CHAPITRE X

Recherches ultérieures sur les propriétés des Fonctions T.

90. viONSiDÉRONS la fonctiou p(x) expriiôéè pmrljn aiiîte tf^fifuc T. IL 74

458 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

dans laquelle nous aipposons a:<^i; si od développe cette quantité suivant les puissances de x^ et qu'on désigne, comme ci-dessus, par S» la somme des puissances réciproques du degré n, des nombres naturels^ on aura

(p(jc) = S^o: — Sjor* + S^ — SsX* H- été.

Mais par 1 équation (i8), on a

logr(i+j:) = — C^c + iS.j:» — iS,a:» + ^S4a:* — etc.;

diflférenciant celle-ci et comparant le résultat à la valeur de ^(x)^ on en tire

d'où l'on voit que la suite désignée par ^x) peut être sommée immédiatement, au moyen du coefficient différentiel de la fonction log r(i+^)i puisque d'ailleurs C est une constante connue (art. 86)»

Observons que la fonction ^(x) peut être mise sous la forme

alors on voit qu'elle est la différence de deux suites qui ont l'une et l'autre une sonune infinie, mab qui étant ainsi retranchées terme à terme, l'une de l'autre, laissent pour reste une quantité finie. Cette quantité est d'ailleurs la même qui a été désignée par C"— N, (art. Si), et elle, représente par conséquent aussi la somme de la suite harmc^que