CHAPITRE IX

log Tx , lorsqu'on suppose x plus petit que l'anitë. .Soit pour cet efièt

N = J- + î + î + etc.,

cette dernière suîle étant prolongée à Pinfini.

Nous regarderons la quantité M comme une fonction continue de x, puisque sa valeur peut se développer ainsi (Cale, diff^^ page 44^) •

M = logar + C + ^-^ + ^-^ + etc.; (,a)

cette formule donnera immédiatement la valeur approchée de M lorsque X sera plus grand que l'unité , mais on en peut déduire aussi Cette valeur lorsque* or sera plus petit que l'unité. Car M (or) et M(âp+ i) désignant des fonctions semblables de x et de x 4~ 1 9 on a évidemment

M(ar)=:M(a:+i)-^, .-

et l'application répétée de cette formule fera dépendre M(^), successive* ment de M(ar-|- i), de M(x-+-2), etc., c'est-à- dire en général d'une formule M(x'), où la variable sd surpassera x de plusieurs imités, ce qui permettra de déterminer facilement M(j/) par la série précédente.

81. Cela posé, si x devient x^cù^cù étant plus petit que l'imité, les fonctions M (or) et N (x) , deviendront M (a: -f- «) et N(x+a); or, je dis que lasommeM(ar)+N(Ar) c=M(a: + û>)+N(ar + a)),.et que les deuji sommes sont égales à une même constante C^

En eSet, si la suite qui a pour somme N(a?), au lieu d'être prolongée à

l'infini, était continuée seulement jusqu'au terme —7- — , m étant un hoiii*

bre entier très grand , la somme M (ar) + N(x) et la somme M (x •+• û^) -|- ]y(jp-f~^) '^^ pourraient différer entre elles que d'une quantité moindre.

que —7- — -T-- , puisque cette différence est celle qui a lieu lorsque a» = i .

Or, m étant très grand, la différence — r- — ^r— est censée nulle; à plus

.forte raison le dera-t-elle, lorsque la suite N(x) sera prolongée à l'infini. Qo aura dono . . - — • *■ -^

mais puisque la valeur de N est .,..■■ ^ '■ -

4^ INTÉGUALES ElJLÊftlEJNNES,

Si on développe chacune de*cea (bncliona dans l'hypothèse que x est plus petit que l'unité , on aura

- ^(i 4-?+5;+î; + ctc.)

+ ^ (i + p+53+^+ etc.)

— * etc.

lia première partie i + 1+3+4 4" e^^*> ^^^^^ autre chose que lacooatMite C^y car la fMctîoB VLÇx) est eéro lorsque jtsso; donc on aura

M=?S^— S^ + S^o;^ — 850:* + elc-, ' (i5)

S. représentant en général la somme des puissances réciproques , de degré n^ des nombres naturels.

82. Mais, d'igprès l'équation (i) dont le premier membre =. xTx , on a, en supposant a: ^ i ,

dlogTx , t AT . B' C' , ^ ,.^

» '«j blIipu-

et dao^.la ^jiêine hypothèse oa a, suivant l'équation (ta),

donc

<^|(W>jffli qiML 4«it aybic l^w.ydl qwfltjgifcaty puitKfue Blpeobéiiie regmdéa coQjme uive.(i3nctibn coptinye de ^.,

$h^stitqaot donc au, lieu deM.lé deyeloppement de cette fonction donnée par l'équation (3) dans l'hypothèse de a: < i , on aura

^^=-i-C-|-S^-S^+S^-etc., (16)

ce qui, donne en, in tarant

logra: = — logar — Car+iS.^— ;iSs:ï«+^S4X*-^etCM (uj}

On n'ajoute pas de constante, parce que xTx our(i-H^) se réduit à l'unité, lorsque ^=0.

CMAPlTHÉ IX. 01

Puisque T{î+x) z=sxTXj on déduira de la formule (17)

logr(i + a:)= — Cx+iS.o:*— ISaX^-^-iS^a:*— etc., (18) et en changeant dans celle-ci le signe de Xy on aura

logr(i— a:)=Cx + iS.x*4-^S,a:« + iS4X* + etc* (19)

85. Observons maintenant qu'en vertu de» deul éqUatiôoA T{i+x):=icTXy Tx r(i — x)zz

8in wx^

sm 9X

Prenant les logarithmes des deux membres et substituant les valeurs données par les équations (18) et (19)9 on aura

C'est la formule connue qtn, par sa différentielle, sert à déMfittiner les vakurs

S.= ^cr-, 84= ^ ^, Se= 9i5 ^'^ ^tc.

On peut faire usage de cette formule pour rendre encore plus convergentes les suites contenues dans les équations (18) et (19) ^ en les mettant sous cette forme :

k)gr(i4-ar) = ilog ^— O — iS»x» — JS.*» — «te

Anfrjr

log r(i — jc) s^ 1 log jj^ -p Ca: -f- i s,*» -M S,JC» -f- éW.

Ainsi on a des séries régulières et toujours convergentes pour calculer la valeur d'une fonction quelconque Va\ ellesstipposent seulement qu'on connaît les valeur^ des transcendantes S.^ Ss, S:^, ôtc, qui représénTlsnt lés sommes des puissances réciproques, de même degré, des nombres naturels. Ces valeurs sont données jusqu'à la seizième puissance et avec seize décimales ^ dans le Calcul différentiel d^uler , page 4^6 ; mais l'examen que nous aVons fait de cette Table, nous y a fait découvrir quelques erreurs assez ^giraves, et nous avons été obligé de la calculer de nouveau j nous avons cru devoir en même temps la prolonger jusqu'à la S5^ puissance, tefme passé lequ^ chaque fraction qui suit l'unité devient la moitié de la précédente. Yc^ci cette nouvdle table corrigée.

INTÉGRALES EULÉRIEINNES ,

482264 595943 iii382 455700

Sn.

84> Au nooyen de cette table on aura, pour calculer log F ( i -f- or), l'une ou l'autre des formules :

/r(i+x)=:— -Car + iS.a:»— iSjji:»4-iS4a:<— etc.,

/r(i+J:)=i /(^)-Cx-i S^ — i 85^:» - etc.

Lorsqu'il s'agit de calculer log Ta pour une valeur donnëe de a , on peut toujours réduire la question au cas où l'on a a = i -|- x , or étan^<C 7 j ou même < ^. Les suites précédentes seront donc convei^entes, et auront l'avantage de l'être dans toute leur étendue ; de sorte que le degré d'approximation auquel on peut parvenir par ces suites^ n'est limité que par celui qui a lieu dans les valeurs des transcendantes S», Sj, S^, etc.

L^ seconde formule est préférable à la première y comme contenant une suite plus convergente. Cependant lorsque x sera très petit , il vaudra mieux fidre usage de la première , parce que la valeur de log sin ttx , donnée par les tables^ pourrait n'être pas suffisamment exacte. Or le moyen de suppléer