SE AE
Connaissant «1, on aura immédiatement 4/+ par la formule, .... : Pre ESHCDS rs tom. Il, pag. 357, d’où résulte J4=— ee br 0.009820 42344 83 cos se .. 9-90795 76445 86 \'+..... 0.109024 65898 97.
Au moyen de ces deux valeurs logarithmiques, on aura les valeurs ‘ap-
prochées Vi = 1.253573 06248 17
On verra dans la suite que ces deux transcendantes, qui sont entre elles . cos % : 1 ou :: 1.4/5 — 1, sont les deux élémens par lesquels on
peut toujours exprimer exactement la constante qui forme le second membre de l'équation (3), dans le cas où les fonctions 4x et "x contenues dans le premier membre sont de la première espèce, exprimée
par les formules dx — f° DES x — f. Es; résultat d’au-
tant plus remarquable, qu'il a lieu quel que soit le nombre de termes contenus dans ce premier membre. On verra que des exemples nombreux
TROISIÈME SUPPLÉMENT. 209 appuient cette assertion, que la théorie n’a pas jusqu'à présent établie d'une manière absolument certaine : aussi la vérification qui en a été faite, dans les cas particuliers, a presque toujours causé une sorte de surprise au calculateur; et cependant la confiance qu’elle a fini par Jui inspirer l’a mis à portée, nombre de fois, de reconnaitre les erreurs qui s'étaient glissées dans ses calculs, toutes les fois qu’ils paraissaient ne pas satisfaire à la propriété énoncée. \
238. Venons maintenant aux moyens de calculer, par approximation, l'intégrale dx = fs; pour toute valeur donnée de x. Il y a deux cas à considérer :
1°. Si x est 2, il suffira d'employer la formule que donne l'integration par série , SaVOIr :
x=x+s.e HE L+r + etc. ;
mais il sera bon de lui donner la forme suivante : { dx = x + Pxf (8.92081 87539 52) + Px (9.92520 24413) + Px (9.61181 08286) + Pxÿ (9.953201 12609) + Pzx (0.75809 14565) + Px (9.930917 87630) + Px* (0.823590 87409) + Pr (0.904437 47863) (12) — Pas (9.86148 84562) + Pxÿ (0.904875 25602) + Pas (9.88582 30952) + Pr° (0.05249 13194) + Px* (9.90287 45097) + Px° (9.05572 14996) + Pxf (9.91548 99205) + Paxÿ (0.095854 02880)
—+ etc.
Dans chaque terme Px° (A) dont le rang est 7, P désigne le terme précédent du rang 7 — 1, dont on a calculé le logarithme. Il faut joindre
à ce logarithme celui de x°, aimsi que le nombre A, qui représente le logarithme du facteur par lequel il faut muluüplier le coefficient du rang n—1, pour avoir le coefficient du rang #7 qu'on calcule. De cette manière , On forme successivement les logarithmes des différens termes de la série, lesquels termes sont d'autant plus petits qu'ils sont plus éloignes du commencement de la série. Par cette raison, les logarithmes renfermés entre parenthèses pourraient être diminués d'une décimale, à des intervalles de trois et quatre termes alternativement; mais nous Jeur avons laissé le nombre constant de dix décimales, que chaque calculateur pourra diminuer à son gré.
Tous HI. 27
Si x est très près de la limite +, le résultat de la série, que nous avons bornée au dix-septième terme, ne pourra être en défaut que d’une ou deux unités au plus, dans la septième décimale; mais moyennant la correction qu'on pourra lui ajouter, il deviendra exact jusqu’à la neuvième décimale.
Soit À le dernier terme calculé, B l’avant-dernier, on pourra supposer
A2 AS A4 que les termes qui suivent B et À forment la progression > p° pv CC
dont la somme est & À ns Cette somme, ere facile à calculer, de-
vra être AA à la suite de À, pour tenir compte du reste de la série.
Lorsque x sera moins près 4 la limite 2, il faudra employer moins de termes de la série pour obtenir un égal degré d’approximation , en tenant toujours compte de la correction qu’on vient d'indiquer.
0, Si x est > +, il faudra calculer la partie de l'intégrale comprise depuis xÿ > + jusqu'à x — 1. Cette partie étant trouvée, on la retranchera de l'intégrale complète représentée par 41, et le reste sera la valeur de Jx.
Pour trouver la portion d'intégrale dont il s’agit, soit 1 —x° = u,
dx sin Var) : + Le (à L 0 donc U—/fiu *du(r —u) *, cette intégrale, qui devra être prise depuis 4—0o jusqu'à u—1—x*, sera exprimée par la série
a = = + ou LEP ay, on aura —ju *“du(i—u) *. Faisant
us 4 4.9 uw, 4.g.14 U=iu (+4. se Alle rot 2 +etc.), d'où l’on tire la formule suivante, pour faciliter le calcul numérique
de U,
OU = £u + Pu (9.42596 87322 52) + Pu (9.094193 548371) + Pu (9.753239 37508 23) + Pu (9.:94776 03819) + Pu (9.82390 87409 4) + Pu (9.95252 25291) (13) + Pu (9.868657 91358 6) + Pu (9.95648 85886) + Pu (9.89512 10573) —+ Pu (9.095984 28619) + Pu (9.91272 60760) + Pu (9.96271 68170) + Pu (9.92526 29659) + Pz (9.96520 67604) + Pu (9.93464 69534) + etc.
Cette valeur étant trouvée, on aura «x = 41 —U. 239. Proposons-nous maintenant de trouver, par approximation, l’autre
TROISIÈME SUPPLÉMENT. | art
dx . .
: , 4 ! ini {si , 5 1 . 2.
intégrale A/x ve. LS" Si l’on a x +, la valeur de cette in tégrale sera | ENT 1. 2° RE M Lo 1 9:0tt ND == 2 5° NE AE TEE W & 5 +elc.
Cette suite se calculera par la formule (12), en ayant soin seulement de donner le signe — aux termes de rang pair. La série étant calculée jusqu’au terme Æ À, qu'on suppose précédé du terme B, le reste de la série, dont il faut tenir compte, pourra être exprimé approximativement
EN Cu LE PRE pa: On pourra ainsi trouver une valeur suffisamment appro-
chée de ’x, tant que x° n’excédera pas 2; mais pour aller jusqu'a x=1, il convient de suivre une autre formule.
. “1 u Soit, pour cet effet, ———"u, ou x°— ——, On aura
1+ x dx LEE rer To ar To va ve Te) an! du (x u) ” ?
et en intégrant par série, Va =ui(i + 4 TT EL TOTAT É Letc.) DEx 10 6 10. ne 10.20. 5° 16 ‘3?
ce qui donne, pour le calcul numérique, la formule suivante :
RER u5 + Pu (9-06694 67896 30) + Pzu (9.941095 93899) + Pu (9.606617 74909 4) + Pu (9.947357 32416) + Pu (9.709151 52110) + Pu (9.95186 28077) + Pu (9.84804 24207) + Pu (9.95564 62682) (14) + Pu (9.88037 38004) + Pu (9.95887 81183) + Pu (9.090133 52594) + Pu (9.096167 08322) + Pu (9.91603 59557) + Pu (0. or 82432) —+ Pu (9.926091 93822) + etc.
—+ Pu (9.935530 27682)
L'usage de cette formule doit étre borné à la limite x — 71; si l’on a x >1, il faudra faire une autre uno Fun alors
ot I — nage pes 5 — TE uU, OU X° = 3 — , On aura —
VD Soit donc U= fiu du ( 1—u) 5, Cette ne étant prise depuis
27 . A) I . k À U—O jusquà u — TH On aura l'intégrale cherchée Lx —4'i—
Or ah te par série donne … LE 4-0 MER MR RUES 4 ) 2u "CG ‘73 1 E110 28 UE ie ab 38 UN CN ou en adaptant cette RES au calcul numérique
= 2 + Pu (9.26626 78894 05) + Pu (9.094083 53066) + Pu (9.70645 80257 3) + Pu (9.094687 17906) —+ Pu (9.813235 06728) + Pu (9.95178 098515) (15) + Pu (9.856276 90896) + Pu (9.905587 40933) —+ Pu (9.89146 38190) + Pu (9.95932 00878) + Pu (9.91021 20633) + Pu (9.096226 66542) + Pu (9.92342 85620) + Pu (9.096481 50630) —+ Pu (9.935324 93834) + etc.
240. Cette formule peut être employée depuis x = 1 jusqu'à x =}; mais pourvu que x° surpasse 2, on pourra faire usage d’une formule
; Ne I : dx plus simple que donne la substitution æ—-; on en tire fs A ETS
ou J'VG + 1)?
par série,
; faisant donc U An, on aura, en intégrant
We 11 10 RO LE U=m (si. Ans M EN 53 + etc.)
ce qui donne pour le calcul numérique la formule
Ur= 2 us — Puf (9.06214 79067 49) — Piÿ (9.925377 15601) + Puÿ (9.627527 67706 81) + Pu (9.953336 03291) — Puÿ (9.764035 26500 9) — Pa (9.930955 53951) + Puf (9.825705 55373 2) + Pa (9.94468 99263)
(6) — Pa (9.863543 50954) — Puÿ (9.94902 01372) | + Pau (9.887514 67593) + Pu (9.95272 13363) — Puf (9.90383 30060) — Pas (9.95592 13498)
+ Pz (9.91621 60442) — eic.
U étant trouvé, on aura 4x = 4/1 — U,. | Telles sont les formules les plus simples par lesquelles on PS le plus souvent calculer jusqu'à la dixième, et quelquefois jusqu’à la douzième décimale, ou même au-delà, la Ale de x et celle de d/x. Voici maintenant quelques exemples de ces calculs, qui auront leur application dans les recherches suivantes.
Exemple I.
241. Les nombres & et 6 étant déterminés d’après les formules 1/5 — m 3 — m AT VA 2 ) { 2 }, 5— m 3— m 6 — VA 5 )+ ie où l'on a m— 5 —= 2.253606 70754 90788; on demande les valeurs de Lx et V6, approchées jusqu’à la dixième décimale au moins.
Pour obtenir plus facilement les valeurs numériques de æ et 6, j'observe qu'on a, d’après la table IT, tome I,
(CE + à) =) — 2 sin 36° — 1.17557 05045 84946,
1(6 — à) = et — 2 — 2C05 36°— 0.538196 G6orr2 50106; de là { D 0010090002, æ — 0.793560 44933 34840.
Pour avoir le logarithme de x, je remarque que 7936 étant le produit de 256 par 31, on a, par la table de Gardiner,
log (0.7936) — 9.890960 16591 46122.
Faisant donc a — 0,79356, x —0.00000 44933 3484, et appliquant les formules log (a + x) = log a +R, log R = log (= — nue » Où m = 0.435420, etc., on aura
log & — 9.89960 41180 90900.
Ensuite, puisqu'on a 46 = m — 1 — 4 sin 18°, on trouve, par la table I, log 46 — 0.09204 23554 1403, et par conséquent
log 6 — 0.109243 82373 1503.
Calcul de Va.
242. Puisque, d’après la valeur trouvée, on a &ÿ << +, il convient de se servir de la formule (12), dont les différens termes, désignés par 1), 2), 3), etc., se déduiront de leurs valeurs logarithmiques comme il suit :
1) ou æ..... 9-89960 41180 99 4.174967 79904
etc.
1) —= 0.709360 44933 35 8) — 0.00000 14144 03 2) 2081 82137 13 0) 3665 04 3) 268 o9201 67 10) 971 20 4) 48 54993 88 11) 261 96 5) 10 14671 03 12) 71 69 6) 2321805108 1143) 19 85 7) 56192 45 REMRR ER ere q TI 0.81771 74314 59 10141 48 190141 48
Va = 0.817971 93456 07.
Calcul de A'6.
245. On appliquera dans ce cas la formule (15); et d’abord connaissant
il faut déduire de ce dernier le logarithme de 1 + 65, qui fera connaître
‘ I celui de 4 — TS
Pour cela, je remarque qu’une valeur approchée de 65 est...... 9-16625 = ‘AE = a, dont le logarithme , calculé avec 12 décimales
par la table V, est log a — 0.096219 16980 04;
de sorte qu’en faisant r = 0.00000 05114 29, on aura log 65=— log a —r. Maintenant on peut connaître, avec une semblable approximation, le lo-
garithme du nombre 1 + a — jte = 0.375 X 2717 : ce logarithme est
log (1 + a)—1.00716 07853 082.
Il ne reste donc plus qu’à appliquer les formules connues
log (14 65) —1l(1+a)—R, r =
log R—I(ar)—;:r.
En voici le calcul :
RARE 5.70878 53505 1-4. 1.00716 07853 1 4.... 1.00716 07853 082 r! RER 2.750162 45652 R 0... 4611 224 &..... 0.096219 16980 165... 1.00716 03241 858 —<r. — 251 AI se HE 8.099283 96758 142.
Au moyen de la valeur logarithmique de 4, on procédera au calcul de la formule (15) comme il suit :
SNL 9-82300 87409 4452 9.86276 908:6 1) 9.521796 06436 8858 5) 4.14186 50244 8 URL 8.09283 96758 142 8.099283 96798 1 9.-26626 78894 05 9-89146 38190 2) 7.78086 82089 08 6) 3.02616 85192 9 8.099283 96:58 14 8.099283 96758 1 9.700645 80257 3 9:91021 20633 3) 6.48016 59104 52 7) #1%02922102584 __ 8.099283 96-58 14 8.099283 96758 09-8132 06728 9-92342 85620 4) 5.28625 62590 66 8) 0.84548 84962.
Pour trouver avec 12 décimales le nombre dont :) désigne le logarithme, voici le procédé dont on use ordinairement, pour suppléer aux tables qui n’ont que dix décimales. Par les tables ordinaires, on trouve que 0.332456 est une valeur approchée du nombre que l’on cherche ; pour en trouver commodément le logarithme avec 1 2 décimales ou plus, je réduis ce nombre à 532475 — 405 X 825. Soit donc a — 0.332475, et l’on aura, par la table FE de Gardiner,
log a — 9.52175 89946 9103.
Appelant À le nombre cherché, on aura log À — log a +r, en faisant r = 0.00000 16489 9755. On déterminera ensuite À — a par la formule très simple log (À — a) — log (aMr) + ir, dans laquelle M est le nombre connu 2,302, etc., dont le logarithme — 0.36221 56887.
