o 83229 B49iy
i.io43i £2607 4^4^^^
0.94^80 $9079 75485Ô 0.86667 oo538 118781 0.808^1 89027 3 1 3^4
1.00692 20667 3i< 1.06066 9674598769^ i.tl384 «6449^ 5092S19 i .23683 05334 G44976
On peut remarquer que les valeur3 logarithmiques de A wpjt^euuieil d^ pe tableau' peuvent se vérifier assez facilement par J? t)ié<>cème ^ Cpte^? JE)f^ ^fi^
puisqu'on a A = v/(i — €^sin^x)mi -/^i^wL^ ^^^ i*)> <^t» <|OMI^
tité peut se mettre sons la forme fi}/ («{^<4^:Mt€A^j^>^ 1), en faisant B=b
}(i +i) et ii=— 7-r. Sk énsàite oh donne k ûx lèâ valeurs successives g, -g- ,
"5" > ?> ^^ produit des quatre valeurs de A s^ca B* |/(i 4*^*); 1^ 8omme,de
leurs logarithmes sera donc 4 ^^g ^ + î log ( i "f* ^) > ou 4 'og B +
— a* (i — ja* + ja'*— etc.). Dtais le cas de notre tablea» oA l'on a £:;;po«3« 2 ,
B.5=so«^^3 la qpai^lité pnécédeot^ se réduit à '^^•&rGfff} ^o^fltè o^jBi^ty oé
qui est en effet la wmm» des qn^e legankhoits qui répoxiAtiok ttUx ifvlrâpir
supposées de ^. . ,1
68. Ayant de faire;» = 4) valeur pour laquelle Je t^le^oi çs^t câlét|lé^i^ sons n==ja, valeur trop petite pour donner un résultat suffisamment approché, mais qui: fera vpir le pjogp^ d|e l^piu)tdmglpc^ cpi fttMmt de' cette première vaieùf àtine valeur double. Alors les quantités M et N iji^cessair^ pour calculer les valeurs /Ad[r = ^^M, /Ai£r=:^^N, seront composées
5d4 APPENDICE,
de deux termes sealement. savoir :
Substituant les valeurs numériques données dans le tableau, et la valeur j
i(i»f.A)sso.9, on aura
M = 0.90276 gaSôg 0687085, N SK 0.90379 05975 483757.
Ces valeurs ne diffîrent que de 2 unités décimales du 5^ ordre, et le entr'elles donne pour i la valeur approchée
bquelle n'esJt en erreur que de 5 unités décimales du 10^ ordre. On a peine il concevmr comment le calcul de deux seuls trapèzes, fait de deux mamères différentes , peut donner un résultat si exact.
Faisons maintenant 7»= 4> et appelons AT et N' les nouvelles valeurs de M et N, nous aurons
La première quantité est la même chose que la moyenne ^(M + N), dont nous venons de donner la valeur, la seconde se trouvera par les quatre dernières lignes du tableau , de sorte qu'on aura
Ces deux valeurs ne diflGèi*en^ que d'une unité dédmale du 9"^ (Hrdre, et le milieu entr^elles donne pour I la valeur plus approchée
hqueltë s'accorde parfaitement avec celle qu\)n a déduite de ta théorie des foncâotts; elliptiques ; car la différence de ces valeurs n'étant que d'une unité décimale- du iS'** ordre , on ne peut prononcer de quel côté est Terreur.
69. Par des calculs semblables, appliqués à la fonction complète..... ^
— J on trouvera d'abord pour le cas de /i = 2 , les formules
d'oill résulte
^ECrCION 11. 585
! M Bs 1 . 1 1465 TÔSoS 74a^7Ô> N = 1.11447 i3649 8853855;
ensuite pour le cas de n=s^y.oa aura
Nf =s I.II456 44773 864aî»3a5.. . , ,: , .
Par un milieu pris entre ces deux derniers résultats, on aura la valeur' {({ypro^
efaée .-. > '•'•',•■,•'*
laquelle s'accorde suffisamment avec celle que donne 1^ théorie des foncions elliptiques, puisque la différence est à peine de 3 unités décimales du iS^*
ordre.
Si quelque chose peut ékomier dans le résultat >de eescalcoky "è^cst qa'oni puisse obtenir ouesi graude-apptoûmation avec une valeur de iransn petite que nsS'49 c'e)st-à*dire en divisant l'espace qu'il-fiint qtiarrerèn (Quatre tra-^ pèzes seulement y et évaluant ces trapèzes de deux manières di£Eérentes. . £a<)alculant, comme^nous l'avons (ait, les valeuré^dè M et N pc^H^è'tas de iis=4^ on trouve que pour I'iiitégrale/Ai£r>ce8 dèup valeur^ né difTèrent: que d'une unité dans le g"'* ordre de décimales, ce qui doit faire présumer que la moyenne entr'elles sera exacte jusqu'à la 17"** décimale, chose que nous- n'avons pu véri6ér, parce que lés^oalcuh du' tableau he soàt éxActs qué^ jusqu'à la iS"* décimale au plus. L'a|)pr^ximation est tin peu moindre 'pour
l'intégrale /x; car les valeurs de M et N calculées en supposant n==5 4» 4^*
%ient eutr^elles de deux unités décîmaleadu 8°^ ordrâ) d'où l'oo doit oopâér clure que la moyenne ne serfi exaçficî.que j\i^qu^aq .|5T orjire* . -J : , ., . j
70. Au reste, on peut s'en tenir i^ ne calculer qu'uqç seule des quantités M et N, sauf à lui appliquer la correction dont nous avons donné la formule, art. 64, en là réduisant à scm premier terme. Or, ce premier terme dbaA\^'
« = — (t+ï)* ®" ^^: donc<i— c^Mft*^)*^^-^ (i-f-o*— 3«osaa:)*.
l>^yeloppiMAt .^^pite ]ej^ 4eux mçoibi^ p4r Ip^.pD^rmiles, 4^ wfi.;;i ejiôS^ on aura entre les coefficiens d'un même cosinus l'équation gén^r^le Ax A?r
^^-^1 ' P(A»-^ A)- Prenatil lesdogarithtales de)«Haquêl iwmbre et mettant
586 ^BEIlDIiS)
au lieu de 1«^ P(X, — ^)-s»^çur dtnknéè ^rla fomittle (i 7), on aura logAx = Xloga— (^+i)IogX+^logi — logr( — A)
(10) . (if+it)i» (yH*/E]rmy
Quant au signe du codSdeâi Ax, H sera le xbêéaé î\ue celui de la quan
71. Appliquons cette formule à la détermination de la fonction compiè
E'c=:fdxy/( I — c* siû^ aJ) j cette quantité etatat représentée par - A. , nous
ày6tos d^à ttouyë pour Ao la valeur approcbëe.
laquelle résulte de la mppobitioB n sï=;m^ et ttom alfWift ftdt vmr («r^ <4) que laf èorreotioû » af)filiqaei ik cette valenr est ^^ iiA^ oa «^ 21 A^. FmaM donôAtei, *Mo.«y aii=-*è» *«:i, r(--*)^r(— i)te*-î|/w^, on troutem fat h formule préoidente log A43s4.^ar7io68j et pett)e ipie ^^{^^i) c^ itégËftif, il feuÂraiHqae A4 smt nëg«tàf( cm eum donc A^ tm — OéOOoM 55^7:^00 qui deime la valsaroevrigrfe . \^
valeur qui n'est ei^ etfieur que d'une unité décimale 4u 9^ ee«ke« C'est d^à un #ssea grand dcjgré d'0f>{ttx>»iiBati€>n obtenu en d&fÎMAt ^a deux parties égales seulement la base j^rde l'espace qu'il faut quaner, et mesurant lès deux trapèzes curvilignes qui en résultent comme s'iû étaient reot^iljftek On iénçoit àèê lors quNiiie approximation i)»0au»^iip plcÉ^ gi^nde résultera delà M]^p^i)âèn%ttti 4, laquelle donne
. . . , , La.corççction qu^il faut appliquer à celte valeur étant toujours i^pr^nt«ep^r"— -aA.^, on la calculera par la formule précédente^ en faisant À = 6, et conservant lesi antjresjvaïeurs de^^Hj^ k et r(— Jt). U çn rémltèrâl()g,A|^j=o.. ^05944, d^où A«=-— o.oopoo 00002 jaSo^, et U valeur corrigée ' ; ,
:,<:, -— ^<-'hM-^aA^t=:t);^77''g9i77 7îii^8B'i;' .' !'~ — vd^'qui iMf dilfêre^iâelà téiitable que d%ttiè d6iïa-«nité Mcibàie dtf "qtia-
7i^ Si dû nut «n^l^itier de ëemblables «imèetidnB tfux Yaieii de M dëîà
iJè pPéMièrë Talênr de M calculée pour le Cas dé* Artiîa', é$l M=: I • 1 1465 76504 ; faisant donc A := 2/2= 4^ P° ^"^"^ P^^ .'^ fbrmiiîé piféî^disfrttelog A4=as5,6fiSo58t ; et |raîétïtiea*r(— A) est ppaWf , A4 îè serçt iMttèi!,^ êil ators À4'sss^6.oooo4 656^ ^ ce ^ui donne 1k râeiûà cortîgëe
laquelle ,Q^e^.:«;A a^reur; «p^ dp 9.«tMtm 4é^to>die6t4tt>8^M4GewlA>seniMMl|» Taleur trouvée pour M, savTiir :
SI = 1 . I i45C 44976 "81 58565 , mV99f^ '*P^4^i ^>^fn ^i»9^h MWflOlMn >ilw.^is:«ti«HMMi oMoà ^7579,
75. On voit, par ces exemples, que l'dRlï^leta^drreetiàii est tton-scÉile^ «lentiide dfi>m|iMipr le nciifcre'de ^ériaiàfaiKeiaclée i^ee lt<m^ieaV Aâns 1^ ^irakur dfe iU' eu^dàtn» «cttlk^ ^ fl, MtUtiÎB -efnéore d^n â^fer émlq-vii stà 4e»pitt»rQe}^'^<^*H'^r>>~^^^ rë8lltaitffU6si^(€hiÉ^t'i|u^>tt^'iidè^^ , en prenant 3ine valeupiooDKenabl&den.'Qufati4 ett ceAcate JMta fois' les ^etn dùantitë^M et N, le milien pris entre elles i^^odie (Aus Ai Tfét i^sùlCat ()tife l'ijbïe ^ deux augmentée ou dimÎQuâe d0> I9 - «ceiseeticp ^ mais cet avantage ne s'obtient c^ue parjçm calcul plijis Iqh^, j î . ; 1 .ij
74* On trouve dans les (Buvres de Jean BemoiiiUti(*) unclhaovèaàe'^li^ calculer par approximation le rayon da cerde 4^\ en circonférence à une ellipse donnée* Ce théorème fort remarquable cowluit aux mêmes valeurs de Met N guedopi^çqjt les^ précédantes |fli^^^
la progresibn a, 4, 8, 16, etc., ce qui permet fk ^d^imi^r vÇ^Wmfib?^^ ment toutes les quantités y^(i<«^e|^sin*ar} dont se composent les valeurs de M et N. -^-^ .v> ^— -
JeanBemoulli n'a po^ptd^né^ j^iHpn^ritipn^ de son théorème; i) a indiqué seulement la construcGb^ géométrique cfoi en est la ^ base et .par )aQi|K}lè «u^ peuV. dbtenkt %. /lislèpr ttés àpproclië'e de la circonféréifce de
:0 J^* Bemotdli Opéra, .l^n^ïi^fpaj^ 4^
588 AFPEffDIiPE,
toute coorbe oyal^partagçe^oGjBime rellipseï ei^; quatre p^irties éffifiêei semblables par deux axes -çoctai^laires. Cette.ux)pstructi<m ^exécute; au moyeu d'.uu mouyemeut continu ^e l'auteur appelle fttotus reptoriu^ \ et dont il djétaiUp les propriétés. - . ..^ \ . i . i r- .'
Nqus avions pensé d.'abord à.dopper ici ^'^nalyse 4u.tbéorfème 4p Je^n Bernoulli, considéré danss^, plus, gc^^de géi^^ralité j^^^is n^ij^a avofis.biifiE^ tôt reconnu que cette stnajlysç conviendrait iputile , parce que le résultat auquel elle conduit n'est qu'un cas particulier d'une proposition générale qui sera démontrée cî-aprè5' d'une manière beautfôù}^' plutf'idmplé. '
$ III. Moyen £ exprimer toute intégrale proposée par un arc de courbe.
PI. m, ^. Soit s la longueur de l'arc de courbe AM dont origine est fixée au point A et dont l'extrémité M est déterminée par les côiMrdonàées GPs= j:,
PM :=jr. Cet arc , dont Fexpression ordinaire est fdùc\/( i + ^ ) > peut
être exprimé par une 'autre formule qui jduit de quèlctuesaviintagèspàràculiers et que nous allons faire comnaitre.
Si du point Ch centre des qpordonnées^ cm ^neCZ pérpcmâieulàireisiir 1^. tstpgepte^ au. point M, et qu'on prenne pbur nouvelles; variables. GZ s=/) et l'apg|e TMPss^, on aupa ^l'angle PCZs^fc^et CZs)Em£»f ôm(;s^t']AGP)^ développant le second mçmbr^ et mettant au w lieu de GM oot'MCR et CM.3ii^ MCP leurs valeurs .;r et r, on, auva :!•.•.
, î . . /> = jc cos ft -4*J^ sin /t.
Différenciant cette équation et observant qu'on a dxz=i ^-^ aà sin ft et ^,^'^;Cos:À4,(ii viçndra • '' -i":^ •• '»;«•.! ''■,:
^ =^ cos (* — jc am A«. . , .,. ,}
Au'ittôyeH^ ces équations > on obtient les valeurs de ^,et^ exprimées'en fonctions de ;> et de fe^ savoir :
^ = ;» cos f* — ^ sm /*,
jr :=z p sin jw -f- ^ èos ju.
Enfin,' decellesKîi on tire /iap =—rf;A sin /w(;?+0),i^^
S s= fpdfA -(- ^ -H const. ^ (ta)
Cest rexprestion de Parc i dans laquelle il faudra suBstî tuer la valeur de p en fonction de ii.
76. Cette valeur peut se déduire de ré<)uatk>n xlotïnée entre, les coordoii* ^
nées xetTj cdmbtnéc avec Péqualîon dîflTërentîcIle^tîis-^cot/t, dont le
premier membre est une ronction connue de X eljr. Eu ejBel» on peut supposer que ces équations donnent les valeurs dexeijr exprimées en fonction de tang;t ; ensuite Téquation y9==^.,co&7t^^sin/^ fer^ connaître la valeur de p en fonction de sin fi eX^ cosfi.
On peut remarquer que ai ré()iiatkm entre a: et^ eat algébrKpie^ Véquatipn entre p , sin fA et cos M> sei:^ ,]>tireiiiement M1gébQi^u^ ;* mpfe en géoéral, quelle qno^ M>it cette équâliop^^i on prend Jint^raU?;)^^ de manière
qu'elle s'évanouisse au powt A, et^we -^ sôit 1^ valeur d^>^en ce même point > on aura l'arc AM ou s ssfpdfi -f*^ -r- -^»r
77. Celle même fom^ulë servira à e&priiner:r^iite intégrale proposée par un arc de courbe.
En effet 7. on peut supposer que cette intégrale est nâsespua la. fimne fpd/JLy dans laquelle fc représente un arc de cercle indéfini dont le rayon z=zi ^ et p une fonction de Farc /Aj ou seulement <|ca lignes trigpnon^étriques sin /t et cos fi. On aura donc l'intégrale cherchée
Quant k la courbe AMB qui correspond à cette, équation , elle iest facile à décrire au moyen des équations (i 1) dont* les seconds membres sont dés fonctions connues de l'angle ft ou des lignes trigonométriques qui dépendent de cet angle ; et si on élimine fi de ces deux équations , on aura , sous la forme ordinaire, l'équation entre les coordonnées j?et^ de la courbe dont un arc compris entre des* limites données servira à exprimer l'inté«» fgnXefpdfL. 11 faut maintenant montrer dans quelques exemples l'usage de cette théorie. - ;-
78. Exemple I. Soit pro)poséc l'intégrale Z=yî/fe |/(ii— c* sin^ytt);^ que nous avons coutume d'exprimer par J'arc d'ellipse E(c, fe) compté de l'extrémité du petit axe.
Nous aurons dans ce câs,/i=s v^( 1 -^c* sin* ft ) , valeur qui étant substituée dans les équations (ii)> donne en faisant 3 ss v^( i — * c*), T. U, 93
km»)nrJ^^ljrivti'mS4^^ Si dn'élimmp fi^de^oea dëbi- èqiûmtiomjùn en
déd«iraj^* = 6*(i— a:*), c'est l'équation de l'ellipse rapportée à son grand PK I, axe^ lAtBsî ^n fiôsaAt CAcs i , Ci^6=i6,, e&décrivant mf ees çbmx demi^xes l'^pçe AMP^i on désigm par s l'arc; AMispmpté de rex^rçmitQ dif. gmul axe où/A = o jusqu'au point M dont les coordonnées sont jc etjr^ cet arc servira à exprimer Imtégratè Z , dé sorte qu'on aura Z ou
Cette éffontioa nWt fttitre elwise «fie le théorème de Fagnani que nous avons donné'^totn; I , ai»t. S6. En èfiët , 51 on* détèranne Par^ fid^. compté de i'ënti^éBiitè du* i^tît ase, par ks coordonnées €Q i^fs sila f«, NQ'cs^&cos/ft, en
même ten^ (pîe iWc AM Vmt par les^ cooixlèBnéed CP = .. ^. ,■■: ,
PM= -7; — ^'"^. , V» (Mi^ auraj e^ vetin de ce tbétcème. |/(i — c*8inV)
^^^^^^^^ï/(i— c»8in»' •
Ain8iir«p{Jieaiion de noti» fermule» coudmi^doE^ ce eas à un théorème ooiina. ^
79. Exemple II. Cherchons maintenant Ik courbe qui par seâ^ arcs peut
/' ' ' ' ' dlé ' ■ * l ' * ^. ^ . , .■, intégrale que nous avons
eotitume de représenter par 3?(c,/t)i, ^ ' ' »
^ tt&Utfei(lâd4M.M.epS/8S;^j(k4r*«C!^^:/^*^%^^
i^jtyantos de^^oocwdoniuées jr efcT- .V
(i — c'sm*/»)*
. .;, . , jr Vf^:'^ — r ^^-^ ( T *fp <}t QQS a^/«
(l — C*SÎfi'/*)»
Cette courbe qui appartient au sixième degré et dont la forme se rapproche de celle 4e^.r.dlip^^ tant; qu'on a ^<i9 est la mémp igœ no«s aprans ^ét^minée d'une i^tre manière da^s la tbéocie di^ fonctions eHigUques^ chap. Y H; elle donne Z ou
0t ia feMlàon toflEipi^e F^t^s^ , s* étàût le qtiatt dW la tbU)rbë cdmptisde-
puis /t = o jusqu'à /i = ÎTT.
Le cas de ^ = 7>^st généralement r^l^^ -cémme on'^it^par la lemniscate qui n'est que dit^uatHènmdegré^^tiidùtit les -arûs expriment directement la fi>ncUgn F «ans. addition d'aucutiex qiianti^é alg^âl!|i<|tie« Leilolii^on 'du même cas déduite de la formule précédente donoe une courbe du sixième
degré dont l'équation est7'=c(a +jc') v/(i -^a**'), ou jr*^=^2'rrï^ — »'^^- * Cette courbe est mbins 8iixi{4è que la lémhiscale, mais elle a l'avantagé cl'a^ voir une figure peu différente de celle ^e Féllipse.
80. Il est très remarquable que 'n6lrénoiivéi!e formule côti[\3i£ûse ^i fetiilement a la solution d'un problème que nous avohH lîegâfnié 'ébmtÊtê fbttdîAdie, et qui parait n'admettra âtlcUtte autre ^ution; celui de trouver une courbe algébrique dont les iurc»7epré^htent généralement la fonction elliptique de première espèce ¥(cffM^' '-
£n général on voit que toutfif le$ ùn^^quep sera^ne fonction algébrique de sin fi et cos jEAy la coqrbe dont les a^cs servent k exprimer l'intégrale fpdfi^ sera aussi une courba algébrique» Ainsi la iqûàdralure d'une courbe algébrique peut toujours se réduire à la rectification d'une autre courbe algébrique , proposition dont l'inverse ^seulement ^tait connue. • '
8f . Eûdemple ///.Soit proJ)jDse"(ïfe troifvèr la côui^be algebHque dont lis arcs représentent la fonction eijipllque de trèisième' ëspèséfl (/»^ ^^ /») vs
(i + I» sin» y(i — c*sin»
Il suffira de faire /> sa (i •+• n sin'ft)""* (i — c'sin* ft)"*, et la substitution de cette valeur dans les équations (11) donnera les valeurs suivantes des coordonnées de cette courbe, où l'on a fait v/(i — £?*sin*ft) = a.
^ — (I +^81^»' A^ [14-^ — 2n^ (5i»— i)(iH-c-)sin*a— 4c»nsinV]. On aura ensuite pour la fonction D cette expression
et si s* représente le quart de. là Courba compris depurs.f( = 0 jusqu'i uz^i^TyOn aura la fonction complète n*(/i, c)ss s\
On trouverait de la m4me manière là courbe algébfiqilei'dotit léj itvc$ ser-
T^d^îenti. exprimer I dan» le cas d^ pii^r^oiètres iqBagmaires^ la double fimetîon de troisième espèce. .t? - .
81. Exemple IV. Soit j9 = a sin /*e tang* fft, on aura ar= afl fcmg* pky rcs3ataLna*/i et jss ^ — aa.
On çléduit de ces valeurs l'équation <u:* = i^^> ainsi la courbe dont il s'agit est la seconde parabole cubique.
65. Exemple V. Soit /yasaco^/tt+^sin/t — r^^ T^T^^% \% onaursn eft supposant- «'=si*-+-^*>
(«*— c»tîn»*
1 ifbco^fê
^L3Z3^iîn^^ -**
(o" — ©• 8ÎnV)*
D'après les valeurs de x et de ^, on trouve que l'équation dé la courbe peut être mise sous la forme (i— -V4*ri""x)^5=5 1, et alors on voit que cette cdflrbe est la développée de l'ellipse*
84- )E° général, si on prend la valeur àep telle qu'on puisse obtenir algébriquement l'intégrale yjb^/u, l'arc s dont cette intégrale dépend, s'expriinera aussi algébriquement. On produira ainsi une classe infinie de courbes recdfiables, comme sont toutes les développées des courbes algébriques.
Soit slors fpdfi s= q y ou p^z ^, on aura pour décrire l'une quelconque de ces couri>es, les équations
dg ddi
do • « ddo
et la longueur d'un de ses arcs sera donnée par la formule
dda
^ = 7 •+• -g^ H- const. ' 85. On voit| par ce qui précède , que toute quadrature proposée se ré-
dttU à la Feetifioatîon d'an arc de courbe compris entre déox points dou- BéS| ce qai peut contribuer à simplifier la construction géométrique d'un grand nombre de problèmes; car en général on peut obtenir plus facilement une première valeur approchée d'un arc de courbe dont on a
, l'équation que celle d'une quadrature. Mais s'il s'agit de calculer avec
beaucoup de précision la longueur d'un arc de courbe proposé, il conviendra de revenir aux formules du ^ I , pour déterminer l'arc s par le moyen
t de l'intégrale 7^<//t. C'est ce que nous allons développer dans le $ suivant.
§ ly • Formules pour calculer at^ec précision la longueur de tout arc de
courbe proposé.
86. Soit comme ci-dessus , l'arc AM s= j , la perpendiculaire CZ abais- Fîg. a. sée du point fixe G sur la tangente en M =^Py l'angle TMP que fait la tan* gente avec l'ordonnée MP, =:;t; on pourra regarder p comme une fonction connue de l'angle /x ou des lignes trigonométriques qui déterminent l'angle Il et £ûre en conséquence p=iF(/i), Cela posé^ on aura la longueur cherchée
i« > l'intégrale fpd/i étant prise de manière qu'elle s'évanouisse au point A.
Cette formule se simplifie en supposant que l'axà des abscisses CP, qu'on Fîg- B. peut prendre arbitrairement y se confond avec la perpendiculaire à la courbe menée par le point A, car alors on aura dans ce point ftsso, et
•^ es o j ce qui donnera s :=sfpdfi 4- ^^
1» Maintenant, pour avoir la longueur totale AMBs=i5% il Ëiut prendre
l'intégrale Jpdfi depuis le point A oii nous supposons /x = o jusqu'au point B où nous supposerons /x = 0, C'est ce qu'jon peut faire au moyen des formules du $1; elles donnent d'abord, en prenant le nombre entier n à volonté, les valeurs approchées ^^/t= 0j\I,y/'J)X s 6N, dans lesquelles M est la moyenne entre les n quantités suivantes :
KFo + Ffl), Fi, FîJ Fîi=iaj
et N est la moyenne entre les n quantités
F-î-, F^, F^..... Fî^î^=^i'
y- dpo
5^4 APPBNDICf:,
On aura ensuite des valeura pins exactes de VintégniB /pdft «n ^Pf^ quant le* correctibns nàeemmres auk qoaotités SM et «l\,
87. Mais il faut avant tout examiner le cas particulier où noQs avons déjà fait observer que le calcul n'indique aucune correction , ce qui ne Tcul pas dire que la correction est nulle , lyais que les quantités OMet ON approchent beaucoup de la vraie valeur dé l'intégrale fpdfi', qu^elles en approchent à peu près également Pune en plus, l'autre en moins; que le milieu pris entre ces deux quantités donnera environ deux fois plus de chiffres significatifs exacts que l'une des deux séparément; qu'enfin, après Fessai fait sur des valeurs assez petites de n^ qui feront voir combien de décimales exactes on tire, soit des valeurs 6M et ON prises séparément, soit de leur moyenne i(OM+0N)y on sera à portée de juger queUe est définitivement la valeur qu'on doit donner à n pour obtenir tel degré d'approximation qu^on voudra.
DQn$ ce même cas, les quantités ^ et -^ sont nulles, de sorte que
l'arc entier 5* s'exprimera par l'une des deux valeurs OM et OFÏ , ou pharn exactement par le milieu pris entre elles.
88. Ces résultats s'appliquent immédiatement k toutes les courbes ovales qui comme l'ellipse ont la propriété d'être partagées en quatre parties égales et semblables par deux axes rectangulaires, qui sont en même temps perpendiculaires à la courbe.
Alors , en faisant 0 = -^ ^ , le quart d'une telle courbe sera exprimé par
'M ou - N, en calculant M ou N d'après une valeur de n qui réponde
au degré d'approximatâon qu'on veut obtenir. Ainsi le calcul donne immédiatement par les quantités M ou N, le rayon du cercle égal en oirconférernse à la courbe proposée.
Il ne s'agit dans chaque cas que de chercher la fonction p ou Ffi qui représente la perpendiculaire menée du centre sur la tangente au point où Fangla que fait cette tangente avec l'axe des ordonnées est fA. Avec cette foncUoci T/JL on formera les n quantités dont la moyenne désignée par M ou par N sera la valeur du ràycm aherché^ /
Telle est la proposition générale dont nous avons parlé dans l'art. 74; elle comprend comme cas particuliers, non seulement le théorème de JeanBernoulli sur la circonférence de l'ellipse, mais encore tous les théorèmes semblables qu'on pourrait déduire de la considération du motus reptorius de
$KCTION U. 595
cet anl^r^ appli()uë(i wx courbes coBipoAées de quatre parties égales ^t comnae V^Uip^j théorèo&es qui sont limités par ce genre de construotion am cas où /ï est une puissance de 2 , mais qui , suivant notre proposition , auraient lieu également pour toute valeur du nombre entier n.
89. Nous observerons encore que la fonction P(A, A:)^ considérée dans la section I, sous le nom de P(A^ '^)y'^ pour expfessiop générale...,.
;/(7HpéSISrSï)*' ^*® intégrale étant prise depuis /t;=o jusqu'à u = J ^. Or,, si <f après- k vakur p = F (u) = ^ — 2 — f^^ rr, on con-
struit une courbe qui par ses arcs serve à exprimer l'intégrale y^^ju, cette «Durbe sera composée » comme l'ellipse^ de quatre parties égales et semblables 3
de sortequ'on.aura entre les limites assignées )^dfyxs=s ~ M ou Jpd/A = ^ N,
etpar suite P(A, it)=M, ou P(A, *)=JÏ, ou plus exactement P(X, A:)=e^M+N).
Ainsi, la fonction P(A9 k) dont nous avons développé les propriétés, se rapporte au cas le plus simple des quadratures , et sa détermination ne dépend que des quantités M et N, qu'on peut former immédiatement au moyen de la fonction p = F(^) ft du nombre entier n pris arbitrairement.
Il en serait de même des ^poefficiena différentieb ^ , ?— , etc. , qu'on déterminera semblablement après avoir mis chacun d'eux sous la forme - fpd/i.
. 90. On peut remarquer enfin que le résultat trouvé pour les courbes ovales composées de quatre secteurs à angle droit, égaux entre eux et placés symétriquement autour des axes communs, s'étend à uneinfiinité d'autres courbes composées d'an même secteur qui se répète Un certain nombre de ibis dans de& positions alternatives. Soit 6 Tangle de ce secteur ; si & est commensurable avec l'angle droit, la courbe rentrera sur elle-même après une ou plusieurs révolutions autour du centre commun de tous les secteurs; mais si 6 n'est pas commensurable avec l'angle droit, la courbe fera une infinité de révolutions autour de son centre. Dans tous les cas, l'arc de courbe qui termine le secteur dont l'angle est 9, a pour valeur la quantité 0M ou 9N, c'est à-dire, qu'il est égal en longueur à l'arc du secteur circulaire dont l'angle est 0 et qui a pour rayon la valeur de M ou de N donnée dans l'art 85. En vei^tu de cette observation, notre théorème se trouve appliquée un système infini de courbes, dont les ovales, à quatre parties égales, ne sont qu'un cas particulier*
SgÔ APPENDICE,
91. Si nous revenons maintenant à la dëtermination générale de l'arc i' dont les limites s'étendent depuis /iz=zo jusqu'À /«=9, nous verrons qu^
suffit d'ajouter le terme -^ à la valeur de J^J;i ou fFdfiy donnée dans
l'art. 59. On aura donc pour cet objet les 'deux formules suivantes dans
lesquelles »==-,
■ = flM-4-— — — — ^— (^^^ — ^ ^^^\
"^ '^ dfê la * dfi ^"^ 700 \^ *^ df&^ /'
