CHAPITRE VIII

lier, on a généralement

nxf-'dx (i — xV-' = y-ury — 2....I ^ £

Mais dans la même hypothèse on a, par l'équation (i),

Tq = 1.2.5. . ...9 —• I,

donc la valeur de l'intégrale trouvée peut se mettre sous cette forme

On aurait trouvé le même résultat en supposant p entier et q un nombre quelconque, ce qui d'ailleurs se voit immédiatement en mettant i — x à la place de x.

62. L'oquation précédente ne contenant plus de facteurs en nombre indéfini , acquiert une plus grande généralité , et ne suppose plus que l'un des deux nombres p et q est entier ; car d'ailleurs chaque membre doit se réduire à une même fonction de p et q, laquelle est

Nous aurons donc, quels que soient /i et ^, l'équation

r -1 rprq

IP7 9J — r{p + qy

qui sert à exprimer généralement la fonction [/?, q] au moyen des fonctions r.

63. L'équation (3) simplifie considérablement la théorie des fonctions Ï^Pf 9] puisqu'elle fait voir que ces fonctions, qui dépendent en général de deux variables, peuvent se déterminer par la fonction F qui n'en contient qu'une. Cette même équation, en établissant une relation entre les fonctions [/7, q'] et les fonctions T , va donner les moyens de découvrir les propriétés des unes et des autres. Et d'abord on voit que dans la fonction [p^ 9] 9^^ quantités p et q peuvent être -échangées entre elles, puisqu'il en résulte toujours la même valeur de [jp, q"]. On a donc la formule

[Py 9] = l9yPl ^ (4>

On a ensuite, d'après l'équation (3)^

4» 8 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

rP-4-<7 ri =5 r(/>-f-g)rr li'-^^j'J —rOj + î + r)'

et celles-ci étant multipliées entre elles donnent

Si Von observe^ maiatenaat que dans le second membre de cette équation deux des lettres /7 , Ç ^ ^j peuvent être échangées entre elles à volonté, on en conclura cette nouvelle formule :

Lpy ç] [p+9> '•] = Ipy ri 0+^1 9] = [9^ ri [7+^ p] > (5)

laquelle contient une propriété fondamentale des fonctions [p^ 91»

Ces propriétés y au reste, s'accordent avec celles que nous avons démontrées dans les Chapitres I et II, relativement à la fonction désignée par

r^J; mai» elles ont dans notre nouvelle notation une plus grande géné«*

ralité, puisqu'elles ne sont pas restreintes à la supposition que p et ç soient des nombres entiers ou seulement rationnels.

64. L'intégrale |j9, if] peut être déterminée exactement lorsque p^q=z i ; en effet , considérons la formule

si l'on fait i -*-a?=:-, ou jc=s— — -, l'int^ale aura pour transformée

, laquelle devra être prise entre les limites 2=0, z = oo. Or, Euler

a prouvé que cette dernière intégrale =s ; ainsi on aura généralement

*• ' -* $10 or

Mais par Féquation (3) on a aussi

Donc entre les fonctions Fa, r(i — a), on a cette équadon très remarquable

rar.(i--a)Œ-7-^ : (6)

1^ / fin or ^ '

CHAPITfiE VIU. 4tg

c'est h seocmde ptopnélié çewajle des finiodotts T. Sixm int ass: l^iitm

résulte r5= v/^-

65. On voit par cette écjuation que les fonctions Ta, T {i — a)^ places

symëtriquemenl; dans la première période , peuvent se déduire l'une de l'autre^ puisque leur produit -est toujours une quantité oiMinue. Et parée «que les racines a, i — a sont complémens l'une de l'autre, nous regarderons la fonc* tion r(i — a) comme étant le complément de Fa, et réciproquement.

On a déjà remanftté que ponr •déAemnsier la ftodion Ta dans teute mm étendue , il suffit de connaît» ocfBe ibnctBan dans If pvemi^ période , de^ puis a s= o jusqu'à a = i , ou dans une autre période quelconque , comprise entre deux entiers consécutifs /w, m + i. En veilu de l'équation (6) , il suffira cie coBnaitre la loBCtion Ttf'dans la «Kâtié d'une période, par «xempie depuis a =: o jusqu'à az=zjyOu depuis a:=;z^ jusqu'à a es i.

Dans la seconde pénodeM^les fonctions r{i +a), F (a — «), également •éloignées des extrémités^ la 'période , seront pareîlllement regardées comme complémens l'une de l'autre j et puisque d'après l'équation (i) on a F (i -+- «) = àTa et F(2 — a) 5= (i — a) r(f — a), il s'ensuit que les deux fonctions F(i + a), F(2 —- a) pourront se déduire l'>ivcie de l'autre par l'équation

r ( , + fl) F ( a — ^) = lllJr^.

\ ' y \ / «lin /»*•

sin aw

On trouverait de même, dans la troisième période , que les fonctipiisXj^-;)-a) et F(3^-a).se servent mutuellement de complément, et se déterminent Fune par l'autre.

66. Des formules entre' les fomrtions oomplémenlBires prendront noe fbrme plus élégante en les comptant du milieu de chaque période; alors ou aura pocrr les périodes successives les équations

N* / va I / cosasr'

COBCUF'

-etc.

Si l'on fait a = o dans ces diverses équations, on aura les valeurs des fonc-^ tions qui se rapportent au milieu des périodes , savoir :

Ces fonctions, et ce]le.s où a est un entier, sont les seules qu'on puisse dé-

4ao INTÉGRALES EULÉRIENJVES ,

terminer exactement > sans employer de transcendantes plus composées que les arcs de cercle et les logarithmes.

67. Si l'on considère les fonctions successives T -,r-,r-....r ""' ,

dans lesquelles n est un nombre entier, il suffira de connaître les

premiers termes de cette suite , si /z est impair , et les - — - i premiers seulement si n est pair. Les autres se détermineront par Féquation (6), à taqneUe on joindra, dans le second cas , l'équation F 7 = |/7r.

A l'égard des intégrales f^Jqui, dans la notation d'Euler, répondent à une

même valeur de n, elles s'expriment par les fonctions F , de la manière suivante :

^''-^+,,)re-±i-.)' ^'^

la première devant être employée si l'on ap^q^n^etlz. seconde si l'on a /^ •l-^ > /i.

Au moyen de ces deux formules et de l'équation (6) , toutes les intégrales r^j dans lesquelles les nombres p et ^ sont pris à volonté dans la série i , a,

5 . . •/! , pourront s'exprimer par les premiers termes de la suite tÇ-j^ F T-j ,

F N\ etc., savoir, par ^^^^— ter mes si;» est impair, et par-— i si /i est pair.

68. Gomme on a T- J =s H-j , on pourra toujours supposer que p n'est

fpy

^nt être disposées dans un ordre triangulaire, comme il suit;

pas >ç; alors les intégrales f^J qui répondent à une même valeur de;», pour-

CHAHTRE VUI. 4^1

Le nombre de toutes ces fonctions est donc - (i -f" n). Il &ut déduire de ce

nombre , i ^. les n fonctions de la forme f-j j dont la valeur exacte est - ; 2^ les fonctions de la forme ^ , dont la valeur est — - — ; le nombre de

i»8in' 7»

celles-ci est ou , selon que n est impair ou pair. U restera donc ,

dans la série des intégrales T-Y un nombre de transcendantes égal à | (n — i)', si n est impmr, et à - (» -* a) si /i est pair. Dans le premier cas , un nombre 7 (/i — i)* de transcendantes r^J peuvent

s'exprimer parles premiers termes de la suite T -, F -, F -, etc.; dans

le second , un nombre - (n — 2) de transcendantes f-j peuvent s'exprimer

par les - — • I premiers termes de la même suite.

De là on voit qu'il peut être établi un grand nombre de comparaisons entre les transcendantes T-J qui répondent à une même valeur de /z, et qu'elles peuvent toutes être exprimées par un petit nombre d'entre elles ; nombre

qui sera '^ ou - — i , selon que n est impair ou pair. Mais ce nombre ,

dans le cas oii n n'est pas premier, pourra être réduit ultérieurement par les autres propriétés de la fonction F , que nous démontrerons ci-après.

69. G)nsidérons maintenant le cas ou les deux nombres pet q sont égaux dans la fonction [/7 , ^] ; alors on aura

Soit j: = -y ( I -1- j^), la transformée sera a'""*/î^ (i — J^Y^* ; et comme

42J> INTÉGRALES ÊHLÉAtENNES,

cette nouvelle intégrale doit être prise depuis j^ ts u— i jusqu'à / = + i , il revient au même de la prendre depuis j^ s= o jusqu'à^ = i , et de doubler le xlêsultat. On aura ainsi

[a,a]z= a^^féfr (i ^/')--«.

Mettant a; à la place de^, ce qui ne c)iange pas les limites , il viendra [a , a] s= ^'"■"ya:"* dx(i — ^)*^, ou

farmule qui s'accorde avec l'équation (i) du chap. II. Mais , d'après l'équation (3) ci-àessus^ on a

r -, Tara ri n T^Ta

donc en substituant ces valeurs, l'équation précédente donne

c'tot la troisième propriété générale des fonctions T.

jo. Il ne sera pas inutile de faire voir comment on peut parvenir à ce résultat par une autre voie.

Gmsidéfdns pour ti^t efibt la fonction '^^(n), dont la valeur est

si l'on met n+ i à la j^tàce de n^ on aura

de li résulte

^jn+i) __ 4n + a.4yi,+ 4 ^^

Dont ^h génét^l 4{^=: A**4'^) A étenl tme cdn^àftle quHl faut àêlêtiïMier dans un cas particulier. Or en Êûsant ;» = i , on a 4(^ ^= 4^ ^(^n^ A=: i ; donc n étant un nombre entier quelconque , on aura

Mais en vertu de l'équation (i), on a

(m + ,) (m+.^)<m-f- 5). . .<m>M)«=î^^^^^. Faisaht successivement m'cà/» et m =: — * i^ cette forttiuïè dChfié

CHAPlXaE Vm. ,4a5

1 3 5 ara— 1 vjn + X)

2 2 2 2 ri

Divisaqt la première équation par la secoode, il vient

27> + 2.2^-1" 4* ' '4^ . rjr(2fi + i)

Lorsque /2 est un nombre entier, le premier membre se réduit à <2*" ; ainsi dans oe même cas on aura

rir(2n+0 ,

Cette équation ayant lieu lorsque n e^t un nq^po^/re entier ^ volpi^të^ ^I^e aura ^alem^nl lie^i pour toute yaleur de n^ puisqi^ Ta est une ^O|];:^c^ion continue de n. Si Tan fait ensuite ^;=ar?-i,.Q9 i:eitq]pç4:ier^ exac^^Çjçit ^ réquation (9).

71. Si Ton oombiii^e l^ual^ion (9) a^çc la prwiièce des équations ide l'art 52, on.ftura Féquatioiii {v) dç l'art 66, dont .nous >avons jinootré l'usage pour déterminera fonction Fiidans toute l'éteudvie de la .çac^e a, pourvu qu'on connaisse la valeur de cette fonction depuis ^ = | jusqu'à f ç:7>i. Qn pourrait prendre «gaiement pour intervalle. oonnu celui de ^^=ss>J^ 0>t^^^ ou oelin de a B= I .à a = I , comme on le ven^ cir^pràs. >

72. Pour revenir maintenant aux réductions dont nous avons parié dans l'article 68, îl faut voir quel usage nous pourronsilaire d^ [l'équation (9).

Si u est impair, il n'y a pas lieu d'appliquer cette équation, parce qu'il en naîtrait de nouvelles transcendantes dans lesquelles les quantités a auraient . des valeurs fractionnaires dont le dénominateur serait 2/z, et qui ne seraient

plus comprises dans la suite des trancendantes T -, F-, T-, etc.

Mais si n est pair, l'applica^ofi 4^ ,l!4qp^tîqn (9) aux valeurs successives a=-, a=-, etc., permettra de réduire le nombre des transcendantes

ri, r^v^tc> à 'î^,o|i|,,s^|on.cjpe n açr^a.de J^,faç«ie,4i«j|-\a,R\i,^'.

75. Toute la théorie des intégrales Eùlériennes, tant de l'espèce T-J que

de l'espèce Fa, est comprise dans le petit nombre de formules que nous ve* niions .d'je;(po6ar. .On .en -pent dé^^iirci, sans «sMeplion, itMpte^ Jks £?rn}^^s fpi'Ekil^^ donoécisudans ses différons Mémoires jturces.intégrales, et'touties

4^4 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

celles que nous leur avons ajoutées, d'après l'ëqaation (d! ) qui n'était pas connue de cet illustre auteur.

L'application de ces formules au cas de naia a été donnée avec détail dans l'art i8. On y a&it voir que, dans la méthode d'Euler, cinq transcendantes A , As,. At, A^, As. sont nécessaires pour déterminer toutes les intégrales T-J ; elles suffisent aussi pour déterminer toutes les fonctions F 17,

r -^ • • .rTr, ainsi qull résulte des formules des art. 5o et 5i .

Au moyen de l'équation (d')f ces cinq transcendantes ont été réduites à trois seulement , savoir, A, , A», A3 , ce qui s'accorde avec le résultat général

de l'art, précédent , qui donne 7 pour le nombre de transcendantes nécessaire lorsque n est un multiple de 4*

Enfin, au moyen de diverses intégrations dont le résultat a été donné, art. 24 9 on est parvenu à déterminer eiactementle rapport de A^ à A3, ce qui réduif. Iaa trois transcendantes aux deux seules A . , A^. On peut donc réduire à deux seulement les fonctions T^, rj\-.»..r7Y,de manière que ces deux fonctions étant connues , toutes les autres peuvent en être déduites.

Cette dernière réduction, qu'on n'avait obtenue que par des intégrations très compliquées, méritait une attention particulière; elle donnait lieu de croire que la théorie des fonctions T devait contenir d'autres formules propres à opérer leur réduction. Ces formules ont en eflet été découvertes par des recherches ultérieures, dont nous donnerons le résultat après nous être occupés des développemens en série qui servent à calculer les valeurs appror ohées des fonctions Ta.

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