,@), données par l'équation (44) et par l’équation précédente, mérite la préférence pour en tirer plus facilement un certain degré SAPRIOANATIQN L'usage de l’une et de l’autre deviendra de moins en moins avantageux, à mesure que le module Æ se rapprochera davantage de l’unité; Dis on pourra recourir aux formules que nous avons données

dans le chapitre IX, tome II.