CHAPITRE VIL

Des Intégrales Eulériennes de la seconde espèce.

44* vjONSiDÉAONs maintenant Fintégrale/a:*"''^^? 0%*) f V^^ nofjs supposerons toujours prise entre les limites or = o, a: = i. On a d'abord, en intégrant par parties,

/^.^(/iy==(/i)-+£ /,r-.^(/i)-;

et comme la partie hors du signe s'évanouit aux deux limites, pourvu qu'on suppose n^ o, on aura alors

faf'-' dx (log;)* = 5 A^' ^ O^g;)""' J (*)

et en général , si 7» est un nombre entier positif,

4oÇ WTÉGRil^ EULÉMENNES,

Lorsque n ne seta pas nn nombre entier, l'inlëgrale faf^^^dx Mog • ^

sera en général une transcendante dont il convient d'examiner les propriétés.

Et d'abord, au moyen <le la formule (a), qu pourra toujours ramener cette transcendante aU cas du Fêxpô^Bt n est compris entre o et

Déplus, f observe que sans rien diminuer de la généralité du calcul,

on peut faire m=(i j car la formg^Ie y^f^'^flog - i étant proposée, si Ton Élit a:*=z, cette formule deviendra -ji^^fàz \}o^-j •

log- J , dans

laquelle nous supposerons que #. est positif et plus petit que Tunité. Cette quantité étant simplement fonction de a, nous la désignerons par T{a) et nous ferons

L'objet des recherches suivantes est d'évaluer la fonction F (a), lorsque a est une fraction rationnelle donnée, tdle que |-,' j, |, etc., et nous nous proposons particulièrement de comparer entre elles les fonctions qui

répondent à des valeurs de a de même dénomination , telles que T \r^ ,

r f^J , etc. Enfin nous chercfherons aussi à déterminer par approximation

la transcendante T{a) pour toute valeur de a rationnelle ou irrationnelle.

46» &> |>FQwqti les ipbégraies 4epui3 xvx^o jjiSfii'i ocrp: v ^ et eijpposant /» > I , on a cette fornjiule de xéductipn ,

d'où il suit que ^ /7i est un entier, on aura exaetement

*^ ^ ^ et. et -(-Cet -f- 2il..«,4.4' (^ "^^ ^

, Désignons par * (^^ /w)^ l'iptégjr^e ya:*'^?rfa:(ii— j;^)'"*"', prise depuis or =0 jusqu'à :c = i , et dans l'hypothèse que /Tt est un entier positif, on aura donc