CHAPITRE XVI
dîfiereoces successives ^A, J^Ay J^Ay etc. On a oi ==0.001 qua&d on prend dans la Table les termes qui se suivent immédiatement; mais on pourrait également faire e»=o.oo3 j o.ooS, ou plus, afin de rendre sensible la difierence quatrième ^^A qui est presque toujours au-dessous d'une unité décimale du douzième oixlre, lorsqu'on prend â»:=â:o.ooi.
En se bornant a l'hypothèse û) = 0.001 qui est la plus simple, puisque la Table donne , sur une même ligne, les nombres A , <fA, S^A , cT'A , on
voit que la valeur qui en résultera pour le cofficient ^ , ne sera approchée que jusqu'à la neuvième décimale à peu près ; celle de ^1% ^^ ^^ ^^^
que jusqu'à la sixième, et celle de ^ jusqu'à la troisième» Mais c'est déjà
un grand avantage d'avoir les deui premières trauscendantes d'une manière si facile et avec un pareil degré d'approximation.
i52. Soit, par exemple, 11=: 1 .Soo; les diflférences données immédiatement dans la table pour cette valeur de a^ sont
crA = i6 o5o 324, J'^A = 4o5 6ao, cT'A = — 359;
on en tire les coefficiens difierentiels
^ = o.oi5 847 594, -j^ = o.4o5 979, ;s?-=— 0-35^-
Si, au lieu^de faire û)=:o.ooi , on fait 0^=0.003; c'est-à-dire, si on prend dans la Table les fonctions A qui répondent aux racines successives 1 «Soo, 1 .5o2, 1 .5o4, 1 .5o6, 1 .5o8, on aura les valeurs de J^A, cT'A, cT^A, cT^A, comme il suit,
J^A = 32 5o6 268, J^*A = i 621 044, «TU = — 2865, J^A==io. Delà résultent les coefficiens différentiels,
^ = o.oiS|847 594 25o, -^^=2405 9795, ^ = — O.56O0.
Ces valeurs différent très peu de celles qu'on a obtenues immédiatement par les différences des termes consécutifs.
Soit encore û) = o.oo5, on aura h considérer les différences successives des termes de la Table qui répondent aux racines i .5oo, i.5o5, i .5io , 1 .5i5 , 1 .520 ; ces différences sont
M=84 5o4 252, cr*A=io 104 716, <r'A=~44 4^, cr*A=574, et on en déduit les coefficiens différentiels
''^=0.0.5 847 394 53, ^ = o.4o5 979 3a, ^s-o.SSg 89.
^ UNTÉQIUUUSS JSUUÉaiEINNES ,
C^ Vftimn» 4ifiG^r»t p^a 4es pi^céAmtes ^ #eQi]|lgDi; dm^it ètrm ffim ap^ {wocbms ck la vëôté^ parce qu'o» t tewi compte des diflik^neea qoelnènae d?>yeHWa f^iwble» par une plus gmwle valeur A% ùê; oependbnt la Tafenr de 0 DQjdoiit pas paBser une certaine limite, et ostte limite qu'il aérait dîfiicilc de détermiMT l^v«ç pré^ûop , dapa«d de la lai que auivent ka dâKraoou suçcewveii 4e la fimctioa À.
i5S. Paw P^^ample préeédeftt, il ert finale 'de vénfier la ?alei:ar okte-
nue paur ^ ^ car en fiubant as;^ 7 dana la fefBiule (35), art. la^, ^ ob^
^rvaut que 1*» Iqgarii^mes de la lorawle doiiyenjt être muit^liéa par le lao-
dule ^ =^ M pour les changer en logalrithaies vulgaires , on aura
L'intégrale du second membre, prise depuis ^^^so )us({u'à jr=s i /'est ^ale i â — âM /:i; donc
^=çs(a--C;)ai-^a/a.
Mais on a fiiitci-dessus B=:/7i(i— C) ; ainsi on aura -^ = m-f-B—- 2/23 ce qui donne, ea -sulwâtaant les valeurs connues ,
valeur qfii doit être exacte jjusqu'à la qualorBièa^e djécio^ale : .ell^ pMMe que les résultats obtenus par la méthode précédente, sont moina exacts dans l'bjpotb/è^e aiso.ooS que dans l'hypothèse û^=u).oox
i54* Les formules précédentes donnent les coefiiciens différentiels de la fonction A = logra, en supposant que a se trouve immédiatement dans la tabliEi; Bwiâus!il&iut trouver les ooefficîens différentiels de la fot^on Xaelog r(a-f- Ai^), qui est intermédiaire entre les deux fonctions consécutives données par la table A =: log Fa , A -f- J^ A ^^ log V{a -(-- m) , voici comment on résoudra ce problème d'interpolation :
On a généralement
X=:A + arJ^A+l^J-cf>A + ^'^^':^'"VA4-etc., el si Poo fiik a \ <ij:gw, on aura , en supposant que x serf varie, ^sss ûtdr^ d'où ai-gr = 2J-. Différenciant*donc la valeur deX par rapport à x, et réitérant tes (Kfferentialions , on aura
oa a ' .2.0 >
-• ^ = *r-A„+ (X - 0 ^»A H- ^'-y'^ J^À. -*r etc.,
etc.
On connattra donc les coefficiens diflférentiels dont il s'agit, par Tes difiëvtstttei- é^Ky J^A, J^A que la tahlk donné îmiAediatement.
]5fi..Da(i«(le ctaade:x»si, oiii 8<aiis««4^»^ et Jés fbfnnJiM dieviraçniViie
• .. «: , ^ tti^ .J>A + i J^A — i J»A 4* ■À#»A 4- etci, «>»'^ = <^'A-^<r«A + etc.,
««^ = cr»A- fJ^A + eto.
Celles-ci offrent des formules nti^ péù pluju Cûn¥«i|(!(ntes que celles de l'article 69 1 , de sorte qu'il y a qpeliju'0 vanlage à déterminer les coefBciens différentiels de la fonction lôg t[a -f- a») par le moyen des différences qui repondent à^la fonction préoédBBie ,log>r^.
i56. Appliquons les formules précédentes à laibnction ,Xc=logr(i-Hf); ators on fera a'= r.$5S, ar=f, et les différences données- immédiatement dans la table seront
.J^A.= — 57 a6a 267, cT-À = 4^5,436, J^'A = — 483,
d'où résulleirt les valeurs auivantefir;defl^CQeffîcîeas 4ifféMitûd«,
V>iam>vM(iet'i&pttttAet'd^ ces rëstilt&ts, ôH peutaVéir recëiirâ [« la Formulé (^);(jtii doMié
EfllK!ltoant<fi'At%i!«rtioft'intii<iuée entre U» Kiûitës d? ss o, «;=: i , il vient
dS o , Il ' mir
^ == B 4* am -. .ilfigft? — ~,
488 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
et en substituant les valeurs numériques,
^ s=s — o.oSj 541 543 008 65, d'où l'on voit que nos déterminations sont aussi exactes qu'on peut le désirer.
sas.
iSy. Lorsque a est un nombre rationnel —, on a vu dans l'art 1^2 que l'intégrale Z = f^^~ — > pns^ depuis a:s=o jusqu'à xss i , est exprimée par ' — • TiBa, B» étant une quantité dont la valeur est donnée par arcs de cercle et par logarithmes (ibid.). Mais à, l'on suppose, par exemple > a = , la valeur de B. dont il s'a^t sera tellement compliquée, qu'il de-^
viendra i peu près impossible d'en tirer là valeur numérique de l'intégrale Z, et la difficulté serait encwe plus grande si a était une fraction plus composée.
Dans ce cas, l'int^rale dont il s'agit pourra se trouver d'une manière beaucoup plus facile par la Ibriliule dé Farticle ia:i , qui donne ^
x>r > pour la valeur a ss i • 56S , on trouve te coefiîcient différentiel
Ainsi on'aura l'int^rale cherchée 2=50.671 009 qSS, laquelle doit être exacte au moins jusqu'à la huitième dédmale.
Mous sonunes entrés dans d'assez grands détails sur ces diverses méthodes d'interpolation, parce qu'elles sont peu connues, et qu'elles peuvent s'appliquer à toutes les tables dans lesquelles il est nécessaire d'avoir égard aux difflfrences du troisième ordre.
En terminant ici le Traité relatif aux daiix sortes d'Intégrales définies que nous avons désignées sous le nom ^Intégrales Eulériennes, nous croyons devoir &ire observer que les divers perfectionnemens qu'a reç^ la théorie de ces intégrales, depuis ^'elle est sortie des mains de son illustre auteur, sont le fruit des recherches que noua avons publiées successivement dans plusieurs écrits, savoir : 1*. dans le Mémoire sur les Transcendantes elliptiques (Paris 1 795) ; 2*. dans lès Mén^oires de la classe des Sciences Physiques et Mathématiques de l'Institut p^our l'année 1809; 3*. enfin, dans les parties H et lY des Exercices de Calcul intégral. D'autres géomètres ont puÛié le résultat de quelques travaux particuUers sur la même matière; mais ils n'ont fiât que reproduire sous une autre fimae tes résultats trouvés long-temps auparavant par Euler.
DES LOGARITHMES DE LA FONCTION Ta,
Calculés à douz^déeiinaks^ pour toutes les yaleuv^ de la racine a y de nriUieDie m millième, depuis i.ooo jusqu'à :i • ooo.
On y a |oiDt leurs diffiârences première , seconde et troisième.
IiNTÉGRALES EULÉRIENNES,
ooo
oo3
oo5
OOT
on
oi3
oig
Log. Ta.
ooo 25
319 io3 692 33o
io 659
