CHAPITRE IX
s'exprimer par la suite :
P = *^+iAa:Tx)~*+j^-.3^-t-5^-etc.,
A', B', es etc., étant les nombres BemouUiens. Soit donc e le nombre dont le logarithme est i , et R un nombre tel qu'on ait
on aura l'équation
i.a.3... •.a?=r*J (a^x)* R. (lo)
Le premier membre est la valeur de F ( i -f" ^) lorsque x est un nombre entier ; mais comme le second membre est une fonction continue de x^ on aura en général quelque soit or, \
r(c4-a:)=0y(a*ar)'R, (n)
telle est la formule par laquelle on pourra dans tous les cas déterminer la
valeur approchée de r(i +Jp), et par conséquent , celle de \x^=z ir(i+j:), pourvu que x soit > i.
76. La quantité R peut se développer suivant les puissances de - ; car on a
R^ 1 +logR+| log' R H 5 log* R + etc. ; substituant donc la valeur
de log R , ainsi que celles des coefficiens A', B', C, etc.^ qui sont A = | , B' = yj, C=:^, iy = |^^ etc., on aura
^ 12* ^ 2(iax)* 3o(i2i0^ 120(120:)* ^^^*
Dans cette suite, si on appelle M la partie qui contient les puissances paires de ^, et N celle qui contient les puissances impaires, on aura M*-— N*=3i,
de sorte qu'on pourra prendre indifféremment R = M + N,ouR= * ,
En effet, comme toutes les puissances de x sont impaires dans log R, le changement du signe de a: donnera log (M 4- N) = — log (M — N), ou log (M* — N') = o; <ïonc M*— N*= i.
76. Il est à -remarquer que la suite ""a"!? "t" 5 ^~*^tc«, même
en supposant x assez grand , n'est convergente que dans un certain nombre des premiers termes; car on sait que les nombres BemouUiens dont les expresûons scmt fort irrégulières , croissent continuellement passé le troi-
426 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
sièma terme, de manière que si T^*^ et T^*~^*> sont -deux termes coasécuii& des rangs n ^ /i -h i , le rapport -pôô* ^ P^*"* iânile — . La Buîte qui exprime log R sera donc convergente pendant un assez grand nombre des pre* miers termes, si x est de plusieurs unités; mais elle finira par être diver* gente, et donnerait une valeur de log R d'autant plus fautive qu'on la continuerait plus loin au-delà du terme où elle cesse d'être convergente.
De là on voit que pour une valeur donnée de x, il y a un terme qu'on
ne doit pas passer dans le calcul de ia, suite — «—a + ^'^^•> 1? terme
auquel il faudra s'arrêter est celui qui serait suivi d'un terme plus grande alors l'approximation ne peut aller plus loin , mais elle sera tout ^ussi étendue qu'on voudra , en prenant a: suffisamment grand.
U en serait de même de la série Rc= i -| 1- -7 — r- — . etc.; mais
celle-ci n'est pas d'un usage aussi facile que la série + ^ ^ -f- etc.,
dont la loi est manifeste et ne dépend que des nombres BernouUiens»
77. On peut fixer a priori le nombre des termes après lequel cette dernière
suite cesse d'être convergente; car en considérant tes deux termes con*
sécûtifs
