CHAPITRE Vn

Pour sayoir quel est le degré d'approximation de ces valeurs, on développera en série la quantité A, ce qui donne

A=: I — - c*sin*^ 7 c*sin*0 — — 7-^ c* sm^ — etc. ,

et en y substituant la valeur

on aura l'eipression suivante, exacte aux quantités près de l'ordre c*^*,

A=i~ic'(^»-j^+^(P«)-ic«(^-|(P«)-TV<^<P*;

de là résulte fùid^i ou

|. c*/^ ^» a^\ c*/^ af'\ c« (fi

*-— ♦— 71,3— 75— 375;— ç\,-5— ir;~iB-7-

Désignons cette valeur par Esc- sin c^-f^Q^ nous aurons par le dëvelop' pement du premier terme,

et par conséquent,

on a donc la valeur très approchée.

On trouverait par un calcul semblable,

{b) F^=Mogtang(i9r + ic^)-^(p»4.^<p'(4-4,c«).

Ajoutant ces deux formules, on en tire une troisième non moins remar^ quable, savoir,

E^ + F(p = isinc(p + ilogtang(|^ + ic<p)— ^(p'.

743. La formule (a), l'ëduite à son premier terme -sinc^, donnera sept décimales exactes si l'on a ^ ^ 6*j elle en donnerait dix ou plus si on avait

En prenant les deux premiers termes , la formule £f ss - sin c^ <4- y- f '

donnera sept décimales exactes, si on a ç ^ i6''4) ^t dix décimales ou plus, si l'on a ^<6*ia.

T. U. la

L'approximation sera à peu près semblable sur lu valeur de F^, sdon qu'on la borne au premier ou aux deux premiers termes.

Si on tient compte de. tous les termes de la formule (a), il n'y aura de négligée dans la valeur de £^^ qu'une partie dont le terme le plus grand

est de l'ordre —^— (ù^ , et ne pourra jamais excéder ^ — ®^. L'erreur due à

ce terme ne sera pas d'une unité décimale du dixième ordre , si on a (p < i5', et elle ne sera pas d*une unité décimale du septième ordre, si on a ^ <32*45. Le même degré d'exactitude n'aura pas lieu dans la formule (fi) ; et pour avoir «ept décimales exactes, il ne faudra guère passer la limite

744- Exemple /. Soit c = sin 45* et ^ = io% la Table 11 donne les valeurs suivantes :

F^ =S3 0*17497 63oi9; --^

il faut les comparer à celles que donnent nos formules; et d'abord pour avoir la valeur de E, on calonlera les deux premiers termes de la formule {a) comme il suit :

sinc^ 9.09025 936i5 ^^. ...... 6.20938 68

-. ..^ o.i5o5x 4997^ lô*** "^ 2.07918 12

- sin c(p.. .. 9.24077 43593 (i) 4*^^020 56

On voit ^ué !e& deux preniÂers terme3 donnent la valeur da Ei^ avec huit décimales exactes, l'erreur n'étant que de dix-neuf unités décimales du dixième ordre. 11 en sera de même pour la valeur de F^ dont voici le calcul :

45* 4. i cep = 48°32'7" 92206, /tang(45* + |c(p) = 0.05373 434^^-

Ge log-tang. étant tm logarithme vulgaire, il faudra le multipKer par M pour le chao^ en logarithnie hyperbolique , comme là fbrranle le sopposej Ainsi en appelant h le nombre précédent, on aura les logarithmet suivans.