CHAPITRE rX

aux tables serait de oalcnler log sin ttx par la formule

/ sin TTX = / (^Jtr) — S.x* — \ S^x* — | Se^:* — etc.,

ce qui retient à faire usage de la première des formules ci-dessus ; mais lorsque X est assez grand pour que les tables douneut sans difficulté la valeur de log sin irx y il y aura un avantage marque à se servir de la seconde formule.

85« On pourra simplifier encore assez notablement cette formule, en lui donnant la forme suivante :

log r(i +«) = i-Iog -^ \ log i^t£

0 > • ' * ^ maux • ^ I — jr • , .

+ (i -C)x-(S,-i)f-(Sr-i)j-etc.

Enfin, pour convertir ces logarithmes en logarithmes vulgaires, il faudra multiplier les termes algébriques par le module m; soit donc

m(i-C) = B, f(S3-i) = B„ 5(S,-i) = B5,etc.,

et la formule adaptée aux logarithmes vulgaires deviendra

/rci+x)= \i^ — \ii±±

+ Bo: — Bjo:^ — Bsor* — ByJp' — etc.

Cette formule pourra servir à calculer log Y a jusqu'à 14 décimales, si l'on a des tables telles que la Trigonometria Britannica, qui donnent ce nombre

de décimales pour / sin ttx; quant aux logarithmes de x et de , il sera

toujours fecile de les avoir avec ce degré d'exactitude , ou un plus grand encore, par la table connue qui donne les logarithmes des 11 ou 1:200 premiers nombres avec 20 décimales, et le supplément que nous y avons ajouté. Table V ci-dessus.

Pour (^tenir le nombre de décimales dont il s'agit, il sera bon de calculer le terme hx par la simple multiplication , afin d'éviter l'emploi des logarithmes à 14 décimales, pour lesquelles on n'a point de tables complètes^ ou auxquelles on ne supplée que par des calculs plus longs que la multiplication. D'ailleurs, si l'on applique la formule à la construction d'une table, la multiplication dont il s'agit peut être entièrement évitée , puisque chaque produit B (a; «f* â») se forme du produit précédent Bar, auquel on ajoute la constante B». «

Quant aux autres termes B^y ^51^ y etc. , ils se calculeront par les tables

454 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

ordinaires i lo décimales , au noyai des logarithmes des coeffidens qu'on trouvera d-après , art. 69.

Il ne faut pas perdre de vue qu'on peut toujours supposer Jc < ^ ^^ même xK.\. Dans le cas de a; ss ^, le terme 6,50?'^ ne vaut pas trois unités dédmaies du on^ème ordre ; dans le cas de ^ 2= ^ , il n'en vaut pas tme du quinsièine. Au surplus , quand on est parvenu aux derniers termes de la formule , ces terqtes forment avec las $uivans une progression à très peu prés géométrique ; de sorte qu'il est facile de tçnir compte des termes qui restent à calr culer.

86. La valeur de la constante C a été calculée par Euler ( Calcul différentiel , page 144) f au moyen de la suite harmonique i H — "t^ô»*»*!""» ^^^^^ la somme M {x) est donnée par la formule

M(:r)=C + ^ + i-^ + ^-^ + etc., (a5)

A', B', C, etc. , étant la suite des nombres Bernoulliens. Appliquant cette formule au casde jc;== lo, on a^ par la sommation effective j

M = 2.928^ 8^539 68253 96825, etc., et par la sommation approchée,

M = C + 2*55175 25890 66721 1076; de là ou tire

C ss o«577fiî 56649 ot532 8606,

v%Wur qui s'accorde , dans les 1 5 premières dédmales, avec le résultat dcmné par Euler.

La valeur de C peut se calculer aussi par l'équation (28) , en faisant soit x = I , soit j: := ^ ^ il en résulte ces deux expressions :

I— C=:i/2H-i(Ss— i) +i(S5— 1) H-|(S,— 0 -hetc,

substituant les valeurs des quantités Ss, Ss^ S,, etc., données par la table du n^ 83 , on trouve

par la prei^ière expression C ;= 0*57721 56649 01 53a 85, et par la deuxième C =50.57721 5664^ oi552 861,.

œ qui s'aocorde aussi kûen qu'il est possible avec la valeur déjà trèuvée y et on voit que ceUe-ci est ^exacte jusque dans la dix-huitième décimale. Il suit de là que les vaJiieurs dea Iranseendantes Ss , Ss, S^, ele. , contenues dans k table