CHAPITRE XVII

Sur les Intégrales Eulériennes indéfinies de la seconde espèce.

i58. ri ous n'avons considéré jusqu'ici que l'intégrale définie yZ^rf^/ ij ,

terminée à la valeur âr=: i , et nous l'avons désignée par Ta; nous allons maintenant ^nous occuper, de l'intégrale indéfinie qui se présente dans un assez grand nombre de recherches, et qui offre des difficultés particulières lorsqu'on veut la déterminer avec un certain d^é de précision pour de très petites valeurs de '^. Nous prendrons de là occasion de résoudre , tant par des formules que par des Tables suffisamment étendues, le cas deaso et

celui de â=^, qui sont ceux des transcendantes / — , /- — ^ , sur les-

quelles plusieurs géomètres se sont exercés.

§ L Formules diverses pour évaluer par approximation t Intégrale indéfinie

1 Sg. Nous représenterons par T(a,x) l'intégrale indéfinie/d!r Hog -j ,

prise depuis â?=o jusqu'à une valeur quelconque de or; et dans cette dénomination r(a, i) sera la même chose que l'intégrale définie déjà désignée par Ta,

Cela posé^ l'intégration par parties donnera la formule '

T(a , ar) = x(log i)*"' -j- (a — i) r(a— i , x) , (48)

d'où il suit que l'intégrale F (a, j?) peut toujourà se îameher à une intégrale semblable dans laquelle a est compris entre i et 3 , ainsi que nous l'avons fait pour l'intégrale définieTâ.

* > Celte même formule donnerait la valeur exacte de T(aj x), si a était un T. 11. 83

V Sm mTÉGRALES EtlUUUBNNES ,

nombre entier; ainsi on aurait succesâvement

r(i,»)nm«,

r(2, X) ^ x\og ^ + X^

r(5, x) = x(logi)V 3Jrlog^+ 2X,

r(4, X) = x(log ^y+ 5rC5, a:), etc.

Nous n'avons donc à nous occuper que des seuTs cas où a est un nombre fractionnaire ou irrationnel.

i6om Soit log -=2 1 on aura la transformée F (a, x) =/ — z*""' e^^dz,

d'où résulte en développant l'exponentielle et intégrant ,

rca, ar) = rii — - + .Î-T — - • ^3:t+ A • ^ — etc.; (4q)

cette lormule donne la valeor de r(a^ x) pwt une suite qui peut être diver^ .gente dans les premiers terotes, et d'ajutant plus divergeote que x est plus petit ^ mai» qui finit toujours par être oeovvigente.

Cette suite est convei^ente dès les premiers termes, si x n'est pas plus

petit que - ; elle peut néanmoins être employée avec succès pour des valeurs beaucoup plus petites de Xy telles que x= 7^, ou même ar=:^ ; mais alors il faudra calculer un assez grand nombre de termes de la série. Par exemple, si ^ = o.i, il faudra calculer douze à treize termes de la série pour avoir la valeur de l'int^rale ap{)rochée jusqu'à la cinquième ou la sixième décimale. On trouve de cette manière r(^, o. i) = 0 .056497-

A. mesure 1^ x devient plus petit, il fkqdra prolonger plus loin la suite pour obtenir un égal degré d'approximation , de sorte qu'il convient de recourir à un autre moyen pour évaluer l'intégrale avec précision , lorsque X est très petit, tel que 73^, ttôô? ©^c.

161. Il semble qu'on pourrait calculer l'intégrale VÇa^ x), lorsque ^est très petit , au moyen de la formule (48) qui donne par des transformations successives

r^a, ar) = ^[a— ' +(a— j)z— • + (a— ir).(^— 3)z— '+etc.] (5o)

Cette séné étant continuée suffisamment , ses termé^deviendcont alternartivement poûti& et négatifs , de sorte qu'on aura des valeurs alternalive* ment plus grandes et plus petites que l'intégrale cherchée, filais > «oiasae la