SAC

d'A d'A | dJSA MA

on 2 EE + À ee | eee 2 mm

F(c, €) = 1.16847 683or.

Pour le module b — sin 60°, la même table donne F(b, 64°) et ses différences comme 1il suit :

A d'A d°A A d'A SA F(b, 64°) = 1.32094 2900 | 2798 3527 | 36 7743 | 3223 | — 877 | — 105; il en résulte F(b, €) = 1.532254 03645; puis faisant la somme de ces deux fonctions, on aura Mia = 2.49101 71940.

Calcul de A'6.

Les formules sont de me RIM LOS PRE pra ah x? (r . x3) x? (x — kB)

il faut y substituer les valeurs x = 6, log 4 = 8.85610 49049 33, log (1-+ A) —o.10310 18514 25, log(1 —#)—0.86454 12240 65, et l'on trouvera

log. cos w — 9.098313 52083 13, log. cos w’ — 9.094488 11488 7, 0 = APS 1 5157080! w! — 28° 15 36",13986, ou œo — 15°,86432 508, ou w! — 28°,26003 885.

- La table IX donne pour le module b — sin 60° la fonction A—F(b, 15°) et ses différences comme il suit :

A d'A 0.26406 3548. 51 | 6 Gio7 | 4450 Faisant donc x — 0.86432 508, la formule d’interpolation donnera F(b, ©) = 0.270956 62404.

Pareillement, pour le module c — sin 30° la même table donnera la fonction F(c, 28°) et ses différences comme il suit : A d'A d 0.409344 86289 | 1797 23194 | 3 53595 | 9658 | — 286 | — 22

Joignant à ces données la valeur x —0.26003 885, on a par la formule d’interpolation

F(c, w') —= 0.49811 87832 d’un autre côté, F(b, w) = 0.27956 G2404

donc M\V'6 = 0.77768 50236.

Nous avons déjà trouvé

1 = 2.120903 38265, Mia = 2.49101 71946;

M(Li+ da — AN'6) = 3.84226 59975.

La constante du second membre diffère très peu de la constante connue F'e + F'b —= 3.84226 Goo23.

La différence n’est en effet que de 48 unités décimales du dixième ordre, ce qui fait à peine 5 unités décimales du neuvième ordre. Or, l’'interpolation de la table IX, pour des modules aussi grands que sin 6o°, introduit nécessairement des erreurs dans la neuvième décimale, qui est le dernier chiffre de la fonction, et il n’est pas étonnant que ces erreurs montent à 5 unités sur trois interpolations; on devra donc avoir exac-

tement ; M(ŸL + da — VE) — Fc + F'é.

Au reste on peut, suivant la remarque déjà faite, partager cette équation

de là résulte

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 349 en deux autres relatives aux modules c et b pris séparément; on a en effet F(c, o) + Fic, © — Fi(c, w') — 1.685795 03538,

Or, la constante de la première équation ne diffère de la constante F'c— 1.68575 03548 que de 10 unités décimales du dixième ordre, et celle de la seconde équation ne diffère de F'b = 2.15651 56475 que de 38 unités décimales du dixième ordre, ce qui s'accorde très bien avec la nature des choses ; enfin, comme on a les valeurs exactes de cos @, cos €, cos ©, cos w/, il serait facile de vérifier, par la théorie des fonctions elliptiques, l'exactitude rigoureuse des équations

F(c, o) + F(c, ©) — Fc, w) = F'e,

Exemple III.

328. Supposant de nouveau À—+, ce qui donne c— pe I k7 et b—=sin 75°,

soit é—— 2, les formules de l’art. 324 donneront p=#<, q ==£7, et l’on aura l’équation à résoudre

L — EX + + — Cette équation ayant ses racines imaginaires , nous les représenterons “ia l'ordinaire, par x = r(cos 0 y/— 1 sin De , Ce qui donnera

Tr = /(): cos ÔÜ = = SE

Comme la valeur r — y/{5.40) = 2.223... appartient à la seconde forme Væ, dans laquelle x doit être compris entre 1 et = 3, il faut regarder

l’une de nos fonctions imaginaires comme une par la formule

PE = fre 5e Te Soit alors x° — 1 —p° (cos 2AHÿ/—1 sin 24), il faudra supposer À constant et p seule variable: cette variable est censée croître depuis p— 0 jusqu'à p— 4, limite qui devra s’accorder avec celle de x : c'est pourquoi il faudra satisfaire à l'équation

r? (cos 28 yes 1 sin 20) — 1 — a° (cos 2A Hy/— 1 sin 2), d'où résulte

a=2V(1:92), cos22=— Vel sin 21 = PE

350 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, Maintenant, puisqu'on a xdx = pdp (cos 27 44/1 sin 2), l'intégrale N'x s’exprimera ainsi, en fonction de p et de À, Lx = f'dp (cos À H-y/—1 sin À) (r Hp° cos 2À + p° sin aXV/—1) * : (4° fps cos 27 — Æ*p°sin 2AV//—1) à, Soit 1 + p? cos 2À + p* sin 2AV/=— 1 = P (cos + y/— 1 sin w), k'3 — Jp? cos 21 — AR sin 2/1 = Q(cos p—y/—1sin),

PNR OUTRE SLR SAVE UPS ASIN 2À APCE Pics 2A — 8—p° cos 2à ?

et enfin

La pe :

Vx= fl 1Q *dpl[cos (À — £wo+ip)+y—1sinm(a—$#eo +rvp)] Ajoutant l’intégrale semblable, qui ne diffère de celle-ci que par le signe de y— 1, la somme des deux sera l'intégrale réelle

Cest donc cette intégrale qui, étant prise entre les limites p=0o, p—a, représentera la somme des deux intégrales imaginaires proposées.

Il reste à calculer la valeur de cette intégrale par la méthode des quadratures; mais d’abord il faut chercher celle de la fonction 4/2 qui répond à la valeur supposée £ = — 2.

Calcul de \'2.

329. Les formules dans lesquelles il faut faire x = 2 sont Mix = F(b, ©) + F(c, '), AR li ltosne mm EME x? (x + k3) as (1— k) On aura donc immédiatement cos © = —2+V5 V3 et (2),

3— be à et — cos w/ ou cos (7 — &°) — Le VrE =£ v4 ( 2) ; donc on a exacte