INTEGRALES EDLERÏBNNES
log D c= 0*21651/5^577 2807,
log ri sas 0.8770a aa495 5974.
Cette yaleur £iit connattre odle de ff par l'éqnatxm T\
celles des cotnpléinéiis r{ et Tf , par les équations r| If i
tt
' :,rirf=
sin^
sin
J-. Enfin rappltcâtioa de la formule T{i+d)=:ani^tdn connattrt k»
fi3rmera.
tableau additionnel qui suit :
h^ra.
TT
kgrCi-fa).
II 5. Après avoir développé fort au long Te cas de n^=:i2y et celui de »=:8, nous prendrons encore pour exemple- quelques autres valeurs de a; mais ne voulant point entrer dans le détail des solutions effectives, nousnous contenterons d'en démontrer la possibilité , et à cet effet nous ferons^ usage des mêmes signes d'abréviation que ci-dessus.
Soit d'abord a =: 24 9 et soit désignéepar (pc) la quantité Ic^ T ^^ : on
eonnalt déjà, par le cas de /i= 12, les réductions qui ont lieu entre les termes de rang pair (2), (4)9 (6), (8), (10), puisqu'en général l'expression;
{2k) désigne IV ^7), qui est ^a- même cbose que /F (—\ Ainsi en appliquant les résultats trouvés dans le cas de n= 12^ on aura entre les cinc|. transcendantes dont il s'agit , ces trois équations :
(6)= (2) -i(4) -H ci, (8) ==i(4) + rf,.
(ia)= (a) - (4) + ^.
Pour dWtenir d'autres réductions^ on fera d^àbord dans Féquation (D) les s«b6lâtutic^xs=5in;> « = ^> «ssa^, ce qui donnera
B ri .]
GHiEPlTRE Xn. 457
(3) -H (i5). w eS^r ?*i^r (5). -K;(i7} — (i:o> =Hd; .
Mutant d«B8' oe$ ^qaatioBs, a<i lieu des terme» (.t5), (i&), (17), leii>»iBO«ir< ï»léinen» ^(»>), — (9), •:— (7), oaen.tirera
(9) «(5) -(6) H-rf, (7) «(5).^(io) + i^.
Ces ëquatums font voir que sut les six transoeiïdàAtes (r), (S), (5)^ (7), (9), (ï 1 ) y il suiBt d^en connaître troiSi.
Mais d^ plus ^l'équation (E) fournir? de nouvelles réductions^ en y substituant les valeurs x =3 ^^ a: =a ^ , toutes deux plus petites que |^; cette substitution donne deux équations qni, a A moyen ()es termes complémen-* tairieSy deviennent
Celles-ci , en vertu des relations^ déjfi trouvées , se réduisent à une seule, qui donne
(5) = (i)-(a)H-(6)+"rf.
Cela posé, on voit que les deux transcendantes (i) et (3) de numéro impair, et les deux (:>), (4) de numéro pair», suffisent pour déterminer tontes les autres y puisqu'on a les valeiu^ suivantes :
(9) =(3)w (a)+i(4)-|-rf, (ii>r=.(,)-. (2)4-rf.
Ainsi, dans le cas dé 71=3^4, les quatre ttanscendaàtes Fj^, T^, T^, r ^ suffisent pour déterminer tontes celles qni sont comprises dans la même série , jusqu'à F î^..
116. Considérons enfin le cas de nssâo, et ptôpoionf-n^tis de tre^ve» combien il faut de termes* de lar suite F/^ 9 F^. « • «. F|i,.pottr détenaatfier tous les autres , et quçls sont ces termes.
Déûgnant toujoŒs logF g- paiL(A')) on. pourra d'^prd coiisidâlrer les termes oÀ Â: est un multiple de .5 , et appliquer à ces termM Jes formnks tsomvées pour le cas de Js;=sx3, ce qjiî donnera 0 ^
45« IirrÉGRJUtESlXJCÉaiaNNES,
dantes (k) , dans lesquelles À: est tm multifple ite 5rr —
Si l'on coDsidère séparécu^ntJesf^tergifis où Al^sC ^r y on aura , par l'application des équations (D)'^t^) ,les celajtii^nidiuiValites :
<aa) 5=5,(8)— (i6):4- <i|.
(i8> ==& (ta) -T- (a4> Hr ^,:
On trouvera ensuite, au moyen des équations (E) et (Ç),
(a)H-'C")-.08)-(iq)Fr-^ (4) 4- (a4) - (i6) - ("). = a,
(6)' + (b6) - (t4) - cs) = ^;-
Ces quatre équations^ combinées avec les six qui précèdent, ofl^nt deux coïncidences, et ne déterminent que buit quantités ^ savoir :
(36) = (a) - (6) + rf, (a4)=(6>-r-(ia>^rf^ -
(m) -i=:a(i à)— (a)^ H-t/; (,)9) *=a(ii)^ (î5>-h-rf^ - (i6) == (4)> -^ (6)' — -9 (*3>^ ^ , , V , .(i4) = (a) + (6) - a(wX+ 4, .■:,..
„ (8.)?=(6) + (4).-(?)+:-rfî.
d'où l'on voit que les quatre quantités (s), (^), (6), (i3)suiâ5ént.po«r<iétetmioer tous les tiermes (k)^ dans lesquels k est^pariref non •divisible' par R ^ Eli#n rappKcatioa^des* équations '(^) et (G) dôtiae
(2) + (l4) + (26) - (23) - (lo) - (io)'= li,
- :(4)i4- (16) + (38) -^ (ao)'— (8) *- (2^^
eti'Mftdéux^oi'SCirëdinMilt i unifi*squlQ,( savoir: >
(ia) = (2)-.i^(iy>)+.i?;-^
d!où M fmik iiM Awi lies tjtamfxi (A) où À >asj: pair^ tpbMnwit il'iniprkmt au
117. Venons .roaiiUenapt aux 4]uaDtîléa où A:.eat uop^<* Oa Avirai par J'upplication des équations (D) at (Q) ^ ^es six conditions :
(17) = (r15) -. (26) + rf. ' 7
Ensuite les équations (E) et (C) en fourniront quatre ,^yoir :
(i)-H(ai)-(i9)~(3) = rf,
^) + M - (") - (27) = '^^ Mais ces quatre conditions se réduisent aux deux suivantes :
fhtfin l'ëqnattion ^) donnera deux conditions qdi , en vertu des relations
déjà tarpvi^Qeay 1M9 néduîiient a uneiseule , SâvgSr r ' :
De là on mit 'qoWecQesiquatre 'données ioifNiîfesft), (5)^ (!^^yKj)y jcÂc^tes aoK^quatre d0miM8f>m7e8*^3), (4)} (6), (^«) , oïl p«inrni'iiciie?er de détenni^ nsr toQbes Jes «toansoendantes < désignée» «par '(A). On aura en ^et , ipoor îles iermoTiioipaim^ C9S M|>reobBs :
1(9) = (5) + ta) - (6) - i (la) 4- rf, (h) = (i) ^ a <io9 4- rf,
(i^ « '(5) - i (to) ^ d, •(17) 5=» (7) - i (JT)) 4- 1?, (i9) = (0-(a)4-i(io) + rf, .(or) sa (&) .^ (« ) .4- i (to) 4- *, . • <b5)'iaB (7) .^ r( •> -ii ^) -^ (la) 4- rf, -•.•••: . .(24)<«5 (3) .-*-..<*©) .4* rf^ ■• .. .•.|îai;)««(5)*.'(«')4-^, : •. Xa9)^H— (••)4*<<.
46o INTÉGRALES EUUSRIENIŒS,
Quant aux termes où A est pair, noas avons d<mnë ô-dessas leur expresnon, où il ne reste plus à substitoer que la tttlear (ta) =: "(a) "^ j (i6) -{• d.
118. Kemarquons que le nombre des transcendantes nécessaires pour dëterminer toutes les autres, étant nommé H, on aura
pour n = 12, R = a = ii' (i — J) (i — i),
pour « = a4, N = 4 =^ 0 -i) (i-i),
pour n = 60, N = 8 = ^ (i -i) (1 -i) (i -f).
Dans cette formation du qooibre N^ le Ssicteur ^ est dû à Fëqnation (C) , le facteur (i — |) à l'équation (D), le facteur (i — J) à l'équation (E), et le fiicteur (1 — j) à Féquation (F).
En généra], û, a^C^y^ etc., sont les nombres premiers inégaux qui divisent N., on aura
•nombre qui exprime combien il y a de homibres premiers à n et moindres quefi».
Cette loi a été yériûée dans pi usieurs autres exemples ^ et il y a lieu de croif« qu'elle est vraie ..en général; d'où 41 suit qu'étant donné un nombre quelconque n , on peut trouver immédiatement combien il &ut
de termes de la suite T -, r -, T -• . . * T • pour déterminer tous les
autres.
;Ainsi si l'on voulait construire avec le moins de données possible, une table des fonctions Ta pour toutes les valeurs de n, de millième en millième, depuis a =so.o9i jusqu'à 4 = 1.000, on pourrait le fidre • en -supposant connu un nombre de termes de celte suite:= Soo.^.lssaoo. Si au ^ieu de donner aux valeurs successives de a, ie dénominateur commun 1000, on leur donnait le dénominateur .io5o, qui.. a pour^ acteurs premiers 3, 5,5, 7 , le nombice^des termç$ nécessaires serait -^ • i • î • f « f '^^ ^^^ Ainsi il ne faudrait que 120 termes pour en. détermineir algébriquement io5o, et la Table ne serait guère luoii;!^ facile à inteq>aler que dans l'autre cas. » • .
II g. On sait de cette . manière combien il-&ut de transcendantes pour déterminer toute^Jes autres; mais il n'est pas aussi fiicile de prévoir quelles sont^ pour chaque valeur de a ^ ces; transcendantes. Sans le cas de 11=60, on aurait pu penser que ces quantités, dont le nombre est fixé à huit, pouvaient être les huit premiers tecm^ de la^uite T^, T ^, P^, etc.;
