COS
Ces fonctions sont données immédiatement et sans interpolation par la table IX , et il en résulte :
M4{'2 — 2.133509 02639 = 2F'c — 1.006269 37403. Calcul de l'aire [ yde.
330. Nous devons observer, avant tout, que l’aire que nous cherchons doit avoir huit valeurs égales deux à deux et de signes différens. En effet,
: i LEONE
dans l'expression de l'ordonnée y = 2P° 4Q° *cos A, où A—2-—%0 +9, les quantités P et Q représentent des modules de quæfités imaginaires, lesquels sont toujours supposés positifs et réels. Il en est de même de
; à : Ca
leurs racines quatrièmes ou deuxièmes, telles que P*, Q*; car, dans ce cas, la multiplicité des racines n’influe que sur le facteur angulaire, tel que COS &+ /—1 Sin & Où COS® —ÿ/—1 sin @, qui accompagne le module: ainsi
le facteur Pr*Q7* sera toujours considéré comme réel et positif. Mais il faut examiner ce que devient l'angle À = À — £ + 19; comme l'angle @ est déterminé par sa tangente fonction de p, lorsqu'il sera attribué une valeur particulière à p, la valeur de @, ainsi que celle de w, pourront être augmentées ou diminuéés, à volonté, de 180°, 560°, 540°, etc. , de sorte qu'à raison de +9 l’angle À pourra être changé en À Æ 90°, À Æ 180", et qu’à raison de © il pourra être change en AH 155°, A 45°, etc. : donc, au lieu de cos À, on pourra mettre dans l’expression de l’ordonnée celle qu’on voudra des valeurs
cos (AH g0°), cos (AE 180°), cos(AZH 135°), cos (A + 45°).
Il ne résulte de toutes ces formes, quand même on prolongerait la série encore plus loin, que les huit valeurs différentes
cos A, smA, (cos À + sin A)sin 45°, (cos À — sin À) sin 45°, — cos À, —sin À, —(cos À + sin À) sin 45°, — (cos À — sin À) sin 45°. Il n’y aura donc que huit valeurs de l'intégrale fydp, lesquelles seront égales deux à deux et de signes contraires.
On voit de plus qu'il suffit de calculer deux de ces valeurs, par exemple, celles qui répondent aux ordonnées y — 2P74Q7 cos A, y'= 2P74Q sin A; car en appelant Ÿ et Y’ ces deux intégrales, on en connaîtra immédiatement deux autres, (Ÿ + Y’) sin 45° et (Y — Y') sin 45°, et ces quatre intégrales, jointes à quatre autres qui n’en diffèrent que par le signe, seront les huit intégrales cherchées.
352 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES , 331. Venons maintenant au calcul effectif des deux aires désignées par Yet Y’. Voici d’abord les données du problème :
8 ; rl RL cos = 35; sin 0 — CG ; a —= 24/(1.92), log a = 0.357185 53028 3086,
LI" Re + CAME COS 2ÀA — V7” sin 217 75”
Pour avoir une valeur approchée de l'aire f'ydp, nous partagerons la base a en dix parties égales, et chaque partie étant appelée e, on aura e —= 0.235542 64765 1, log e — 9-37185 53028 4. IL faudra donc faire successivement p = 0, e, 2e, 3e,... 10e, et calculer les ordonnées correspondantes par la formule y = 2P71Q À cos À, À = à — 20 +19; mais, pour plus d’exactitude, nous calculerons en même temps les ordonnées intermédiaires qui répondent aux valeurs p=+#e,îe, 2e, etc. Nous joignons ici, pour exemple, le calcul des trois premières ordonnées , tant de la série y que de la série y”.
Soit, 1°, p = o.
Si l’on prend, dans ce cas, les valeurs les plus simples des angles ? et w, on aura | O0 De ON ET A = (4.5) cos À, r'=(4.5} sin À.
COS À..... 9.79246 50836 sin À..... 9:89460 34634 (4.5)... 0.32660 62569 0.32660 62569 AL TR SN 0.11907 13405 D CURE 0.22120 97203, Y = 1.31544 090, J!' = 1.66421 610.
DO 0 D = 0) e*sin 2À..... 8.735180 91483 4 e* cos 2 = — 0.0128 PA LE AE Re 0.60205 99913 2 p° cos 2 — — 0.0032 p'sin 2À.0 4. 8.120974 91570 2 1H p" cos an =, 0-0968 1 p°cos 21. 0.099860 80293 Sn Em tang ©,...... 8.138114 11277
TP. 2.55,75216 51.43.28,09918 éco... 34.52,18963
APN: 55 O0 P'#..... 0.00101 41888
Q'æ:. 0.02548 91116 P'RPRUe 1 0.350102 09997
