CHAPITRE xn

Formules pour réduire au moindre nombre possible les trans-cendantes contenues dans la suiteT - > F - . F -:..•. .n ^^^—^ n

-^, ^= ' étant un nombre entier donné.

log. Om est un nombre premier, on ne pourra faire 'usage que de l'équation des complémèns (C), et les transcéndailles dont il s'agît ne pourront être réduites à i^n nomhse moindre «que iX'^— *J^ Mab filjitst un nombre composé, chaque facteur premier den donnera lieu à l'application de celle des équations (D), (E)j (E), e|e.;: qui est relative à ce' facteur, et il en

45a INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

résultera des réductions d'autant plus multipliées, que n aura plus de fistc^ teurs simples.

Si /} est divisible par j , on pourra appliquer Féquation (D), dans laquelle

on fera successivement xcs -, a?== -, or = -, etc., jusqu'à op =3 7 ce

qui donnera autant d'équations de condition entre les fonctions F - , F - ,

F-,,.,..r . On se borne à chercher des relations entre ces fonc-

lions ^ parce que les suivantes, jusqu'à F ^ , se déduisent de celles-€Î

par l'équation (C)^ excepté F {j dont la valeur est connue.

Si n est divisible par 3 , on fera Ji'application de l'équation (E) , en donnant à ;r les valeurs successives-, -, -....jusqu'à g exclusivement , ce

qui donnera de nouvelles équations de condition.

On fera un semblable usage de l'équation (E) , si n est divisible par 5 ; de l'équation (F), si n est divisible par 7, et ainsi de suite.

On aura de cette manière toutes les équations de condition qui serviront à réduire au moindre nombre possible les transcendantes F - »

F - . .... F "^ , et qui feront connaître en même temps celles de ces

fonctions qui sont nécessaires pour exprimer toutes les autres.

iio. Considérons pour premier exemple le cas de /i:s=iaj et désignons,

pour abréger, îog F (A) par Z*; la question est de réduire au moindre

nombre possible les transcendantes Zi , Zs^ Z5, Z49 Z5; et pour cela nous aurons à faire l'application des équations (D) et (E)^ puisque n a pour fac^ teurs premiers % et 3.

Les valeurs à substituer dans l'équation (0) se réduisent à deux seulement, 0?=!^^ . x=B7r , parce qu'on doit supposer a: < ^; il en résulte les deux équations de condition

Zi + Z7 — Z2 = ^/^ + I '^j Za + Z8 — Z4 = i fer + f fe. ,

Au lieu de Z7 etZ8, il faut introduii^e les complémens Z5 et Z^j ce qi|i se fera par l'équation (C), qui donne, en &isant -p^^s^ûi,

Z5 H- Z7 = /-t^œ/^tt + a/a 4. / sin m.