CHAPITRE XYih M
suite, qui est d'abord convergente , devient nécessanwpient'divui génie npnàs un oertûn noinbn de termes, il fiiudra s'anréter au pmDt *ok la div€ffgeBoe commence , et on n'aura ainsi ^«ne ^i^rraiiMtion bornée qm pourrait être insuffisante.'
Si on appelle P* le terme de rang n dans la formule (5o) et P""*"' le
terme suivant, on aura P*"*-* = P*j ainsi la diveigence commence
lorsqu'on aava abs eu >• ^^^9 ^t idors k suite ae -devra pas être pro^ longée plus loin.
ff6a. Soit, fpar-ettMnple, ascs-^^ss — ,mi aura ftsJog iDOca34 «60517,
et il + 2 = 5 • I . Ainsi la suite ne devra pas être prolongée au-delà des 5 on 6 premiers termes. En effet, on a en fitisant z= log 100,
\2'ioo/ 100 \ a 2.2 2.2.λ • /'
et par le calcul de tenues 4UceGttyB,oft trouve
H-iyj z"* ^= + 0.01647P
IW*^^**i^i^"
H-rrr^*" = + 0.006799
Il mil ■
4>,433oâî»
On voit qu'il est inutile d'aller plus loin que le sixième terme ^ puisque la suite devient divergente là compter de ce terme.
Il résulte de ce calcul que la somme ctierchée est plue gratkde que o . 4^^tl85 , et plus petite "que o • i^^g^j^.fiBT^xm milieu , dirtrôtive li^ ^sotnme
5o4 INTÉGRALES EULÉÏIIENNES,
de la suite sso. 4^6407,: et OQ voit qu'on oe peut compter; sur plus de quatre décimales exactes daos cette évalàatiou ; il en résulte pour la valeur de l'intégrale cherchée y T(a , x) = o » 004264*
i65. Si en prenant toujours a = -, on eût fait jr = , on aurait vu
d'abord que la suite ne doit être prolongée que jusqu'au neuvième terme, et par le calcul effectif des termes, on aurait trouvé que l^t^rale cherchée
est comprise en tre J? X o • 357708 et x X o • 357 1 7 3. Le milieu est or X o • 35744 f d'où résulte l'intégrale T(a , ar) =3 o . ooo35744-
En général la formule (3) donnera d'autant plus de précision, que x sera plus petit; mais cette précision ne s'obtiendra que par le calcul d'un.plus^ grand nombre de ternies, puisque pour tirer de la suite toute l'approximation qu'elle peut offrir , il faut la prolonger jusqu'à ce que le nombre de ses
termes soit û -f- 3 ou a -f- log - .
Si on appliquait la formule (3) au cas de jc = — déjà résolu par la formule (3), on trouverait que la suite cesse d'être convergente au quatrième terme. Les deux premiers termes donnent F^ j: x o.5i5g, et les trois premiers donnent F < a: X 0.6091; il en résulte par un milieu, F= x>c o.56a5 = o.o56a5, tandis que la vraie valeur est o .056497. ^^ ^^^* vient donc de préférer la formule (:2) lorsqu'on voudra avok* au moins quatre chiffi^s significati& exacts, et que la valeur de x ne sera pas plus petite que 0.0 1. Nous verrons ci-après quels sont les moyens d'obtenir une approxi^ mation plus grande ou même indéfinie*
164* Jusqu'ici nous avons supposé tacitement que x ne surpasse pas l'unité j mais on peut aussi demander Vinté^ale /dxÇl^j pour une valeur
de X plus grande que l'unité. La partie comprise depuis x:szo jusqu'à Jt=s i^ est connue et représentée par F (a); ainsi tout se réduit à trouver Hut^rale depuis xzsii jusqu'à une vsdeur quelconque de or^ i;
Remarquons d'abord que dans tout cet intervalle, / f-j étant négatif, il
faudra mettre l'intégrale sous I9 forme ( — \f^/dx(JlxY^^ . Je fais abstraclion du fistcteur (— 1)*~' qui peut être réel ou imaginaire , suivant les diverses valeurs de a, et je considère simplement llntégraley^ir (/x)'** que je désigne par '\f(,(iy x)f et qui est supposée nulle lorsque xz=zi.
Si ou fait lxr=r^r ^^ ^^^ ;r=:e", et l'int^rale dont il s'agit deviendra
CHAPITOE XVII. 5a5
fu^^du.€^ z=ifvr^^dù{\ +«i+|tt' -|-éto.)î d'où l'on tire
4^(/i,ar)=— 4-— r — H - • — i 1 5 • — tô H- etc. , (5î) -^
T\ ? / ai a+i 2 0.+ 2 2.3 a + 3 ^ v •
formule où il n'y a pas de constante à ajouter , parce qu'elle s'évanouit lorsque x = i .
La suite comprise dans cette intégrale pourra être divergente dans les premiers termes^ mais elle finira ton jours par être convergente. Ainsi on eu tirera dans tous les cas une valeur aussi approchée qu'on voudra de la vraie intégrale, et il est visible que cette valeur deviendra infinie si on fait a: = 00. - r
- i65. On peut encore mettre 4(^9 ^) ^^^b uneibrme plus commode. Soit
fa^^^du . e" = Pe", on aura m*"" = P -h ^ ; soit ensuite P = — -|- Au*^*
+ Bii*"^* + etc. , on trouvera A = — ■ . , ., B= . . \, . a, etc. ; donc
4 (fl , 0?) = ari — — — ; — r -I- -7 — r--r7 — r— r CtC. ) , (Si)
série qui aura, comme la précédente, la propriété de devenir toujours convergente, mais qui aura de plus l'avantage de donner des valeurs alternativement plus grandes et plus petites que l'intégrale cherchée; de sorte que le degré d'approiimation Sera connu dans chaqVie cas par la diflërence de deux termes consécutifii.
$ n. De r Intégrale 7j=i i — - ^ prise é eempter de \^s o.
i66. Cette formule résulte de la formule 2;énérale en fiiisant asso ; soit
alors /- = a ou xsaer-% on aura la tranrf^rmée Zte:/*— ér*. — ,qu'a
faudra prendre depuis j& = 00 jusqu'à z = /- j substituant au lieu de er* sa
valeur développée et in tégrant , on aura
Z=:ç-G.-r.&H-»— ^.|-H^-i^.|-^etc. (55)
La condition j pour déterminer^ là constante G, est que Z s'évanouir lorsque 3= 00 ; mais les quantités infinies que cçtte supposition introduit né pemiettent d'en tirer aùdon résultat et il* fâôtf recourir à d^autres moyens.
3o6 INTÉGRALES EUUÉRIÈNNES,
'167. CooBidëroi» poor cet «ffet l'intëgrale
ou aura
prise de même à compter de ;r = o, nous aurons V = — log (1— *a?)— Z, et par^ocmsëqaent
V = C+log(^)-z + l.?-ïf5.^4-etc. (54)
n suffît de oonnattre là talenr de Y dans un cas particulier ponr ^éDerminer la constante C; or, si on Êiit xt=z i — â», a» étant infinimefit petit ,
•^^ = — — — ^^^ = I , de sorte qu'on aura dans ce cas V=C'.
Mais par la formule de l'art, lag, on a dans le même cas Y = C ; donc
C = C, G étant le nombre connu. dans la théorie des fonctions T^xlont
la valeur calcolëe avec quelques décimales de plus que dans l'article 86 ,
est
€ = 0.57731 56649 oi55-a 860161 811209.
Cela posé, la formule (53) fera coanaitre IHnlégrafe Z|Mur une suite d'autaat plu» convergente que a: sera plus prèsrde i'umié j lorsqu'on &it jc^= i , ou a z ::=3^ , et par conséquent Z devient infini ; mais cet infini n'est que logarithmique; car en iiûsaiit xrrsi^-— a»^ # ébfnt ôifiirâiait petit, on a
Z = log - — C + - û>.
168. A «[^stre^^iie «ocr duniaue ^ s ou il(^- ^ugBràrtc . de «plus en plus ,
et la suite contenue dans la formule (53j devient de moins en moins convergente ; elle peut même devenir divergente dans les premiers termes , lorsqii'on veut tlëterminer 'Kmégrale Z pour une très petite valeur de ar, mais cile iimt-to^JM(^ fMir étte ^oonvergeote aprè» m cectaim nombre de
termes. Soit P le /f*~. terme de 4a ^ite « — ^ *-— "+* "^ ^ T "*" ^^* > ^^ P'
le terme suivant , on aura, en général, y-"-^ 'a," S» 'î ™^^ ^* convei^gencc
de la suite aura liett^ pl0»;tahiidès-qvi^tiiifii ir-=: oa^z. Par exemple , si l'on a a? = er*"* = o. 0000454, ce qui donne z=s 10, la série sera convergente &u flixt&me ferme, ou même dès. le neuvième, piiisqu'én faisant
n^S^ on ^[rj^jr^f ^97* '^^^ *^^ ^^^ ^umème t^nofis que la .grandeur des termes qui précèdent le point de'convei^ence, et celle d'un assez ^mnd
