CHAPITRE XVL mS
^taDg<p'=/(^tang<p)-^(^-tang-<p-l.*i»i^Ç^y . ^-^-eic.}
On déduira semblablecnent tang ^" de ta^ f'j tang ^'" de tang Çi'\ etc.; d'ailleurs on voit que la suite ^, (ff\ ^'\ etc., va toujours en diminuant jusqu'à une limite qu'elle ne tarde pas à atteindre sensiblement
Appelant donc <t le dernier terme de la suite ^, (p\ (p"y etc., on aura en logarithmes hyperboliques F^=rKI(^ tang(45^+i^), on en logarithmes vulgaires
F(p = KMlogtang(45*^+i*)=:RMlog[(tang* + /(i +tang»*)]
840. Pour avoir dans le même cas la valeur de la fonction E^, il faut recourir aux formules de l'art. 76? qui peuvent donner tel degré d'approximation qu'on voudra. Si ou se borne à 20 décimales, le quarr4 de &''" sera toujours négligeable, même en supposant l'angle du module peu au-dessus de 4^^; on
pourra donc supposer 0""'= 1 , et faisant Pnr . ^m -, — i^ on aura E^ =
L'F^ 4. Pc sin (p. Dans beaucoup de cas, on pourra (aire c'^= t , alors on
aurait simplement P = -7-ii — i . Quant aux valeurs de cos «', cos oi^, cos cê"'^
par lesquelles on a r'=c'cosû)', /'=c^çosû>'', r^" =z c'" eos cù'^ ^ elles se calculeront sans connaître la valeur en degrés des aTTg;les e» , par les formules tang a' = b' tang ^', tang «"=i"tang ^", tang a>"* = J^'tang ^"^ ; ainsA on aura directement
^ V^(i + *^ tang* f ') > '' °* \/(i + b"^ tang» f "0 ' \/0 + ^"* tang^çT) *
841. Si ou renouceau calcul par logarithmes qui devient très pénible, lorsqu'on leur donne plus' de quatorze décimales, on pourra néanmoins, par le calcul ordinaire , parvenir à tel degré d'exactitude qu'on voudra dans la détermination des fonctions F et £. Mais il y a un choix de formules à faire, pour parvenir, avec le moins de travail possible, à un degré d'approximation détfirmihé.
S'il est question d'abord de calculer les fonctions complètes F'c, E'c, on pourpa recourir aux sék^ies de Part. 4B , lesquelles peuvent donuei* un d^ré d'exactitu^ indéfini. Mais ees séries ne» sont bonne» a ttmplofjf^w que. locsque'le module ne suppusM pas sin li"*, oui lorsqu'il est pius^gf^nd quQ sm 75'';^àns. tiua les autres/oas, ces séries son* trop peu oonverg^n^, et on parviendra plus facilement aux résultats cherchés par le c^i|l Ms
2i6 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,
différens termes de l'échelle des modules. Ce calcul pourra toujours se faire par les opérations ordinaires de l'Anthmétique.
84 '• En eSet étant donnée la valeur numérique du module ^, on en déduira d'abord son complément b =: ^(i — «*) ^ on aura ensuite les deux
termes c*, i*, par les formules c° = ~^, , b^ = ^^Kr , les deux termes
c°®, i'*, par les formules c^s= [".o? ^'^'^ss^jf ,o> ®* ®"^^ ^® suite.
Lorsqu'on sera parvenu à im c très petit, le suivant désigné par c^, et son complément &*, se calculeront plus facilement par les suites convergentes
" — ' 64 V ^ 16 * ^ i6.ao ^^ i6.2o.a4 * ^^ "*'7 » ^^ 64 V ^ 16 *^ T ,6.20 *^ ^ 16.20.24 ^ ^^ ^^''V'
]a dernière résulte du développement de la formule, ...,./....
Il faudra prolonger le calcul des modules c®, £?•% c*"^, etc. , jusqu'à un terme dont le quarr^ soit négligeable; soit ce terme c^"^ la série dés complémens sera de même terminée à i^"^, ou plutôt i i^""*^, car dans ce cas, on pourrait supposer i^"^= i.
Cela posé, la fonction complète F*c se caloulera assez fecilement par la formule
quant à la fonction complète E'^) elle ne parait pas pouvoir être calcu-^ lée plus simplement que par la formule
E'. = Pc(i-^^-^^-^-.2^q^-etc.);
on obtiendra de cette manière tel degré d'exactitude qu'on voudra, par le calcul de deux séries composées du moindre, nombre de termes possible.
843* Supposons maintenant qu'on veuille déterminer les fonctions F^, E^ qui répondent à une amplitude donnée; il faudra d'abord déduire p^ de ^ au moyen de la formule
