Soit 1°. nm —k°sin*6 , le second membre se réduit à
tang log A°6 + Æ?sin°6 cos@, cos @, cos 3 — Æ? sin 6 cos 6 AG sin, sin @, sin @s
| 2AG A°6 + k?sin° 6 cos@, cus@a cus@s + A’ sin 6 cos 6 AG sin, sin @, sin @s
Pour comparer ce résultat avec celui qu'on trouve art. 59, tome I, il faudra remplacer les lettres ®, À, u de cet article par @,, @,, @:, ainsi que € et Ô par Æ et 6. Alors en supposant qu'on détermine les ampliltudes p’ et w”, qui satisfont aux équations
TROISIÈME SUPPLÉMENT. 201 Fu'—Fé— Fos, Fu'—Fé+F@,
la quantité précédente s’accordera parfaitement avec celle de l'art. 59, présentée sous la forme tang 0 + csin 6 sin g sin @ sin 2A4 D 1 + c° sin 8 sin #æ” sin @ sin À” Ce premier cas est celui des fonctions de troisième espèce à paramètre logarithmique ; les deux autres se rapportent aux fonctions à paramètre circulaire, pour lesquelles la quantité logarithmique se change en arc de cercle.
Soit donc, 2°. n — — cot° 6, le second membre de notre équation de-
: sin & cos 6V/—1 1—ZV/—1 viendra RE COTE 08 Cri , en supposant
7 cot GA sin @, sin @, sin @3 1— COS5 COS P, COSP: COS P3 ?
d 1— ZV—1 — 242 V/— 1 mais on a log eee) == PART 2 NT Re 2W/— J arc tang VA Donc la quantité précédente — aan es : arc tang NEA PER RUE DRPAEREI A6 1— cos” & cos @, cos Pa COS O3
,. , do = — pr Gonc pour 1 intégrale IIo == fe oran 6) cr. on aura la formule
sin 6 cos & cot SAS sin @, sin @, sin IQ, +119, — Ups= arc tang ur :
ce qui s'accorde avec la formule (k"), tome I‘, page 75.
Un résultat semblable s’obtiendrait dans le troisième cas, où l’on a n—1—#"sin 6, et qui appartient également aux fonctions de troisième espèce à paramètre circulaire ; mais comme ce cas se ramène facilement au cas précédent, nous croyons inutile de nous en occuper.
Autre manière de parvenir à la propriété fondamentale des fonctions elliptiques.
251. Nous avons partagé la fonction gx en deux facteurs @,x —=1—/#°x, Q,x —1—xX*; Ce qui nous a conduits à une équation du quatrième degré, d’où nous avons deduit les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques.
On peut parvenir plus simplement aux mêmes résultats en faisant usage d'une autre décomposition de la fonction gx.
En effet, soit @x —=1+x, @,x —=(1— x) (1 — kx*). Si l’on fait
Tone IIL. 26
en même temps fx —a+ax et 8x = c, il faudra satisfaire à l'équation
(a+ ax} (1 Hx)—c(1— x) (1 — Aa) = (x — sin @,) (x — sin @,) (x — sin we).
ps X—=—7, On a les deux équations
En y faisant successivement x — :
de condition (a, + ak} (+4) = (1 — ksin®,) (1 — k sm.) (1 — k sn), (a, — ak} GG —k) = (Gi + k sine.) (1 + k sing.) (1 + k sinw); d’où l’on déduit k' (a, — ka) = + Ag,Ap, A.
Par les coefficiens de x° et x°, on a encore les deux équations de condition M, — Ch = 1, do— C?— — sin 9, sin @, Sin k.
De ces deux dernières on tire d, — Ra —= 1 + Æ sin, sin, sin p.
Donc on a sans ambiguité | AG,AQ,Au = k + k'ksin ®, sin ®, sin Désignons par F?, le complément de Fou, en sorte qu’on ait Fu+F@—F'#.
. ; . . cos On pourra substituer dans cette équation les valeurs connues sin uw = — ) k' Fe Au = —, ce qui donnera AG3
AQ,AP, —= A; + k? sin ®, sin @, cos @3.
On obtient ainsi directement l’équation algébrique qui correspond à l’équation transcendante F@, = F@, + Fo,
{ V. Des calculs nécessaires pour déterminer les coefjiciens des polynomes 8x et 8x, ainsi que les N auxiliaires qui ont lieu dans la classe dont le rang est N.
232. Nous avons vu qu’en appelant À le degré du polynome @x, À, et À, ceux de ses deux facteurs @,x et @,x, si l’on prend à volonté le nombre #, qui détermine le degré du polynome complet 8x, on peut toujours prendre le nombre m, degré du polynome 6,x, de manière que le nombre 2m + ?,, qui exprime le degré du produit (8,x)@,x, soit égal à 27 + À,, degré du produit (6x}@,x, ou soit seulement moindre d’une unité ; le premier cas ayant lieu lorsque À est pair, et le second lorsque À est impair. Les choses étant ainsi préparées , on aura ue = 2n + À,, c’est-à-dire que le nombre des facteurs du second membre de l'équation (2) sera 27+ 7. L'identité des deux membres de cette équation donnera donc 27 + À, + x équations de condition; sur ce nombre, m + n + 2 sont nécessaires pour déterminer les coefficiens des fonctions x, 8,x, au moyen d’un pareil nombre de termes pris arbitrairement dans la suite x,, x,.... x, Lies N autres équations restantes serviront à déterminer les N autres termes de cette suite. Ainsi l’on voit qu'il y a dans ces calculs deux parties distinctes, l’une qui détermine les coefficiens des fonctions x et x, l’autre qui détermine les auxiliaires, par le moyen des g — N termes pris arbitrairement dans la suite x, , He rit
Le nombre des termes qui composent le premier membre de léquation (3), représenté par 2x, sera en général w ou 27 + à,, et il pourra augmenter indéfiniment, à mesure qu’on prendra 7 plus grand, mais il pourra aussi être plus petit que 22 + À,, et même ne pas excéder N + 1, quelque grand que soit n; car on peut supposer nuls, ou plutôt infiniment petits, plusieurs des termes pris dans la suite x,, x... æ,, et le nombre peut même en être porté jusqu'a w — N— 1, de sorte que le nombre des termes du premier membre de léquation (3) ne sera que N + 1. On peut même, à la rigueur, supposer que le seul terme laissé arbitraire dans la suite x,, x,.... x, est encore infiniment petit, et alors les N auxiliaires on non arbitraires de la même suite entreront seuls dans le premier membre de léquation (3), pour former une équation entre N fonctions, nombre absolument le plus petit possible ; et ce qui est très
remarquable, c'est qu'on pourra former une infinité d'équations de cette sortè, en donnant à z toutes les valeurs possibles. Voici maintenant quelle doit être la marche de l'analyse, suivant les différens cas.
233. Soit é l’une quelconque des quantités x,, x, x. Si l'on fait æ — t dans l'équation (2), le second membre deviendra nul, et du pre-
mier on déduira 0, — Ut /(:) — Me, Soit T — et, et l'on
aura (ro) cHct+ct +... +cnt" =(a+at+at.. + al)T,
Cette équation se répètera autant de fois qu'on aura de valeurs arbitraires tt ts, etc, à substituer au lieu de #, ce qui fera connaître autant de valeurs particulières de T, désignées par T,, T,, T;, etc. ; et comme on a n + n + 2 coefliciens à déterminer, savoir, 4, 4, 4, +... Am) Cy Ciy Cyesee Cy 3 1l faudra prendre arbitrairement m + n + 1 termes dé’laéuite fr AN NE RC ANCIEN eee an CAT LONTS successivement, au lieu de £, dans l'équation (10), avec les valeurs correspondantes de T, on aura m + n + 1 équations linéaires d’où l’on pourra toujours Lirer les valeurs de toutes les quantités
Cm
lesquelles sont au nombre de m + n + 1. Il ne restera donc à déterminer que la valeur de c; c’est ce qui se fera immédiatement en égalant à l’umité le coefficient de x# dans le premier membre de l’équaüon (2).
Si À est impair, ce coeflicient sera celui de la plus haute puissance de x contenue dans le produit (x)"@,x, savoir, (a,)*b,, en supposant que b,x: est le terme de g,x où l’exposant de x est le plus grand. On aura donc (a,)"b, —1, d’où résulte
1 (£ © É c? ae c {2 n
I r et comme — est connu, On aura la valeur de —, et par conséquent celle
de c. Sur quoi il faut observer que si b, était négatif, on devrait néanmoins le prendre positif, afin que € soit réel, changement qui n’aura d'autre effet que d’affecter du signe — le second membre de l'équation (3).
Si À est paif, et qu'on ait pris le degré du polynome 8,x comme il
a été dit (art. 215), le coefficient de x“ dans le produit (8x) @,x sera
(c,)"b,, en supposant que b,x”" est le terme de @,x où l’exposant de x est le plus grand ; on aura donc, dans ce cas, l'équation
(a); — (Cr), = 1,
L an\° Cm\° em mn (&) b, re (2) A Le second membre étant connu, devra être pris positivement, quand
même il serait négatif, afin qu’on en tire une valeur réelle de c, et cette
4 GUN COMM Ca
, CHER a, C valeur étant combinée avec celles de D HU nains 21 on con-
d'où résulte
naîtra tous les coefficiens des fonctions Üx et 0,x. 234. Soit maintenant xt" — À arte HE A 2m LE À,,.., le po: lynome qui résulte du produit de tous les facteurs connus
t (x x" ti) (ai L) (x — ts). ee (x — (an ap € ON NE POCHES SP:
le polynome qui résulte du produit de tous les facteurs inconnus
(TX — lnvnto) (TX — luyngs)e eo (TX — té.) ;
le produit de ces deux polynomes, affecté du signe + ou du signe —., selon qu’on aura conservé ou changé le signe de la valeur de c?, devra être égal au premier membre développé de l'équation (2). De là naïîtront plus d'équations qu'il ne faut pour déterminer tous les coefliciens P,, P... APE de l'équation algébrique du degré N, dont la résolution donnera les N termes non arbitraires de la suite x, , &,, &3....xu.
Cette méthode est générale et ne souffre aucune exception tant que les termes pris arbitrairement dans la suite x,, x,....2, sont inésaux entre eux. On doit même remarquer que chaque valeur de T peut être prise indifféremment avec le signe + ou avec le signe — ; d'où il suit que le nombre de solutions obtenues avec une série de m + n + 1 termes pris arbitrairement est en général 2"+", solulions qui sont toutes admissibles analytiquement, mais parmi lesquelles il conviendra de rejeter celles qui pe donneraient pas des valeurs réelles pour chacune des auxiliaires déterminées par l'équation algébrique du degré N, dont elles sont les racines.
255. S'il y a des termes égaux parmi ceux qu’on prend arbitrairement , la méthode devra subir les modifications conformes aux règles ordinaires de l'analyse. Si, en particulier, on veut que parmi les termes pris arbitrairement dans la suite x,, x,....x, 11 ÿ en ait un certain nombre + qui
soient nuls, ou plutôt qui soient égaux à une même ‘quantité infiniment petite, il faudra que la suite infinie résultant du développement de
Ox + 8x / (=) , suivant les puissances croissantes de la quantité infi-
niment petite x, prenne la forme
x? (A, + A,x + A,x? + etc.); c’est-à-dire que les y premiers termes de la série disparaissent, en égalant à zéro leurs coefficiens , ce qui fera y conditions correspondantes aux y valeurs égales et infiniment petites de x.
L'expression de ces conditions ne sera sujette à aucune difficulté, si la fonction @x n’est pas divisible par x, parce qu’alors la quantité
©) peut être développée en une suite A’+ B'x + Cx?+etc., dont
Qix les premiers termes sont toujours faciles à déterminer, et l’on aura 1m-
médiatement les équations linéaires qui expriment que les y premiers termes du développement de la quantité êx Æ 8x (A + B'x + Cx° + etc.) se réduisent à zéro.
Mais si @x est divisible par x, auquel cas l’un des facteurs @.x, @,x est aussi divisible par x, il n’y aura plus lieu de se servir du facteur
gen Nr / (2), qui contiendrait dans la seconde partie des puis-
sances fractionnaires de x. Il faudra donc développer tout au long, suivant les puissances croissantes de x, le premier membre de l’équation (2), c’est-à-dire la quantité
(a + aix + ax. HAL) OX — (C + CuX ACL + CHEQUE , et lon égalera à zéro les coefficiens de x°, x', x?,... jusqu’à x? exclusivement, ce qui fera y équations de condition correspondantes aux > données égales et infiniment petites. Le reste du calcul sera le même que dans le‘cas des‘racines inégales.
Les calculs précédens sont fondés sur ce que, ayant pris à volonté le nombre 7,-0n déterminera le nombre m de manière que la différence (2n + À;)— (sm À,) soit zéro ou 1, selon que À ‘est pair ou impair. Dans ce système, le nombre des quantités non arbitraires de ‘la suite Liy Lire. Xÿ est'toujours égal au nombre N, qui désigne la classe des transcendantes dont on s'occupe ; et l’on trouvera facilement que le nombre
des quantités non arbitraires deviendrait plus grand si l’on déterminait m de toute autre manière.
$ VL. Formules pour calculer par approximation les intégrales dx dx Na Vi x)? Ve frs
236. Nous nous proposons de développer avec quelque étendue les
propriétés de la transcendante x — Es ,) en
@x = 1 — xÿ. Ce cas, qui appartient à la seconde classe des transcendantes comprises dans le théorème général, est à peu près le plus simple de ceux que nous pouvions prendre pour exemple ; mais il suflira pour donner une idée des nombreux résultats qu’on peut obtenir, dans l’analyse de ces transcendantes, à l’aide du beau théorème dont la découverte est due à M. Abel.
Pour cela, nous commencerons par examiner le cas le plus simple de tous ceux qui répondent à la même valeur de @x, c’est celui de l’inté-
d , L] = \ grale Lx — f° Sara , qu'on supposera toujours prise à compter de J ns
supposant RE a
Cette intégrale, dans le sens positif, ne s'étend que depuis x = o jusqu'à x—1, Car passé x —1, il est clair qu’elle deviendrait imaginaire : aussi verra-t-on, dans tous nos exemples de calcul, que les valeurs positives de x, prises parmi celles que nous avons nommées auxiliaires ou non arbitraires, n’excèdent jamais l’unité. À la limite x = 1, l'intégrale est complète, et l’on peut en exprimer la valeur exacte au moyen des fonctions T, qui en donneront en même temps une valeur très approchée.
Dans le sens négatif, le signe de x change, et l'intégrale 4 (— x) de-
: . dx .
0 ques Ha vient — x, en supposant d'x — 1 AA Cette nouvelle intégrale
s'étend de x—=0 à x —+; sa valeur complète sera donc représentée par
! +, et l’on sait, d’après la théorie des intégrales Eulériennes, qu’elle peut encore être exprimée par les fonctions F. Nous allons d’abord donner les expressions de ces deux fonctions complètes, ainsi que leurs valeurs nu-
mériques approchées.
EL , . dx A . 0 . 21 237. [intégrale f Ti devant être prise depuis x = o jusqu’à x = 1, si l'on met x° à la place de x, elle prendra la forme.......
at — ] Lip . 0 .
JEx5 dx (ri — x) 7", et ses limites seront toujours x — 0 et x —1;
mais, par les propriétés connues des fonctions T, on a (tome IT, page 417) pour les mêmes limites la formule
da, As rpTrgq Pda (1 ANT = — x f En T(p+9) Donc l'intégrale complète | Tir + T(.20)
NT En di = 3. T2 'hERE tn (1470) quantité dont le logarithme se trouvera par la table des fonclions F, comme il suit :
Ze. : .10:04909 8040014
Diese 0.24857 49363 47 T(1.20)... 9.096292 25038 14
