CHAPITRE XV

le sens positif. La première sera comprise depuis ;c s= o jusqu'à ^ =ss ^^-^ i , la seconde depuis a? =s — i jusqu'à or = — a , ainsi de suite.

D'après l'équation précédente , on voit que la fonction r ( — x) est négative dans toute l'étendue de la première période, et qu'elle est infinie aux extrémités de cette période.

Si dans la même équation l'on met i -f* ^ à la place de sCy on aura

d'où il suit que la fonction r(^ — à) est positive dans la seconde période, depuis a = i jusqu'à â=2, et que dans ces deux limites, elle est infinie.

Mettant dans cette dernière éqqation i -{-x au lieu de Xy on aura encore

d'où il suit que la fi)nction r( — à) est négative dans la troisième période , depuis a=2 jusqu'à a=3, et qu'elle est infinie dans ces deux limites*

En continuant ainsi, on voit que la fonction r(— a) sera infinie pour toutes les valeurs entières de a y et qu'elle sera alternativement positive et négative dans les périodes successives.

i4i* La courbe dont les ordonnées représentent T(x)y est donc composée, dans le sens négatif, d'une infinité de branches séparées par des asymptotes perpendiculaires à l'axe des Xy et menées successivement aux distances ac = o, — •!, —2, —5, etc. Ces branches qui touchent chacune des asymptotes, sont situées alternativement d'un côté et de l'autre de l'axe, de sorte qu'il y a dans chacune un point où la fonction T est un minimum.

La fonction Ta étant supposée connue pour toute valeur positive de n, on en déduit aisément par les formules précédentes, l'expression de toute fonction de cette sorte où a est négatif; soit en efiet t un entier quelconque, et J?un nombre moindre que l'unité, on aura en général

^^ ^ ^^~x{i+x){^ + x) ik + x)' W

ou encore

Cette dernière formule se déduirait directement de l'équation (C)

VxVU — x)=-rî— , T. U. 79

478 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

dhas kqadlK mettant Ar -^ i «^x aa lieu de jb y ont troare

r(;t+i+«)rc— A— «) = -: — ' . . , = ( — ■ y-^Txr ( i -- x).

Ce9 fornralei s'accordent parfiâtement avec les résultats que donneraient les autres équations (D), (E), (F), etc., en y changeant le s^e de x. Elles of^ (rent consëqoemment la théorie eomplète desfonctkms Ta pour toula Vfi4eur négative de a.

142. Pourconflpnier cette théorie, nous allons^ démontrer, d'après la valeur générale du coefilcient — ^—^ que la. fonction T n*est susceptible que

d'un minimum dans le sens positif, maïs qu'elle en admet une infinité dans le sens négatif.

En effet, si L'on feit log ra: = Z, on aura (art. 91)

Lorsqu'on' fait orss i ou jet <C i , la* valeur de ^ est négative; lorsqu'on £nt

*=5 a, OR a valeur positive* Donc entre x=si et 0:353, il y a une valevr de x qui

rend nulle -7-9 et ak)rs Z est un minimum.

Si Ton &it or >> a , la valeur de ^ sera- positive et augmentera jusqu'^

l^finî. Ainsi il n'y a aucun autre minimum dans le sens positif.

EHms le sens négatif, au contraire, ily a un minimum dans chaque période, o« en général entre ar= — k et 0?= — A^-— i , k étant un entier quelconque. Prouvons , par exemple , qu'il existe un minimum entre x:ss — a et jc^u-l-' 5;

Lorsqu'on fait x= — 2 — û>, cù étant infiniment petit, la valeur de ^ contient différens termes dont la somme est finie, et un terme - qui est un in* fini positif. Lorsqu'ensuite l'on fait ar = — 5 + û>, la valeur de ^ con-

tiendra de même des termes dont hr somme- est fiiiîe • et un terme — qui est un infini négatif. Donc entre ces deux extrêmes, i^.y aune valeur de •^ nulle, donc il y a un minimum entre jc=~2 etars=~5, conformément à la théorie précédente.

GHAPlTilË XVI. . 479

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