C2UP1TRE U

donc ^-J = 2 CO8 €Uù. V~~jy ^^ > ®^ substituant la valeur donnée par Féquation (v),

y=2 -cosa^^^j^j^^^p^ (x).

Cette formule n'a lieu que lorsque a est < î »; si a est >- ^ », on commencera par prendre la valeur de \^-~\ > laquelle sera

et (m en déduira celle de ("}au moyen de l'équation (q). On aura ainsi, a étant >\n.

i4« Si l'on compare main^nant les équations (r), (1) et (y), on en tirera les formules

V/(i — a?«) (2a— »)8maiP V ï/(i -|-«") 3

la première ayant lieu lorsque a est < g n^ et la seconde lorsque a est >in.

Lorsque n est impair, si on &it dans la première équation ^x ;=: i -— J^ et ii=:j^*— I, les formules int^rales comprises dans les deux membres se rédui- Tont l'une et l'autre à la forme

on voit donc que la partie de cette dernière intégrale, prise depuis ^sso jusqu'à T^ssi, et la partie prise depuis j^= i jusqu'à 7* ssoo , sont entre

elles :: cos — : I.

sil'onfiût

^i8 INTÉGRALES BULÉRIENNES ,

on obtient d'abord >$oit J9 z=:2a et g^n — a, on aura

et en achevant les substitutions, il viendra

/(-'^-fer)=«'---C-^J^

cela posé, il Ëiut distinguer deux cas, selon que â est ^\n oxL^jn. Soit, 1*. a ^^/s, on aura par les formules du n^ 1 3,

V» — a/ asm^am \ a J asxn^am J |/(i+«*)

donc

Soit, a\ â>'3'», on aura par l'équation (b),

mais en faisant a = n — - ^, on a et par l'équation (v) , on a

»— ac

«.11 r MT'^dz

Donc au lieu de l'équation (a') , bu aura

Au reste, cette dernière équation se vérifie immédiatement auinojr€n.de la fonction P=z«— t» ^/(i •i-s»)— .g'^ qui s'évanouit dans les deux limites, lorsque 2=o et lorsque 2 = 00 ; car si on prend la dlflerentielte ile t^te fonction , et qu'ensuite on l'intègve , on trouvera

CBAPITRE M. %

formule qw m dittàre pta de la précédlciita, parce qi/cft meiftœl - au Ke«r

— ;pqr— — se change eu / . ^.g»)^ ^^* limitée étant

toujours z:=s o^ zzzs. co.

16. Considérons enfin, dans la supposition de n pair, la formuJe

si on fait X"^ = 1 + 2* 9 on aura par la substitution ,

et Pint^rale du second membre devra être prise entre les limites 2 = 0, z=s 00.

Maintenant, par la combinaison des équations (x) et (c^), on obtient

et par conséquent aussi ,

De ces deux-ci on conclura

d'où l'on voit que n étant pair, il suffit d'avoir les valeurs de^^ pour tous les^ cas où a ne surpasse pas ^n, et qu'ainsi le nombre des auxiliaires néces^ saires ponr âétcnniBer toutes les fonctions r^ j qtrr répondent à une même

valeur de /^, se réduit à 7 ou —j^-y selon que n est de la forme 4^ou4^ + a.

17. A l'aide de l'équation (df),. on trouvera* des relations entre les auxiliaires A, , A^, As, etc., qui réduiront leitf* nombre comme il vient d'être dit. Pour cela reprenons la £iraudf (l),

AtfAo^i • • • • Afta.i sin (a -^ 1) «f sin (a«f>2) «» . . . sin aa#

fin «# sin a». . .8ina#

elk^dpnne, en fiiisaotn:;;: a/»-,

(m^^a\ Ain,^ . Aw-tf^i . . • Atm^aa^i 8iD(ii>— a+')<»8ip(^"*Q''f ^j^"»^ « »sio(amr^»aa)» ï»— a/"^ * . $iii«»8ina4f. . .sm(m— a}« *

38o INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

substituajït ces valeurs dans l'équation (d'), et faisant les réductions dans l'hypothèse o<îm, on aura généralement

^a^a-t-f "At,i i sii](m— i)«8m(in — 2)m. . .sinfm-^a+iV ^ i\

Am-iAai.^. . 'Am.^ 8maafsin(a-f-i)<v. « .siQ(2a-^i}« ^ '

De là résultent, en faisant successivement a = i , 2, 3, etc. y des équations particulières qui peuvent être mises sous cette forme

A«i.| = A|.a~sina»

»— . = — T — .3 "•sinoûtf

Ai

A,B 8 = -^.2*"^-sin 5û»

AÂeÀ* 1^1 .

««4 = ■^-•2 -'Sin7û>

Elles devront être continuées jusqu'à ce que le nombre en soit ^-^^ ou

18. Par exemple, lorsque » = 12, il y a cinq auxiliaires A=(^), k^^={^\ As=:(f), A4=(^) , A5 = (f ), entre lesquelles on a ces deux équations

A5 = A| . ^ sin û>, A/ = -4 — . 2^ sin 3û>.

' Ai

De sorte que le nombre d'auxiliaires nécessaires se réduit à trois, pour lesquelles on peut prendre* A,, A,, Aj.

Si on préférait de prendre pour auxiliaires trois des quantités M^ , il faudrait avoir recours aux équations (u), lesquelles donnent

sinaf

sin 2«# ' A a A3 Ma âin'.2«»

AiA, *"" M, * sînStfsin/^''

A4A5 __^ M3 sin*. 3a»

AftAa """ Mft * $in5a»$in6«i'

Au moyen de ces équations et des précédentes^ observant d'ailleurs qu'on

a ft> = — , on trouve 12 '