CHAPITRE Xn

Cette substitution donnera

Z5s=Zi — Zj 'i'jlTT + ^la^ismcûy Z4 = i'Za 4- ^ for 4- ?/3 — i 15.

L'équation (D) ayant fourni deux équations de condition , on voit que les cinq transcendantes dont il s'agit se réduisent à trois, qui sont Zi , Z3 , Z3 ; et cette solution est dans le fond la même que celle de Part. 18 , 011

Ton n'a &it usage que des équations qui, pour les fonctions 0-\ , répondent aux deux équations (C) et (D) relatives aux fonctions F. Mais l'application de l'équation (£) , due au facteur premier 5 ^ ibumira encore une nouvelle réduction.

Puisqu'on doit prendre ^ <C| , on n'aura k substituer dans l'équation (£) que la seule valeur x =s 7»^ ce qui donnera l'équation de condition

mais par l'équation (C) on aZS + Zgsi/ -r-^aBsfar-H^/aj^onc

Zi + Z5 — aZ3 = ^ia+^/S.

Substituant dans celle-ci la valeur de Z5 -exprimée par Z i et Z3 , il viendra

Z5 = Zi — IZ2 + ^hr 4- ^i2 — 1/5 4- ^/sino»;

d'où l'on voit que les deux transcendantes Zi , Za sufiisent pour déterminer toutes les autres: c'est le dernier terme des réductions qui peuvent avoir

lieu entre les diverses transcendantes désignées par F — •

m. Nous avions déjà atteint ce terme dans l'art. 24^ ^^ ^^^^^ i^'y étions parvenu qu'à l'aide de diverses intégrations fort compliquées. En vertu de ces intégrations, on a déterminé le rapport des deux quantités M«, Mf y comme il suit :

M, loi a' ^3^

I r7^ = a^ 3^ OOS âf = — : •

Or , par la Ibrmule du n® 4? ? ^^ *

donc

, M. /r^\ ri

T. IL 76

4514 IlNTÉGIUliES fULÉRIËNNES ,

égalant les deux valeurs de rr^, on pourra déterminer F^ par le moyen des

deux transcendantes Tr^y V-^j et 'on obtiendra ainsi, flans la notation précédente y

Z5 = Zi — iZa + J/tt + i/2 — |/5 + ifsitid&,

valeur qui s'accorde entièrement avec celle qu'on a déduite de l'équation ÇS^ Ainsi le résultat qui avait été trouvé presque fortuitement par des intégrations très difficiles y e^t donné immédiatement par l'ëqu^dion (E). En général^ il >parah jque les seules né^uctioas \qui peavenjt avoir Jîea entre ks fonctions F, soi^t eâU^s que 4onnent ks équations (C)^ (D)» (£)iet les soivantes, lorsque l'application peut en être Êiite, à raison 'des nombres pie** miers qui sont diviseurs de /t« Ces équations ^pt d'ailleurs l'avantage de conduire laux séductions par la^oie la plus simple dtla.pkis courte, «onmie on vient d'en voir un exeniple; elles paraissent donc ne.rien laisser k désirer sur la théorie des fonctions t.

lia. Dans l'exemple 4out nous -venims^e dévciîloi](per ia solution^ le .calcul nous a conduits à prendre Zi et Z2 pour les termes avec lesquels on devait exprimer tous les autres. Mais-Zi et Zt2 "étunt iclatife aux fonctions F-V» Tr^j il p6ut:par«itre plus sie^ple -dépendre ^pour term^ de coonparaifKm la fonctions Fj et F^. Danscette hjtpothèse, il faucbra exprimer Zi^.Za et Z5 par le moyen de Z3 et Z4- C'est ce qu'on peut faire facilement, au moyen des formules précédentes, et voici le résultât 'fln calcul dans lequel nous

comprenons toutes les valeurs de log F — , excepté Ibg Tj.

rF-^ = /F 5 -f- /Fi — i/^ — Ifa -1-1/5 — i/sinJ^,

>/r-^ t±=^/Fi —i/^ — iïa +i/3,

/f4 = /F7 — /Fi +i/7r-f- h -.'B^UànA^ 12 4 3 • 2 • 8 ' 2 12'