CHAPITRE IT. . 4ô

cette intégrale devant être pr^e depuis 2 = 0 jusqu'à 2=1, elle se téduit à — ' — 1 r-t ; donc on aura ' r ^ ,

p(«) = ^^ . pc— 0

211»+ I * 27»(2ll»+l)*

La première valeur

donc on aura successivement

P*» = log 2 , P' — - ? P» '

pw sa: - P" — *i-

etc.

Au moyen de cette loi très simple, ou calcukm^ém^t les différens termes de la suite décroissante" P% P'>P^ V\ etc. Ensuite 6n aura Sspar la formule

ce qui donne une approximation très rapide, puisque chaque terme est moindre que le quart du précédent.

En calculant cette suite jusqu'au terme P^' inclusivement , on trouve Sf = I • 2020567. Euler a trouvé p^r la méthode dpnt nous aycois par)é , et en poussant l'approximation beaucoup plus loin,

Ss^ i:20ào^6§o^iSg5g4o^H

(Voyez Cale, diff.^ page 453.)

43. Poar trouver car des procédés senablables la valeur d^ \^ transcendante Ç, dcfneurée inconnue dans 4e^ équations (u^, j^observe qu'on a

4o4 mi^GRALES EULÊRIENNES,

de là je tire

(4,6)--(5,6)W7^^. = ÏÇ— â*-;

donc

tout se réduit donc à trouver la valeur de cette intégrale.

Si on &it successivement 7 = : {i —u)jjr=i\ (i +U), et qu'on ajoute les deux transformées prises positivement, on aura

nouvelle intégrale qui doit encore être prise depuis ti=: o jusqu'à u = r • La première partie de cette intégrale

y-3-+?-= v^ Ï*>S 4- arc tang ^,

et en faisant u = i , elle se réduit à

alog 4 ^ ^, ajrjog^ 1/3 • 6 ^ 3v/3 • X.'autre partie

étant appelée T, on aura par le développement de la fraction,

or, en intégrant par parties, on a .

/-"-<*"»«<•-"•) = ^Sïf' ">«(-«*) +/^St^ ■ r^ .

et puisque la quantité (i — • tt*"^*) log (i — a*) s'évanouit aux deux limites . de l'intégrale , on a simplement

— «•■ ^ioe (i— w*) = p-r / r— . azida

Développant la quantité sous le signe et intégrant depuis ii=o jusqu'à ii=s: r,