CHAPITRE XVI
Construction et usage de la Table des logarithmes desfonc--
tions r.
143. J3|ous nous sommes proposé de calculer jusqu'à la décimales, une Table des Logarithmes de la fonction r(i H*^)? ^^ donnant à x toutes les valeurs de millième en millième, depuis Jtsso jusqu'à ^=1. Yoici «omm^it ce» calculs ont été faits.
CMtkme les séries qui servent à calculer les diflerences successives de la fonction log F^r, sont moins simples et moins convergentes qœ celle qui donne immédiatement la valeur de cette fonction, nous n'avons point iait usage des différences , et nous avons calculé directement chaque terme par la formisde (34) j ^^ pour les cas oit œ est très petit ^ par fa formule
logr(i +jc) = — /(i +x) + Bjr-+. B.X*— B,a:«+B4a:*— etc.
On a calculé ainsi les valeurs de log r(i H"^), depuis a:= o^ooi jusqu'à x=?o.35o; ces valeurs ont servi dans chaque cas à déterminer leurs complémens au moyen dç la formule
r(2 — x)=^fe^, . ^— • (44)
On a donc obtenu à la fois les valeurs de log Fa, depuis a= m .000 jus- 'à assi ï .25o , -et depuis ii-^sz i .'j&o jtoqu'à ass .3.000. Au moyen de ces valeurs qui composent déjà la moitié de la période, a trouvé les valeurs de log Fa depuis a=: i.5j5 jusqu'à a:=: i.6^5
ce qui forme on troisième quart de la période , par les formules
qU
on
r^ 4-ajr) * • 4»$m:x
48o • INTEGRALES EULERIENNES ,
dans lesquelles on a donne à x les valeurs successives depuis jccso.ooi jusqu'à ar=:o.ia5.
La seconde des équations (45) jointe à l'équation (44) 9 donne les formules
r(2— ^) = !,(,+,) • is'ï;»
au moyen desquelles on a déterminé log Ta depuis a = i.aSo jusqu'à a= 1 .5i2, et depub a = 1.688 jusqu'à a= 1.750.
Pour achever de calculer le reste de la période, on a passé des formules (46) aux formules (45), et ainsi alternativement, jusqu'à ce qu'on eût les valeurs de log Ta^ qui s'approchent le plus des limites des deux suites qui sont i ^ d'un côté , et 1 1> de l'autre.
i44* A chaque logarithme de la Table, on a joint ses différences pre^^ mière, seconde et troisième. Ces difierences marchent avec la régularité nécessaire pour garantir l'exactitude des calculs ; elles serviront à faire reconnaître et à corriger les fautes , s'il s'en était glissé dans l'impression ; de sorte qu'avec tous ces secours , on peut regarder les transcendantes F comme étant connues avec un degré de précision plus que suflSsant pour toutes les applications qu'elles peuvent recevoir. Il faut maintenant entrer dans quelques détails sur Tes interpolations auxquelles donnera Keu l'usage de cette table.
Soit, pour abr^er, A = log Tu, et soient cTA, J^A, cT^A les différences successives de A, telles que la Table les donne, en supposant que les valeurs de a croissent continuellement d'une quantité oi =0.001. Pour avoir le terme X qui représente log r(a+ax), on aura la formule
dont le calcul se fera de la manière suivante :
Étant donnée la valeur de 3c qui sera toujours plus petite que l'unité ,
on calculera le terme — ^ — cT^ A jusqu'à la douzième décimale seulMaent,
et on formera, en observant les signes, la quantité cT'A— (--7- ) ^^^ >
qu'on pourra appeler, comme ci*dessus (page 36) y la différence seconde corrigée^ et qu'on désignera par <f^Ax. On calculera de même jusqu'à k
