Tome II

$ VIII. Nouvelle expression de la fonction de troisième espèce, à paramètre logarithmique (*).

168. Soit maintenant = Fo? et Fe; soit, de plus, = (x — a) = Fp—Fa = Fy', À (x +a) =Fp+Fae=r?;

on aura d’abord, er considérant &æ comme constant,

Tr 56 2f — 26) sang Lee de Kdzx : E!

ensuite, l'application de la formule — = - = (Ep—eF@), où = ,

donnera les deux équations

d — «à Kd ; Men a y)

de a Kd - ; RS = ee (Eg"— F9"),

d’où l’on ture

d@(x—a) dE(x+a) d@ LAN EAU 1 !

ST) Ne ANNE ES

Mais les propriétés des fonctions donnent les équations Fo'+Fa—Fo—o, Eg'+£Ea— Ep —= Æsina sing sin’, Fo + Fa—F?"—0o, Ep + Ea— Ep'= #° sin a sin sin &", d’où résultent les différences Fo"— Fo —2Fa, Eg"—Eg = 2E0— k°sinæ sin (sin @* sin ®");

d’ailleurs on a, entre les amplitudes, ces équations :

€) Nous appelons, pour abréger, fonction à paramètre logarithmique la fonction de troisième espèce dont le paramètre est — k°sin*«æ, & étant le module. On sait que ces fonctions diffèrent essentiellement de celles de la même espèce dont le paramètre est ou peut être ramené à la forme —1<+#'*sin°z, k étant le complément de £, Ces dernières devront être appelées fonctions à paramètre circulaire.

na Pet sin ® COs «Âæ — sin æ COS PAP 1 — k* sin° # sin° @ 7 SAS sin@ cos æAx + sin æ cospAD 1 — k? sin° & sin°@ 4 : é 2sin@ cos æÂe sin @' +- sin @" = ?

1— k sin’e sin? ?

donc, en faisant les substitutions, on aura l’équation différentielle

d@(x — a) de(x + a)

sine L Al pa de [2k°sin MERE DEN Er 2eFa) | O(x — a) O(x + a) Ag 1 — k°sin’æsin’®

dont l'intégrale est

(GA) cotaaal(a, 6) — Fo]4 (ea — La) Fe = log 2 Ed

| Je h CO AC. ( à] dp en désignant par [(æ, @) la fonction de troisième espèce Gina g) ae dont le paramètre est —Æ#* sin*«. On n’a point ajouté de constante, parce que les deux membres s’évanouissent lorsque = 0. Ils s’évanouissent aussi lorsque æ—o; car en supposant & infiniment petit, la quantité

(a, ®) — Fo? se réduit à Æ*sin°æ [EE son produit, par cotaæAx,

: : de sin° Le .

ou simplement par cotæ, est donc Æ*sin a cos a (+, quantité qui

s’évanouit lorsque 4 = 0.

169. Nous obtenons ainsi un résultat très remarquable, qui nous permet de déterminer la fonction de troisième espèce [(æ, @), dans le cas du paramètre logarithmique, par la fonction de première espèce F?, et par la fonction @(g, x), qui ne dépend que de deux quantités g et.x.

Comme la fonction @x est une fonction paire de x, on a Ox—=@(—x), et par conséquent @(a — x) — @(x— a). On peut donc changer a en x et æen à dans notre équation générale, et le second membre restera

le même. De là résulte équation

és cotæAa[TI(æ, ®) —Fp]— Exlo (65) — cotpAP[II(P, a«)—Fa]— Era,

qui s'accorde avec celle du n° 115, tom. 1°, et au moyen de laquelle on peut réduire l’une à l’autre les deux fonctions II(æ, @), [I(?, æ).

Cette équation, appliquée au cas de P=«, ne détermine pas la fonction I(æ, æ&); mais en faisant @—« dans l'équation (64), on trouve, pour ce cas particulier, la formule

140 FONCTIONS ELLIPTIQUES, cotaAa[Il(æ, &)—Fa]+ Fa (éFa— Ex)

66 2 Kk’ :

(66) = log = 4 lo (— ) — log © (24).

Si, dans l’équation (64), on fait g—}7 et x=—27, afin de déterminer la fonction complète Il'&, ou Il'(Æ, &), on aura © (£ pure a)

Are)

Mais on a en général © (— a) — © É + a); donc, le second membre 2 2

cot aAa(Tl'e — F') LE'Fo — F'Ea = : log

de cette équation se réduit à zéro, et l’on a simplement (67) Ia F' + SE (FEe —E'Fe),

ce qui est la formule du n° 116, tom. I®.

LA mn m Lé . néral F9 = — LE — étant une frac- 170. Supposons en général F£ = = K, ou x ét

F . 2 , tion rationnelle à volonté; on aura IT (æ, @) — —- IT'æ + W, W étant une

fonction qui doit pouvoir s'exprimer en logarithmes. Substituant ces valeurs dans l’équation (64), on aura

cot A4 C IT'a + W)+ (Fa — Ex — cotaAa) — K

ma ) O | — a 217 + )

formule qui pourra servir dans beaucoup de cas à déterminer la fonction @x.

Soit, par exemple, — 3; dans cecas,ona

sin ®— AT cotp=y#,Ap=

et la formule de l’art. 117, tome I, donne

donc on a généralement

(68) 22) ças=c — k7) na à

o(7+a Aœ + (1 — #') sin «& cos «

Cette formule fera connaître la fonction @ £ + a) par le moyen de la fonc-

une valeur donnée de # ou de q, il suflira de calculer cette table depuis æ= 0 jusqu'à x— 45°, et on la continuera facilement depuis æ — 45° jusqu'à æ = 90°, qui est la limite de la table; car, au-delà de ce terme, on a

la table de cette fonction étant formée jusqu’à x = 22°+, on pourrait la

. 0 21 l'E 0 . . « LR . 31 continuer jusqu’à æ — 45°, et ensuite, par la première formule, jusqu’à X = 90°.

171. Cette table serait très utile dans la théorie des fonctions elliptiques, puisque, avec son secours, on pourrait calculer la valeur de toute fonction de troisième espèce I (2, £,@), dont le paramètre z —=— k* sin* «. En effet, connaissant les trois élémens #, &, ®, on pourra d’abord chercher,

par la table des fonctions F, les valeurs 4 = K Del Er — Fe F(4, @);

on cherchera ensuite, d’après le module £, la valeur de la quantité g, ce qui se fera par une table particulière dressée pour cet objet. Enfin , la table des fonctions @ (g, x) fera connaître les fonclions (x — a) et O( x + a) qui répondent à la valeur de g. Ainsi, en ajoutant seulement aux tables qu’on possède, la table des fonctions © et une table auxiliaire pour calculer g au moyen du module, on sera en état d'évaluer toute fonction donnée de troisième espèce, à paramètre logarithmique; de sorte que cette fonction, qui dépend en général de trois quantités, pourra être calculée par des tables qui n’en contiennent que deux. M. Jacobi est le premier qui ait remarqué cette

belle propriété que l'usage des fonctions ©, dont il est l’inventeur, lui a fait découvrir dans les fonctions elliptiques de troisième espèce à paramètre logarithmique. Il a annoncé en même temps que la même propriété pourrait aussi s'appliquer aux fonctions à paramètre circulaire, ce qui serait un très grand perfectionnement de la théorie des fonctions elliptiques, puisque la détermination numérique de ces fonctions ne dépendrait, dans tous les cas, que d’un petit nombre de tables à double entrée, dont les principales sont déjà calculées. Mais, jusqu’à présent, les tentatives que j'ai faites pour étendre aux fonctions à paramètre circulaire, la propriété qui est démontrée pour les fonctions à paramètre logarithmique , sont restées sans succès. Ainsi nous devons suspendre notre jugement sur ce point, jusqu’à ce que M. Jacob: fasse connaître les formules par lesquelles il pourrait justifier son assertion.

Dans le cas où il serait bien constaté que les fonctions à paramètre circulaire ne sont pas susceptibles de la réduction qui a lieu pour les fonctions à paramètre logarithmique , il faudrait admettre que les fonctions à paramètre circulaire constituent une quatrième espèce de fonctions elliptiques plus composée que les trois autres, et qui ne peut se simplifier que pour des valeurs du paramètre, caractérisées par un symptôme général; mais alors elles se réduisent toujours à la première espèce, et ne peuvent plus être rangées dans la quatrième.

$ IX. Æpplicaion de la même formule aux fonctions à paramètre circulaire.

172. Reprenons l’équation (65) en joignant aux fonctions l'indication du paramètre, du module et de l’amplitude, nous aurons la formule

cotaæA(k, a)[TI(— kA*sin*a,k,®)—F(k,p)]—E(£,a)F(x,œ) = cot pA(k,@)[II(— #* sin*?, k,a)—F(k,a)]—E(#, @) F(E, a). Supposons ensuite sin &æ — i tang 6, à désignant W/— 1; on aura successivement coSæ—=—, A(k,a) = y(1 + Æ* tang 6) — 2, I de fa idC isnC? A(k,a) ste É)?

LE 4°, «)= 1 Kg G+Atang 6) =iTF(#,6)—E(#,6) + tang 6A (#, 6)], I (— À sin &, 4, @) = N (4 tang® 6,4,o@), et enfin rie LE ? sin? @ sin? #de I (— sin ®, k, a«) —F(#, 2) apr o as be — k° sin° @ tang° éd F3 Loris tang*6)A(£,6) i AA sin° #4 = RTS [EF (4, 6)— T1 (— 1 + Æ* sin° @, k!, 6)1.

Substituant ces valeurs dans l'équation que nous voulions transformer, nous aurons le résultat suivant :