CHAPITRE II

si 1 ou fait

I — x-ss-A , ou a-Œ j ±1 v/<4 — 2») ,

la transformée sera '

Quant aux limites de cette nouvelle intégrale, il faïut observer que les valeurs a:"=o, x* z=z~^ a?*=i donnent respectivement z=o,2= 1,2 = 0. D'où l'on voit qu'il faut prendi*e deux fois l'intëgrale en z, depuis z:=:o jusqu'à jB =: I. Et comme alors rien n'em|iéche démettre ;r à la place de z, on aura

cette intégrale est ainsi réduite à la forme la plus simple dont elle soit sus* ceptible , puisque le radical n'est plus que du second degré. -

1 1 • Si dans celte formule on met n — - a à la place de a ^ on aura

//i — a\ ^ 1 4. le rx^-^'-'àx

de là et de l'équation (q) résulte cette formule vemarqutfUe qm éBBBe le produit de deux intégrales :

V/(i — X-) V V/(« — *•) — n — aa W-

12. Puisque les fonctions T-^ sont les plus simples enire ies ifoiKliony (^ j

non comprises dans les formules (c) et (1), il semblerait convenable de les substituer aux auxiliaires désignées par A^ , pour exprimer par leur moyen

toutes les fonctions T-J.

Dans cette vue, désignons en général la fonction (-JparM«; comme on peut supposer a ^ 7 /», on aura par ilaîformule^)^

valeur qui , au moyen des équations A«.i;^ =: Au ain (/i — - A*) o» = sin À^, se réduit à cette forme

M A^Atf^,., .Aj4u-i sio (g^ >J o sig (o"4" ^ ^* * *»ip s>^»^ /^n.

576 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

d'où l'on tire successiveoient «

MA 8in 20» 1 = Ai—, — ,

M^^ A» A 3 sin 3a» sin 4*»

A, sm a» sin aa»

• -. ^__ AsA^As sm ^ sin 5a» sin 6» ^ Al Aa sm • sm a« sm o#

etc.

Ces équations, qu'on p^t mettre aussi sous la forme -^

A^g sin •

sm 2# AftAs Ma sin* 2a»

AiA, ""^Mi ' 8in3#sin4« > (u),

A4A5 Ma^ sin* 3a»

A^Aft "^Mft * sin 5«# sin 6«»

^ etc.

senrweBt à clétex%niner les auxiliaires A., A^, Aa, etc.> au moyen d'un égal nombre de quantités Mi, M., Mj, etc., prises dans l'ordre convenable. On

pourra donc exprimer par ces dernières quantités toutes les foutions T- j

qui répondent à une même valeur de n.

Mais il faut observer que ces substitutions ne peuvent s'eflTectuer que pour des valeurs particulières de n, et qu'ainsi par l'emploi des auxiliaires M«, on ne peut parvenir à des formules aussi générales que le sont les formules (k) et (n).

i5. Considérons maintenant la formule

a^-^^-'dx

si on ÉBÛt JCT* s= 7 -f- i V^ (i 4* 2*), on aura la transformée

dans laquelle il £Eiudra prendre l'int^rale depuis s =s o jusqu'à 2 = co , et qui d'ailleurs suppose a^jn. Mais en vertu des 4]uations (e) et (p) , on a

a sm aam

a sin am '