CHAPITRE IX
Réduction de la formule qui exprime la fonction E^ , dans la
méthode des modules croissons.
760. Là A valeur de E^ que nous avons donnée dans l'exemple précédent, d'après les formules de l'article 89, n'étant pas assez simple pour être employée dans les calculs courans de la seconde des fonctions elliptiques, nous avons cherché une autre formule par laquelle ces cijculs fussent réduits au plus grand degré de simplicité dont ils sont susceptibles, et nous y sommes parvenus, de la manière suivante : .
Après avoir formé la série des modules croissans c, <^, c". . . et celle de leurs complémens h ^V^V ... il faut calculer la suite des amplitudes décroissantes ^ , ^y ^\. . jusqu'à une limite qui est déterminée, ainsi que ceUe des modules, par le degré d'exactitude qu'on veut obtenir. Ces amplitudes se calculent directement par les formules sin (2^ — 9) = c sin ^ , 8in(2^''-— ^')=c'sinf', etc.; mais, quand on est parvenu à celle où le module correspondant c est trop peu différent de l'unité, il convient de remplacer cette formule par l'équation correspondai^te de la suite tang(f— *f ')=:6'tang ^^
ïo4 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,
tang {<p^ — ^") = 4" lang qi\ etc. , d'où l'on tirera un résultat beaucoup plus
exact.
Connaissant ainsi la limite O de la suite ^, (p\ ^", etc., que nous supposerons, par exemple, se confondre sensiblement avec le quatrième terme ^'", on aura la valeur de F^ par Téqualion F^= Klog tang (45" + J O), dans laquelle le logarithme est hyperbolique ; prenant donc dans les tables le logarithme vulgaire l taug (45^ -f- t *) = H , on aura F^=KMH ; quant à
la valeur de K, elle est, comme on sait, K.= ^/T- . cW"\
761. Cela posé, la valeur de E^ pourra être ainsi réprésentée
E<p=LT<p-f-P^sin <p,
et il s'agit de calculer les deux termes dont elljs est composée.
Le premier se trouve facilement par la valeur déjà connue de la fonc* tîon F^ et par le coefficient U que nous avons déjà réduit à la forme la plus simple dans le calcul des fonctions complètes (art. 652); tout se réduit donc à chercher la valeur du second terme Pc sin ^. C'est ce que nous obtiendrons par la première forme de la valeur de 4'(At) donnée dans l'art. 89 ; ainsi nous aurons à réduire la formule
P sm ^ = — : — sm ^ — 77- sm ^ — -7-7 sm ^ '...< -^ — r-
Pour cet effet , soit ^ — <p'= a»', ^' — ^''=û»", <p"— ^'''=a% etc., on aura les équations tauga»^=6' tang ^', tang cJ's=b" tang 9'^, e^c. ; la première donne
sin ^ = sin (^'4- a>') = (i + b^) sin (p^ cos »' = -^ sin ^' cos û>', et on en déduit successivement
SIU *p — / - • > * olU «p ■ -■ • -'• — — 7- • "m" • > "i/ »
^ C cos* ' ^ C* COSâ»* C' C* 00» «^s* *
• ^m V^ V^ Vo" «în^ sm<p'''=-îV . -^ . -î^y . 7 ^5 «1 etc.
^ c c c cos • cos m cos • '
Substituant ces valeurs dans celle de P sin 9, et faisant, pour' abréger, d cos »'=^, c" cos ùl' =/^', etc., on aura
7f^<^ ai ^
Cette formule peut donner tel degré d'appi*oximation qu'on voudra , mais il convient d'examiner successivement les différens cas qui peuvent se rencontrer dans les applications.
